第七章线性变换总结篇(高等代数)

1、第 7 章 线性变换7.1 知识点归纳与要点解析一线性变换的概念与判别 1. 线性变换的定义数域P上的线性空间V的一个变换 称为线性变换，如果 对V中任意的元素 ,和数域P中的任意数k，都有:， k k 。注: V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。2. 线性变换的判别设 为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么: 为 V 的线性变换3.线性变换的性质设V是数域P上的线性空间，1,2,L , s, V 。1.2.V, k,l P为V的线性变换，性质 性质 相关 性质s0 0, ;若1, 2丄，s线性相关，那么2 ,L , s 也线性3.设线性变换 为单射， 如果1,2 ,L

2、, s1 也线性无关 注:设 V 是数域 P 上的线性空间，的两个向量组， 如果:2 ,L ,1, 2,L , m线性无关， 那么1, 2,L , s 是 V 中c11 1c21 1LLcm1 1c12 2c22 2Lc1s sLc2s scm2 2 L cms s记:c21Lcm1c22Lcm2MMc2sLcmsMc121, 2,L , m1, 2,L , s于是，若 dim V n ， 1,2,L,是V的一组基，是 V 的线性变换，1, 2,L , m 是 V 中任意一组向量，如果：1b111 b12 2 Lb1n n2b211 b22 2 Lb2n nLLLmbm11 bm2 2Lbmn

3、 n记：1, 2,Lm1,2 L m那么：b11b21 Lcm1b12b22 Lcm21,2,L , m1,2,L ,nMMMb1nb2nLcmnc1sb11b21Lcm1设 B b12Mb22MLcm2， ,M，1,2,L , m 是矩阵 B 的列向量组，如果b1nb2nLcmni1 , i2 ,L , i r是1,2,L , m 的一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 那 么i1 , i2Lir 就是1 ,2 L m 的一个极大线性无关组，因此向量组 1 , 2 L m 的秩等于秩 B 。4. 线性变换举例（1）设 V 是数域 P 上的任一线性空间。 零变换： 0 0, V ； 恒等变换

4、： , V 。幕零线性变换：设 是数域P上的线性空间V的线性变 换，如果存在正整数 m ，使得 m 0 ， 就称 为幂零变换。幕等变换：设 是数域P上的线性空间V的线性变换，如果2 ，就称为幕等变换(2 ) V Pn,任意取定数域P上的一个n级方阵A，令:(3) V(4) v二线性变换的运算、矩阵X2X2A 2 ,MX2MMXXXfX P X。XiXiXiPn。f x ,P , A aj是V中一固定矩阵，X AX, X Pn n 。1.加法、乘法、数量乘法(1 )定义：设V是数域P上的线性空间， 性变换，定义它们的和、乘积的 V,是V的两个线 分别为：对任意任取k P，定义数量乘积k为：对任意

5、的 Vkk的负变换-为：对任意的V则 、k与-都是V的线性变换(2 ) L V = I为V的线性变换，按线性变换的加法和数乘运算做成数域P上的维线性空间2.线性变换的矩阵(1 )定义：设V是数域P上的维线性空间，是V的线性变换，1, 2丄，是V的一组基，如果：1a111a12 2La1n n2a211 a22 2La2n nLLLnan11an22Lann na11a21 Lan1那么称矩 阵 Aa12Ma22 LMan2M为线性变换在基a1na2nLann丄，n下的矩阵。此时：1, 2,L ,n1,2Ln1, 2,L ,nA（2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及 线性变换多项式

6、的矩阵：设 1, 2,L , n 是 数 域 P 上 的 n 维线 性空 间 V 的 一组 基 ， , L V ，设它们在1, 2,L , n下的矩阵分别为A,B。1 ） f： L V Pnn , a A是数域P上的线性空间L V到数 域P上的线性空间Pnn的同构映射，因此L V Pnn。2） 可逆A可逆3 、与-在基1, 2,L , n下的矩阵分别为A B,AB 与 A； 任取k P，k在基i, 2,L , n下的矩阵为kA ； 若为可逆线性变换，则1在基1, 2,L , n下的矩阵为 A1；设f X amXm am 1Xm 1 L qx a。为数域P上的任一多 项式，那么 fam m am

7、 1 m 1 L a1 a0 （ 为 V 的恒 等 变 换 ） 在 基 1, 2,L , n 下 的 矩 阵 为 ：a1A a0En三特征值、特征向量与对角矩阵1. 矩阵的特征值与特征向量（3）求法：1）求 fA按重数计算）；2 ）对kEn A在复数域上的所有根1, 2,L , n （重根k 1,L n解齐次线性方程组kEnk n 秩kEn个基础解系k1 k2,L k,i（ l属于特征值k的全部特征向量为Ski ki其中Ski,Sk2,L ,Sk,ik为不全为零的任意常数AX 0，得其一A ），则矩阵A的Sk2 k2 L（复数）Sk,lkk ,lk ，（1 ）矩阵的特征多项式：设A为n级复方阵

8、，将多项式fAEnA称为A的特征多项式。注：1 ）若Aaj nn，则:fAEn A1a1822Lannn1 L1 n An1 tr A n 1 L1 A2）将 EnA称为矩阵A的特征矩阵，En A o称为矩阵A的特征方程。（2）定义：n级方阵A的特征多项式fAEn A在复数域上的所有根都叫做其特征值 （根），设 C是A的特征 值，齐次线性方程组En A X 0的每个非零解都叫做矩阵A的属于其特征值o的特征向量。（4 ） 重要结论：1 ）设o C是A的特征值，Xo是A的属于其特征值0的特 征向量，g x为一复系数多项式。g o为g A的特征值，Xo为g A的属于特征值g o的特征向量； 如果A还

9、是可逆矩阵，那么 丄与-分别为A1和A的o o特征值，Xo为A1的属于特征值 丄的特征向量，Xo为Ao的属于特征值的特征向量，0若1, 2,L , n是矩阵A的全部特征值，那么 g 1 ,g 2 ,L ,g n就是g A的全部特征值，如果A还是 可逆矩阵，则丄,丄L丄为A1的全部特征值，12n ,_A,L为A的全部特征值；12n2）若1, 2,L , n是矩阵A的全部特征值，那么 tr A 12 L n ， I A 1 2 L n。2. 线性变换的特征值与特征向量（1）定义：设 是数域P上的线性空间V的线性变换，0 P， 若存在0 V，使得0，就称0为的一个特征值， 为 的一个属于特征值 0的

10、特征向量。（2 ）线性变换的特征多项式设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换，任取V的一 组基1, 2,L , n，设 在该基下的矩阵为 A，称矩阵为A的 特征多项式I En A为的特征多项式，记为f I En A， 即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式（3 ）求法：设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换。1 ）取定V的一组基1, 2,L , n，求出 在该基下的矩阵A ；2 ）求fI En A在P中的所有根1, 2,L , m（ 0 m n，重根按重数计算，且 m 0表示 无特征值）。3 ）若m 0，对kt 1,L s解齐次线性方程组kEn A X 0，得其一个基础解系k

11、1, k2丄，5（ lk n秩kEn A ），则 线性变换 的属于特征值k的全部特征向量为1 ,2,L , nSk1 k1Sk2 k 2LSk,lkk,l，其中 Sk1,Sk2L ,Sk,lk 为 P中不全为零的任意常数3. 矩阵相似（1 ）定义：设A,B是数域P上的两个n级方阵，如果存在数 域P上的n级可逆矩阵T，使得T 1AT B，就称矩阵A相 似于矩阵B，记为A: B。（2）性质：1 ）矩阵相似是等价关系，即：设A,B,C都是n级方阵，那么：A: A ；若A: B，那么B: A ；若A: B且B: C， 则 A: C。2）若A: B，那么fA I En A fBI En B，因此矩阵A与

12、矩阵B有相同的特征值，相同的迹（tr A tr B）， 相同的行列式（|A |B|）。3）两个实对称阵相似它们有相同的特征值。（3）有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼 此相似。（4 ）若 T 1AT B，那么 Bk T 1AkT, k Z 。4. 线性变换与矩阵可对角化（1 ）矩阵可对角化1 ）设A是n级方阵，如果存在n级可逆矩阵T，使得T 1AT为对角阵，则称A可对角化。2 ） n级方阵A可对角化A有n个线性无关特征向量。3 ）如果n级方阵A有n个不同的特征值，则 A可对角化。4 ）设1, 2丄，k是n级方阵A的所有不同的特征值，fA| En A12 L k lk称h i 1,2

13、,L ,k为i的代数重数；称Si n秩匚巴A i 1,2,L ,k为i的几何重数；S li i 1,2,L ,k ；n级方阵A可对角化 对i 1,2,L ,k都有i的代数重 数=i的几何重数。注：1.设齐次线性方程组iEn A X 0的解空间为 Wi，则S dim Wi2.称ViCn A i为n级方阵A的属于特征值i的特征子空间，那么S dim Vi（2）线性变换可对角化1）设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换，如果 存在V的一组基，使得在该基下的矩阵为对角阵，就称可对角化。2 ）数域P上的n维线性空间V的线性变换 可对角化有n个线性无关特征向量。3 ）设 是数域P上的n维线性空间V的线性

14、变换，如果 有n个不同的特征值，则可对角化。4 ）设 是数域P上的n维线性空间V的线性变换，在V的一组基下的矩阵为 A，设1, 2,L , k是n级方阵A的所有不同的特征值。 若1, 2丄，k P，那么：可对角化 对i 1,2,L ,k都有i的代数重数=i 的几何重数。 若1, 2,L , k不全在数域P中，则 不可对角化。注：i的几何重数=dimVj，其中V V i为的 属于特征值i的特征子空间。四.线性变换的值域与核1. 定义：设 是数域P上的线性 空间V的线性变 换，将1 0 V 0 , V| V分别称为线性变换 的核与值域（1 0与V也分别记为ker与Im ）。2. 线性变换的秩与零度

15、：V与1 0都是V的子空间，将dim V与dim 1 0分别称为的秩和零度。3. 有限维线性空间的线性变换的值域与核设V是数域P上的n维线性空间，是V的线性变换，1，1, 2,L , n为V的一组基，在该基下的矩阵为A，秩A，al1a2 2 Lan n V。若1, 2丄， （其中k 基，于是:a1a：是齐次线性方程组axManr是AX0的解。1 , 2,L ,那么11 , 2 ,L ,0的一个基础解系，k k 1,2, L , n r ）就是2丄，nr的一组k1 1dim 1 0 nrk2 2 L kn r nr ki,k2,L，kn r P因此的秩和零度为V L 13）于是 1 ,2一组基，

16、而dim V r，即 秩 A = r。4）dim V dim3.求法：设V是数域P上的n维线性空间，1）,L , n的一个极大线性无关组就是的秩等于秩 A = r，所以1 , 2 ，L ,的秩为0的求法：取定V的一组基1, 2,L ,是V的线性变换。,求出在该基下的矩阵解齐次线性方程组AXr （ r 秩 A）；2 L , n k k 1,2,L , nr，得 1 0 的一组基k1,1 ,2, L , nr ，0,得其一个基础解系0 L 1 , 2 ,L , nrk1 1 k2 2 Lkn r nr k1 ,k2 L ,kn r P2） V的求法：取定V的一组基A ；设矩阵A的列向量组为2丄，n

17、，求出在该基下的矩阵2,L , n，求出 ir就得到 个极大线性无关组 h i就是V的一组基。1 ri2 丄，irli2i2 L l,个极大线性无关组 h, i2,L , 的ilji2 丄，lir1, 2,L , n 的一2L ，ni2丄，ir，五.不变子空间 定义：设是数域P上的线性空间 子空间，如果对W，都有称W是的不变子空间，也称-子空间。设V是数域P上的线性空间，那么 0与V都是V的任一线 性变换的不变子空间。设 是数域P上的线性空间V的线性变换， 个特征值，那么的特征子空间V V的不变子空间。线性变换的循环子空间：设 间V的线性变换，任取 0,L , m1 线性无关，而 ,L , m1，则 W 是循环子空间。 设V是数域P上的n维线性空间， 的不变子空间， 将其扩充为1.2.3.4.下的矩阵为Ovdim WV的一组基A1 A2 其中0 A3 ，其中矩阵。V的线性变换，W是V的W （即 W W ），就是的任意一都是是数域P上的nV，必存在正整数,L , m 线性相关，令的不变子空间，称W为的0维线性空m，使得是V的线性变换， m n ,取W的一组基 2 , L , m, m 1, L , n，那A为W在W的基1, 2,L , m下的2 ,L , m , 在该基5.六若尔当 （Jordan） 标准形1. 若尔当块与若尔当形矩阵：1 ）若尔当块：形式为