极值点偏移问题

1、极值点偏移问题总结一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数y = f（x）在区间（a,b）内只有一个极值点x。，方程f（x） = 0的解分别为x、x2, jlax1 x2b,（1）若xrx。，则称函数y=f（x）在区间j区）上极值点x。偏移；2（2）若xax。，则函数y= f（x）在区间（xl）上极值点x。左偏，简称极值点x。 2左偏；（3）若上至x。，则函数y= f（x）在区间（xe）上极值点x。右偏，简称极值点x0 2右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理1对于可导函数y = f（x）,在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x。，方程f （x）=。的解分别为xp x2,且a x c x2

2、 b ,（1 ）若f 1（工2巫）a。，则 02 ）x。，即函数y = f （x）在区间（x ,x2）上极大（小） 22值点x。右（左）偏；（2）。若f（土士）。，则土上&a（）x。，即函数y=f（x）在区间（x1,x2）上极大 22（小）值点x。左（右）偏。证明：（1）因为可导函数y = f（x）,在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x。，则函数y = f（x）的单调递增（减）区间为（a,x。），单调递减（增）区间为（x,b）,又a mx1 x2 。,故 x1 +x2 w （a, x。），所以222母“）比，即函数极大（小）值点x。右（左）偏。2判定定理2对于可导函数y = f(x),在

3、区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x,方程f (x) = 0的解分别为xp x2 ,且a x1 x2 b ,(1)若 f (x) f (2xo -x2),则“2 )xo 即函数 y = f (x)在区间(x1, x2)上极 2大(小)值点x右(左)偏；(2)若 f (xi) f (2xo -x2),则 x1 +x2 ()xo 即函数 y = f (x)在区间(x1, x?)上极 2 ,大(小)值点x左(右)偏。证明：(1)因为对于可导函数y=f(x)在区间(a, b)上只有一个极大(小)值点x, 则函数y = f(x)的单调递增(减)区间为(a,x。)，单调递减(增)区间为(x,b),又

4、ax1x2b,有 x1 x0 ,且 2x0 -x2 x0 ,又 f (x1) f (2x0 -x2),故 x1 )2x0 -x2, 所以金2 )%,即函数极大(小)值点x。右(左)偏.2结论(2)证明略。二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1 .方法概述：(1)求出函数f(x)的极值点；(2)构造一元差函数 f(x) =f (x0+x)-f(% -x)(3)确定函数f(x)的单调性；(4)结合f(0)=0,判断f(x)的符号，从而确定f(x0 -x),+x)的大小关系。2 .抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f (x1)= f (x2) , x0为f(x)的极值点,求证：x1 + x2

5、f(0) = f (xo) - f (xo) =0 ,从而得到：x% 时，f (xo +x) f (xo -x)(4)不妨设xi% 时，f(xo +x) f (xo -x)且为%4, f(xj = f(x2)故 f(x1)= f(x2) = f任。+(x2xof h(x?/)】=f(2xo x2),又因为xi xo ,2xo _ x2xo且f (x)在(g,xo )上单调递减，从而得到xi 2xo -x2 ,从而x “2 2%得证； (5)若要证明(土券)。还需进一步讨论土产与xo的大小，得出笥2所在的单调 区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；此处只需继续证明：因为xi+x22x

6、。故上产x。，由于“川在(心,)上单调递减， 故 f (x_&):二 o2说明：(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求 f(x)的单调性、极 值点，证明f(xo +x)与f(x -x)或f(x)与f (2% -x)题大小关系；若试题难度较大，则直接 给出形如xi+x2 2解答：【法一】1(1) f(x) = 1-x1，f(x)=0,x=1;)增 1,也 减 极大值 f(1)=一 e(2) g(x) = f (1+x) f (1x) =(1 十x e?十 )(1x je，”,g,(x)=xexe g(x)=0

7、,x=0 ； h,0 触；(0,依)增x0 时， g(x)g(0)=0 即 f (1+x) a f (1x) x1 #x2,不妨设 x1 x2 ,由(1)知 x 1 ,.f(x1)=f (x2)二f |1x2 -1 f 1 -(x2 -1),1- f (2 -x2)：、2 1,二 2 -x2 2 -x2 ,即 x +x2 2【法二】欲证 x1 +x2 2 ,即证 x2 2 -x1由法一知 0 x 1 ,故 2x 1又因为f(x)在(1,收)上是单调递减的，只需证f(x2) f (2 一天),又因为 f(xi) = f(x2),故也即证 f (xi) f(2-xi),构造函数 h(x) = f(

8、x) _f(2x) , x10,1)1一八,1h(x) = f(x) -f (2 -x)=-h(x)在(0,1 )上单调递增，h(x)2成立【法三】由 f(x1)=f(x2)得，x1e“1=x2e22,化简得 ex2，=生 x1不妨设 x2x1,由法一知 0 x11 2即证三+t2 ,又因为et -1 0 , e -1等价于证明：2t +(t -2 /et -1 )0 构造函数 g(t)=2t+(t2xet 1 口 0), wj g(t)=(t1+1 , g”(t)=tet0,故 g (t)在(0,+ 8 )上单调递增,g(t) g(0) = 0从而g(t)在(0,+比)上单调递增，g(t)a

9、g(0)=0【法四】由 f(m)=f(x2)得，xe*=x2e*,化简得 e*2/1 =包 ,x1两边同时取以e为底的对数：得x2-x1=ln&=lnx2-lnx1,即lnx2tnx1x1x2 - x2 a+ 1in x2- inx1x1 x2x2x1 x2从而 x1 . x2 = x1 . x221 = -2 in - = - in -,x2- x1x2- x1x1x21 x1x令t=迨(ta1 ),则欲证x1+x2a2等价于证明 intaz，x1t -1t 1 int 2构造 g(t) ,=|1 +一|lnt,(t1),t -1t -12._ .则 g(t)=t -1-2t2nt ,t t

10、-1又令 h(t) =t2 -1 -2tlnt(t1 )贝h(t) =2t _(2ln t +1 )=2(t -1 -lnt),由于 t -1lnt对 vt w(1,f )恒成立,故 h(t)0,h(t)在(1什)上单调递增，h(t) h(1) = 0 ,g(t) a 0对,w (1,y)恒成立,g(t)在(1,y)上单调递增,g(t)g(1)由洛必达法则知：!叫g=!叫t t 111nt =叫 tj11nt =怕 lnt lj =2即g(t)2,即证式成立，也即原不等式成立1 x例 2: (2013 湖南又 21) f(x)=-2*1 x(1)求函数的单调区间；(2)证明：当 f(x1) =

11、 f 区)(为 xz)时，x1+x22例2.已知函数f(x)=lnx-ax, a为常数，若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求 证：x1 x2 . e2例3:已知x1,x2是函数f (x) =ex-ax的两个零点，且x1 2(2) x1 x2 1例4:已知函数 f (x) =x-eax(a0),若存在 ox2 ( x1 x2),使 f (x1)= f (x?) =0,求 证：土 ：二 aex2变式训练：1 .设函数 f (x) =ex -ax+a(a w r)的图像与 x轴交于 a(x1,0 b(x2,0 xx x2 )两点,(1)证明：f g/x1x2) 0(2)求证：x1x2 为 +

12、x22 .设函数f(x) =alnx-bx2,其图像在点p(2, f (2)处切线的斜率为-3,当a=2时，令g(x) = f (x)-kx,设?2 (%x2)是方程g(x) =0的两个根，x0是的等差中项，求证：g(xo) ：:013 .已知函数 f (x) =a ln x(aw r) x(1)若a =2,求函数f(x)在(1,e2 )上的零点个数；(2)若 f (x)有两零点 xi,x2 ( x x2),求证：2 xi +x2 0,证明：0xa 时，f (a +x) 0,证明：当 0 cx f (1x)； a aa(3)若函数y=f(x)的图像与x轴交于a,b两点，线段ab中点的横坐标为x。，证明：()；0(四)含指数式的极值点偏移问题指数不等式:m ne-e（）在对数平均的定义中，设a=em,b = en,则e(a,b) =m-n （m）,根据对数平均em （m 二 n）m mm n不等式有如下关系：e三