直线和平面所成的角与二面角1111

1、直线和平面所成的角与二面角【高考导航】立体几何中的角大致可分为三种，即线线角，线面角，平面与平面所成的二面角立体几何计算问题几乎都与三种空间角的计算有关，是高考立体几何检测的热点内容， 题型上一般以解答题进行考查，难度适中，如 1993全国理5分；1995全国文5分；1996全国4分; 2002北京4分；1996上海12分；2002全国理12分；2002新课程12分；2002上海春12 分；2003北京春5分；2004北京14分；2004广东12分等.【学法点拨】本节内容有斜线在平面上的射影，斜线与平面所成的角，公式COS =COS 1 COS 2,最小角定理，二面角的概念，二面角的平面角，两

2、个平面垂直的判定定理及性质定理，对于本节知识的学习要了解线面角、半平面与半平面所成二面角以及异面直线所成角，在求法上一般都是转化为平面的角，具体地，通常应用“线线角抓平移，线面角抓射影，面面角抓平 面角，利用向量抓法向量”而达到化归的目的要注意对平面角的拼求和各种角的定义及取值范围空间角的计算步骤是“一作，二证，三计算” “作”即在图形中若无所求空间角的 平面角，应先作出来；“证”指明自己所找或所作的角即为所求角；“计算”在平面几何图形内把角求出在三种角的计算中要特别注意二面角的作法及求法，注意COS =COS 1 COS 2在线面角求值中的应用，注意利用射影面积公式S =S - cos 求二

3、面角，对于平面与平面垂直的判定与性质的学习，可以与直线与直线垂直，直线与平面垂直的判定与性质联系起来，应用时注意三种垂直之间的相互转化同时在学习中培养空间的想象能力、解决问题的能力以及逻辑推理能力和运算能力【基础知识必备】一、必记知识精选平面的斜线和平面所成的角(1) 直线与平面所成角 范围：0WaW 90 当a =0时，直线在平面内或直线平行于平面；当a =90时，直线垂直于平面；当0 VaV 90时，直线与平面斜交 最小角定理：直线与平面斜交，过斜足在平面内作直线，这些线与斜线所成角中射影与斜线所成角最小 COS =COS 1 COS 2. 作法：作出直线和平面所成角，关键是作垂线，找射影

4、(2) 二面角 定义：由一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角 二面角的平面角： 定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角对概念的理解要注意： 平面角的两边分别在二面角的两个半平面内；平面角的二边都和二面角的棱垂直 二面角平面角的求法：直接法：所谓直接法即先作出二面角的平面角，经过证明后再进行计算，常用的直接法有三：(a) 利用平面角的定义；(b) 利用三垂线定理；(c) 过一点作棱的垂面.S射影间接法：所谓间接法，就是不作出二面角的平面角，而利用公式cos =一.此方法也叫射影法也可利用两半平面法向量的夹角求二面角注意

5、当直接作出二面角的平面角有一定难度时，一般才采用间接法求二面角大小 二面角的范围是 0 180,可从两个半平面“重合”、“相交”和“共面”各种情况考虑，重合时=0;相交时，0 0. / NME为锐角/ NME就是异面直线BC与AD所成角，其余弦值为9 .解法二：在平面 BCD内作口 BCGD如图9-7-8），连结 AG贝U DG/ BC,IH9-? R/ ADG是直线BC与AD所成角或者其补角./ BD/ CG EC丄 BD, ECL CG.又 AE!平面BCD ACL CQ CG=BD=2 DG=BC=3.在 Rt ACG中，AG= AC 2 CG 2 = d4 ,AD2 DG2 AG23

6、9 14 _3cos/ ADG= 2AD?DG = 2、3?3 = 9直线BC与AD所成角的余弦值为 9 .点拨：本题的（1）设问新颖，属开放式，增加了问题的灵活度，对空间想象能力、推理、 判断能力要求更高，近年高考中像这样开放式设问题的试题较多，是高考命题的一个热点本题的（3）求异面直线所成角，要化归为相交线所成角，解法一利用中位线性质将两异面直 线所成角转化为相交直线所成角，解法二过一直线上一点作另一直线的平行线.应注意异面直线所成角一定是锐角或直角四、高考思维点拨【例5】（2002 ,河南、江苏）四棱锥P ABCD勺底面是边长为a的正方形PB丄面ABCD.若面PAD与面ABCD所成的二面

7、角为60。，求这个四棱锥的体积；（2）证明：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于 90 .思维入门指导：解答第（1）问，基本思路是寻找面 PAD与底面ABCD所成的二面角的平面 角，进而求棱锥的高和体积； 也可以通过侧面厶PDA在底面的射影面积与二面角的关系求解； 还可以补形为正四棱柱求解，但此法较繁琐解答第（2）问，首先要找出面PAD与面PCD所成的二面角的平面角，也即找出一个垂直于 PD的平面，转化为在平面上研究该平面角的大小解法一：I PB丄面 ABCD： BA是PA在面ABCD上的射影又 DAL AB,. PAL DA./ PAB是面PAD与面ABCD所成的二面

8、角的平面角 / PAB=60 而 PB是四棱锥 P ABCD的高，PB=AB- tan60 =-3a,i_.3 V锥=3 3 a a2= 3 a3.解法二：如图 9-7-9PB丄面 ABCD连结 BD,则厶ABDbA APD在面 ABCDk的射影，Sa ABDSaapd =cos60 1 2a 2_1 1又 Saabi= 2 a , Saapi=2 =a10由 PB丄 AD, ADL AB,得 ADL面 PAB：. ADL APSa apda21 1AD a . PA= 2= 2=2a.在 Rt PAB中，PB=(2 a = 3a,/ PB是四棱推 P ABCD勺高，1仝V 锥=3 .3 a

9、a =3 a.证法一：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与 PCD恒为全等三角形.作AEL DP,CDffl S-7-10垂足为 E,连结 EC,如图 9-7-10，则 ADEA CDE . AE=CE / CED=90故/ CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角设 AC与 DB相交于点 0,连结 E0,贝U EOL AC 2 a=OAv AEv AD=a 且 AD= 2 OA.在厶 AE2 EC2 (2?OA)2 (AE 、20A)(AE 20A)2AEC中 , cos / AEC=2AE?EC =AEv 0.所以，面 PAD与 PCD所成的二面角恒大于 90 .a. h2 a2=

10、 Jh2 2a2证法二：如图9-7-10 ,同证法一，得/ CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角 设 PB=h,贝U PA=h2+a2, PD = h2+2a2.PA? AD 在 Rt PAD中 , AE= PD 在厶 AEC中，/ AE=EC2 2 2 2 2AE2 EC2 AC2 AE2 a2 cos/ AEC= 2AE?EC = AE22a=1- AE22 2h 2a,2 2=1- h ah2a2v 0./ AEC是钝角.即面PAD与面PCD所成的二面角恒大于 90 .点拨：本题以立体几何课本的一道复习题为基础，通过题中某个元素的变动，导出 某个“恒定”的结论，创设出一个新的问

11、题，与课本的习题一气呵成，构成一个完美的题组, 给人以完整、清新、自然的感觉，是一道颇具创意的试题.本题的第（1）题，出自于课本复习参考题九B组第6组，它只改变问题的表述，并不改变问题的本质，考查线面、线线垂直关系的逻辑推理和解直角三角形、求棱锥体积的运算，是对考生的基本要求五、经典类型题思维点拨【例6】 如图9-7-11 ,三棱柱CAB-OAB，平面OBBOL平面OAB,Z OCB=6O,/AOB=90,且 OB=OO=2, OA 3 .求：二面角O-AB-O的大小；思维入门指导：根据题意利用二面角的定义，找出二面角的平面角，运用解三角形的知识求出.解：取CB的中点平面OBBO丄平面 OD丄

12、平面OAB.过点D作AB的垂线，OAB,垂足为 E,连结OE,则OE丄AB.Z DEO为二面角 O-AB-O的平面角.LL严2迈由题设得 OD3， sin Z OBAOA OB = 7.21 DE=DB sin Z OBA= 7 .DO!在 Rt ODE中，tan / DEO= DE =J7/Z DEO=arctan7 .即二面角 O-AB- O的大小为arctan 7六、探究性学习点拨【例 7】 在直角梯形 ABCD中,Z D=Z BAD=90 , AD=DC=2 AB=a(如图 9-7-12(1)，将 ADC沿 AC折起，使 D至U D，记面 ACD为a，面 ABC为B,面 BCD为 .-

13、AC- B为直二面角(如图9-7-12(2)，求二面角B -BC-的大小； -AC- B为60 (如图9-7-12(3)，求三棱锥 D ABC的体积.(1) 若二面角a(2) 若二面角a本题是一道由平面图形折叠形成的立体几何问题.主要考查空间想象力和图形对应关系，也考查了立体几何的常规计算一一二面角计算和体积计算解：(1)在直角梯形 ABCD中,由已知 DAC为等腰直角三角形， AC=/2 a，Z CAB=45 .由 AB=2a,可推得 BC=AC= 2 a，/ ACL BC. 取AC的中点 E，连结 D E，如图9-7-13，贝U D EL AC.思维入门指导:rr二面角a -AC- B为直

14、二面角，/ D E丄B . 又T BC平面B，/ BC丄D E. BC丄 a .而 D C a,： BC丄 D C./ D CA为二面角B -BC-的平面角.由于/ D CA=45，二面角 B -BC-为 45 .（2）如图9-7-14，取AC的中点E,连结D E,再过D作D C丄B,垂足为 Q连结OE. / AC丄 D E,. ACL CE.D EO为二面角 a -AC- B 的平面角 D EC=60 .在 Rt 1 二.2.3.61D CE 中，D E= 2 AC= 2 a, D O=DE- sin60 = 2a 2 =4a. V）- -abc= 3Sa abc-D1O= 3 x1 1,6

15、 .62 AC- BC- D O=6 x . 2 a x .2 ax 4 a= 12 a2_2A. 2B. 2C. 3 4. 二面角a -AB- B的平面角是锐角，C是面a内的一点（它不在棱 在面B上的射影，点 E是棱AB上满足/ CEB为锐角的任意一点，那么（ A. / CEB=/ DEBB. / CEBZ DEB.点拨：本题立意简明，考查了空间图形的基本推理和运算，对于折叠问题，空间图形中大多数数据靠平面图形计算去赋值，这是解决这类问题的通常思考方法，题目难度中档，有一定的区分度【强化练习题】T1A卷：教材跟踪练习题（60分45分钟）一、选择题（每小题 5分，共30分）1. 在正三棱柱 A

16、BC- A1B1C1中，若AB2 bb ；则AB与CB所成角的大小为（A.602. 直线I 是（）A.n 与C.n 与B.90 C.105 D.75 与平面a斜交成n角，则I与a内任意直线所成角中，最小与最大的角分别90180 -nB.180 -n。与 nD.以上都不是60,那么直线PC6D. 3AB上)，点D是点C)3. PA、PB PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为与平面PAB所成角的余弦值是（）C. / CEBZ DEBD. / CEB与/ DEB的大小关系不能确定AB CD的中点，且 AD=4 BC=6, MN19，则 ）5. 在空间四边形ABCD中, M N分别为 AD

17、与BC所成角的余弦值和所成角分别为（1 J1A.- 2 ,3B.- 2 ,6. 已知a、b是异面直线，A, AB1=1,则a与b所成的角等于（3Ba,)A,C.B b,1 _ 1 _2_2 ,3D. 2 ,3AALa, AA 丄 b, BB 丄 b，且 AB=2,A.30 B.45 C.60 D.75 二、填空题（每小题 4分，共16分）7. 在正方体 ABCD- AiBiC D中，BD与平面AiBiC D所成角的正切值为8. AB /平面a, AC丄a于C, BD是a的斜线，D是斜足，若 AC=9, BD=6 3，贝U BD与a所成的角为9. 过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有 .10.

18、 一条长为a的线段夹在互相垂直的两平面之间，它和这两个平面所成角分别为45和30，由这线段的两个端点向两个平面引垂线，那么垂足间的距离是.三、解答题（每小题 7分，共14分）11. 如图 9-7-15 , A是厶 BCD所在平面外一点， AB=AD / ABC2 ADC=90 .E 是 BD的中 占八、-求证：平面 AECL平面 ABD平面 AECL平面 BDC.2a,高为h.（1）求 cos；DCV为B，若/ BED是二面角a -VC- B的平面角，求/ BED.14m）/ min的垂直分速度由地面上升，经过10min后，由观察点D测得气球在D的正东，仰角为45 ;又过10min后，测得气球

19、在 D的北偏东60,仰角 为60 .若气球是直线运动，求风向与风速 .三、创新题（60分）（一）教材变型题（10分）3. （ P46习题9.7第4题变型）山坡与水平面成30角，坡面上有一条与山底水平线成30角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为（二）一题多解（15分）4.如图9-7-17，在正方体 ABCD-A1BC1D中，E、F分别为AA、AB之中点, 面ACCA1所成角的大小求 EF和平图 9-7 18（三）一题多变（15分）5. 如图9-7-18，过正方形 ABCD勺顶点A作PA丄平面ABCD设PA=AB=a. 求二面角B-PC-D的大小； 求平面P

20、AB和平面PCD所成二面角的大小.（1） 一变：四边形 ABCD是菱形，且/ ABC=60，其他条件不变，求二面角 大小.（四）新解法题（1O分）6. ABC的边BC在平面a内，A在平面a上的射影为 A,当/ BAC=60 , 面a所成角分别为 30和45。时，求cos / BA C的值.（五）新情境题（10分）7. 如图9-7-19，在底面是直角梯形的四棱锥S- ABCC中，/ ABC=90 , SA丄面ABCDSA=AB=BC1B-PC-D 的AB AC与平=1，AD=2 .（1）求四棱锥S ABCD的体积；（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.四、高考题（10分）8.（2001

21、 ,京、蒙、皖春）已知2。是厶ABC所在平面外的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，如图9-7-20 ,且在 ABC的高CD上, AB=a, VC与AB之间的距离为h,点M VC. 9-7-10（1）求证：/ MDC是二面角 M-AB-C的平面角； 当/ MDEM CVN时，求证：VC丄平面 AMB（3）若/ MDCN CVN= （0 V V 2 ），求四面体 MABC勺体积.加试题：竞赛趣味题（10分）已知正方体 ABCD- A B C D的棱长为1,在AC上取一点P,过P、A, B三点作 的平面与底面所成二面角为a,过P、B、C三点作的平面与底面所成的二面角为B,求a + B的最小值.

22、【课外阅读】巧用向量法求空间角众所周知，解决立体几何问题，“平移是手段，垂直是关键”，向量的运算中：两向量的共线易解决平行问题，向量的数量积则易解决垂直、两向量所成角及线段的长度等问题一般来说，当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，应该说不仅会降低学习的难度，而且增强了可操作性，为学生提供了崭新的视角，丰富了思维结构，消除了学生对立体几何学习所产生的畏惧心理，更有利于新课改、新理念、新教材的教学实验本文主要是谈利用向量法求解空间角的问题角这一几何量本质上是对直线与平面位置关系的定量分析，其中转化的思想十分重要， 三种空间角都可转化为平面角来计算，可以进一步转化为向量的夹角求解

23、1. 求两条异面直线所成的角异面直线所成的角a利用与它们平行的向量，转化为向量的夹角B问题，但9 0 , n ，|a?ba （0，2 ，所以 COS a =|COS 0 |= a b .【例1】（2002，上海春季）如图9-7-21，三校柱 OAB-OAiBi，平面CBi丄平面OAB,/ OCB=60，/ AOB=90，且CB=OC=2，CA3，求异面直线 AB与AO所成角的大小1A 9-7-21思维入门指导：用平移 AB或AO的方法求解，是很困难的，于是我们很自然地想到向 量法求解充分利用/ ACB=90，建立空间直角坐标系，写出有关点及向量的坐标，将几何 问题转化为代数问题计算解：建立如图

24、9-7-21所示的空间直角坐标系，则0, 0) , A1( 3 , 1 3) , B (0, 2, . A1B=OB- OA1 =(- 3 , 1,qo, 0，0），0（0，1，丙），a（闪，设异面直线所成的角为a, 则0) -3),COS a =。1 =( - 3 , -1 , 3 ).A1BAab|IO1A=7OA1 = OA -故异面直线 AB与AO所成的角的大小为arccos 7 .点拨：(1)以向量为工具，利用空间向量的坐标表示，空间向量的数量积计算公式，异 面直线所成角问题思路自然，解法灵活简便；(2)也可以直接用自由向量OA=a, OB=b，1 =c表示OA1与AlB，然后再来解

25、.2. 求直线与平面所成的角在求平面的斜线与平面所成的角时，一般有两种思考的途径，如图9-7-22，种是按定义得/ PCH=；另一种方法是利用法向量知识，如图9-7-22，平面a的法向量为n,先求P与n的夹角，注意PC与a所成角B与的关系，于是就有sin 0 =|cos|.ffl 9-7-22【例2】(2002，天津、山西、江西)如图9-7-23，正三棱柱 ABC- ABG的底面边长为a,侧棱长为v2 a，求直线AG与侧面AB所成的角的大小.思维入门指导：利用正三棱柱的性质， 建立适当的空间直角坐标系， 写出有关点的坐标， 求角时有两种思路，一是由定义找出线面角，取AB中点M连结CiM,证明/

26、 GiAM是AG与面AiB所成的角；另一种是利用平面 AB的法向量n=(入，x, y),求解.解法一：建立如图9-7-23所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0) , B(0 , a, 0) , Ai(0 ,0,2 a) , Ci(-叮 3aa,. 32 a, 2 , . 2 a)，取 AB 中点 M 则 M(0, 2 , 、2 a)，连结 AM MC,有 MCi =(- 2 a , 0 ,0), AB=(0, a,0) , AAi =(0 , 0 ,-2 a).由于 MCi AB =0 , MCi AAi=0,.MC丄面 AB. /-Z CAM是 AC与侧面AB所成的角0 .75a _a

27、/ ACi =(-2 a ,2,、2a), AM =(0 ,2,2 a),2 a9a2. ACi AM =0+4+2a2=4 .223aa2而 | ACi=44-2a= + 3a ,|a223-2a| AM |=2 a ,9a2ZAC3a?3a 三/. cos=2=2.=30,即AG与侧面AB所成的角为30 .解法二(法向量法)：(接法一)AA1 = (0, 0,2 a).设侧面AB的法向量n=(入，x,y).所以 n AB =0，且 n AA1 =0，. ax=0，且.2 ay=0. .x=y=0,故 n=(入，0, 0)._亜 a/ AC1 =(-2 a, 2 ,2 a),? J3 a n

28、?AC- a.cos=| n|?|AC?|= | |?T3a =-2|._1.sin 0 =|cos|= 2 . /.0 =30 .点拨：充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系.再用向量有关知识求解线面角.解法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算3. 求二面角利用向量法求二面角的平面角有两种途径，一是根据二面角的平面角的定义，如图9-7-24 , AB丄 l , CDL l , AB a, CD B,则二面角a - I - B的大小为 .另一种 方法是利用两平面的法向量的夹角求解，但应注意法向量n1、n2的夹角与二面角的大小是相等或互补的.【例3】(2001 ,全国

29、)如图9-7-25，在底面是一直角梯形的四棱锥S一 ABCD中, AD/ BC,Z ABC=90 , SA丄平面 AC SA=AB=BC=1 AD=2，求面 SCD与面 SBA所成的角.思维入门指导：本题是“无棱”的二面角，利用向量法求二面角大小更显示了向量工具的魅力.抓住AD AB AS两两互相垂直建立坐标系，用待定系数法求出面SAB面SCD的法向量，再求其夹角.解：如图9-7-25，建立空间直角坐标系，则A(0 , 0, 0) , B(0, 1, 0) , C(1 , 1, 0),1D( 2 , 0, 0) , S(0 , 1,_ i_ i0)，得 DC =( 2 , i , 0) , S

30、D=( 2 , 0 , -i) , SC=(i , i , -i).设平面 SDC的法向量为 ni=(x i ,yi, zi). T ni 丄面 SDC .ni 丄 DC , ni 丄 SD , ni 丄 SC.ni -1+0=0)5 xi_zi=Cjpi - sc=o.论4和jcrbr厂工】=0”设平面SAB的法向量为n2=(X2 , y2 , z0 ,则SA =( 0 , 0 , -i ),n 2 ? SA 0,SB=( 0,-1 , 1).n 2 ? SB 0.Z20,y2 Z20. X2=y2=0. /. n2=(x 2,0 , 0). ni ?n2.cos=| ni |n2 |2Xi

31、 X2Xi X200参考答案A卷一、1.B 点拨：如答图9-7-1建立空间直角坐标系 0 xyz. 2Y 2/6设高为 h，则 AB=-2h,可得 A（0,- 2 h, h） , B（0，2 h, h） , Bi（0，2 h, 0） , G（ 2h, 0，0）._._LV6V2则 ABl =（0，2 h，-h）， BCl =（ 2 h，- 2 h，-h）.ABi BCi =Ox 2 h+ 2 h (- 2 h)+h2=0，-ABi 丄 BC i2. A 点拨：直线与平面斜交时，斜线和面所成角是斜线与面内所有直线所成角中最小 的，且最大角为直角.3. C 点拨：构造正方体如答图9-7-2所示，过

32、点C作CO丄平面PAB垂足为O,则O是正 ABP的中心，于是/ CFO为PC与平面PAB所成的角.3Uffi 5 T-2PO .32设 PC=a 则 PO= 3 PD= 3 a.故 cos / CP PC = 3 .结合图形，可先比较tan / CEB与 tan / DEB的大小，即可得到答案取BD的中点P,连PM PN贝U PM=2 PN=3然后用余弦定理可求得4.B点拨:5.C点拨:6.C二、7. 2点拨:如答图9-7-3 ,连结B D,则/ B D B为BD与面ABCD所成角，tanBBi2/ Bi DB=BiD 2. 解:如答图9-7-5 ,设正方体的棱长为 = 2 .B作BE丄a，垂

33、足为 E,如答图9-7-4，连结 DE则/ BDE为直线 BD8. 3 点拨：过与a所成角.在Rt BED中易知/ BDE=60 .9. 无数个点拨：由直线和平面垂直的判定定理可知满足条件有无数个10. 2三、11.证明：T AB=AD / ABC=Z ADC=90 , AC=AC Rt ABC Rt ADC；. BC=CD.又 E为BD的中点， CEL BD.则BD丄平面ACE.ABDL平面 AEC平面 BDCL平面 AEC.又AB=AD且E为BD的中点， AE! BD, 又BD 平面 ABD bd 平面BCD二平面 点拨：本题关键证明 BD丄面ACE.咄5a,在厶 ABE 中，AB= 2

34、a, BiE= 2 a, AE=2 a.2a25a2?a2Ab2 BiE 2 AE2cos/ ABE= 2?aB1 ? bi E442?,2a?5a 丄3 102= 10 . sin / ABE=10垃 3 io 2 22 ax 10= 4 a .1 1.ABiE =2 AB be- sin / ABE=2 x Vi a 12aSa AiBiCi2322cos 0 = Sa ABiE :=4a=31 1又 sAiBiCi =2 a a=2 a2,2即平面ABE与底面AiBiGD所成角的余弦值为 3 .B卷一、1.解：(1)依题意，B(a, a, 0), C(-a , a,0),D(-a , -

35、a , 0)3aaha3ahBe =(-2 ,-2,2), de :=(2,2 ,2).3aaa3ahh3a2h2 BE-DE =(-22)+(- 2 2)+ 2-2 =-2+ 4 ,(3a)2/ 2)a)2(h)22 2 :1 BE |=(丄 Jl0a2=2h2|DE |=(少a)2 h 21-.10a2 h2由向量的数量积公式，有E(- 2，22a h2 , 2),3a24“BE?DE6a2 h21 2 2 1 2 2 6a h 10a2 h2?：；10a2 h22 Tcos= 又F是AB的中点， AG=4 AC. be | DE | = 22= 10a2 h2/ BED是二面角a -VC

36、- B的平面角， BE 丄 CV ,即有 BE CV =0. 又由 C (-a , a, 0), V (0, 0, h).3a a h得 CV =(a ,-a , h),且 BE=(-2 ,-2 , 2),3aa2-rh2be CV =- 2 + 2+ 2=0.即 h= 2a ,此时有6a2h26a2(2a)2icos= 10a2h2=10a2(-2a)2 =- 3 ,1 1 / BED=arccos(- 3 )= n -arccos 3 .点拨：应用空间向量注意坐标系的建立及点的坐标的确定二、2.解：以水平放置的平面a的地面，根据题意画出空间图形如答图9-7-6所示.10min后气球位置为

37、A,又10min后气球位置为 B, A、B在平面a的射影分别为 A、B,且AA= 14X 10 = 140(m), BBi=14X 20=280(m)，/ ADB=30。，/ ADA=45，/ BDB=60，于是，得AD=AA=140m BiD=BBcot60 = 73 (m).在厶ADB中，280280 爲 1401 丄 丄又 E、F 是 AA、AB的中点， EF=2AB=2AC.AB1 =1402+( 3)2-2 140 . 3 2 =3(m).A1B114.3因此，风速为 10 =3 (m/mi n)./ bDAD+AB2 ,/ DAB=90 .故风向为正北.点拨：要使问题得以解决，其关

38、键在于能否建立起一个能表示观察点D与该气球的相对位置之间关系的几何模型，因为有了几何模型我们就能根据其立体图形进行相关的计算，求出风向和风速.在利用立体图形进行计算之前，必须在图中找到对应的已知量三、(一)3.400米 点拨：山坡与水平面成30角，就是指立体几何中的 “二面角的平 面角及其大小”，这里只须将文字语言“翻译”成图形语言，再进行推理运算如答图 9-7-7 所示，/ BCD=Z BAC=30 , BC=2B=200 (米) AB=2BC=400(米).(二) 4.解法一：E平面ACCA1，只要找到F在面ACCA1内的射影即可.由正方体性质有平面 ACCA 平面 ABCD且交线为 AC

39、, 过F作FG丄AC于G则有FG 丄平面 ACCA.连EG 则/ FEG为EF与平面 ACCA1所成的角.如答图9-7-8.4=21 ACGF-1竺ACRt AGF中 ,由/ GAF=4 ,有 GF=AG=l AC.所以在 Rt FGE中 , sin / EFG=EF = 2/ FEG=6 .解法二：有现成的垂直关系，直线与平面所成的角最终是由直线与直线所成的角表示其 大小的，故可建立空间直角坐标系利用向量数量积解决建立如答图9-7-8的空间直角坐标系， 设正方体棱长为2,则由E、F是AA、AB的中点. 有E (2 , 0 , 1) , F (2 , 1, 0).过F作FGL AC于G,则由正

40、方体性质有 FGL平面ACCA1._1 连EG则EG与EF的夹角为所求，又由F是AB的中点，有 AG=4 AC.6- G(4 ,12 , 0),1EG=(- 2 ,12 , -1) , EF(0, 1, -1).EG ?EF0丄1 2一、.1 1 1?、01cos=|EG|EF | = .44又 (0 ,2 ) , = 6 ,BD丄AC, BDL PC(三垂线定理). 得PC丄平面BED 从而 DEL PC 即/ EF与平面ACCA所成的角为6 .(三)5.解：T PAL平面 ABCD连结 AC BD 在平面PBC内，作BEL PC E为垂足,连结 DE, BED是二面角B-PC-D的平面角.在 Rt PAB中，由 PA=AB=a 得 PB= 2 a.PAL平面 ABCD BCL AB, BCLP