直线方程总复习

1、敏闻文化学科教师辅导讲义年级：年级学员姓名：辅导科目:数学课题直线方程总复习授课时间教学目的掌握教学内容1.直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地.当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0 wa i802.直线的斜率定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k=tan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线l与x轴平行或重合时，=0k = tan0 = 0;当直线l与x轴垂直时,a = 90 k不存在.当0 ,90时，kU ；当90 ,i80 时.k ()；当90时.k不存在。

2、例如右图，直线li的倾斜角 =30,直线li丄12 .求直线li和12的斜率i3y解：ki = tan30 =li 丄 |2 ki k2 = Ili3-kc_ .Qk2 一 V 3i例：直线x 0B C=0, B0, A0C.C=0, AB0例2：直线1的方程为Ax By C=0,若A、B、C 满足 AB.0且BC0，则l直线不经的象限是()A第一B.第二c.第三D 第四4. 两直线平行与垂直当 11 : y k1x b|, l2 : y k2x b2时,li /I2kik2, bib2 ； 1112kik2i注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。5. 已知两条直线 li

3、 : Aix+Biy+Ci = O，I2: A2X+B2y+C2=0,(Ai与Bi及A2与B2都不同时为零)若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组0的一组解。0两条直线的交角:两条相交直线|1与|2的夹角：两条相交直线li与丨2的夹角，是指由又称为li和-所成的角，它的取值范围是0,2，当 90，则有tanli与12相交所成的四个角中最小的正角 ，k 2 k ii kik2若方程组无解li/l2 ；6点的坐标与直线方程的关系若方程组有无数解li与l2重合几何兀素代数表示点P坐标 P(Xo, yo)直线l方程 Ax+By+C = 0点P(xo, yo)在直线1上坐标(X0,y)满足方程：Ax+B

4、y+C = 0点P(Xo, yo)是li、l2的交点AiX Bi y Ci 0 坐标(xo, yo)满足方程组A?x B2y C207.两条直线的位置关系的判定公式A iB2 A2Bi 丰 0方程组有唯一解两直线相交A iB 2 A 2Bi0B iC2 B 2Ci 0,无解两直线平行或 AiC2 A2Ci 丰 0两直线重合A1B 2 A 2B10B1C2 B2C10有无数个解或 A1C2 A2C1 = 0两条直线垂直的判定条件：当Ai、Bi、A2、B2满足时li丄|2。答：AiA2+BiB2=0经典例题；例1已知两直线li：x+（1 + m） y =2 m和I2： 2mx+4y+16 = 0，

5、m为何值时li与I2相交平行解：例 2.已知两直线 li： (3a+2) x+(i 4a) y + 8=0 和 I2： (5a 2)x+(a+4)y 7=0 垂直，求 a 值解：例3求两条垂直直线li: 2x+ y +2=0和l2： mx+4y 2= 0的交点坐标解：1例4.已知直线I的方程为y x i，2（i）求过点（2，3）且垂直于I的直线方程；（2）求过点（2，3）且平行于I的直线方程。8.两点间距离公式：设A(X1, y1)、B(X2, y2)是平面直角坐标系中的两个点,则 |AB|= (X2 X1)2 (y2 yj29.点到直线距离公式:一点P(xo, yo)到直线I : Ax+By

6、+C=0的距离d| Ax。 By。 C |A2 B210.两平行直线距离公式例:已知两条平行线直线11 和 I2 的一般式方程为 li: Ax+By+Ci = 0, I2:Ax+By+C2=0，li与|2的距离为d|C1 C2A2B21:求平行线11: 3x+ 4y 12=0与|2：ax+8y+11 = 0之间的距离。例2:已知平行线I1： 3x+2y 6=0与I2: 6x+4y3=0，求与它们距离相等的平行线方程。11. 直线系方程已知两条直线 丨1： A1X+B1y+C1 = 0，I2： A2x+B2y+C2=0，(A1与B1及A2与B2都不同时为零)若两直线相交，则过它们的交点直线方程可

7、以表示为：I: A1x+B 1y+C1+ (A2x+B2y+C2) = 0 或者 (A 1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0 都可以例 1:直线 I: (2m+1)x+(m+1) y 7m4= 0 所经过的定点为 。 (m R)例2:求满足下列条件的直线方程(1) 经过点P(2, 3)及两条直线I1： x+3y 4=0和I2： 5x+2y+ 1 = 0的交点 Q;(2) 经过两条直线 I1: 2x+y 8=0和I2: x 2y+1 = 0的交点且与直线 4x3y 7=0平行；(3) 经过两条直线 li: 2x 3y+10=0和12： 3x+4y2=0的交点且与直线 3x 2y+4

8、= 0垂直;解:x1x2 y1y212. 中点坐标公式：已知两点Pi (xi, yi)、Pi(xi, yi)，则线段的中点M坐标为(12,7172)2 2例已知点A(7， 4)、B( 5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。i3、对称冋题： 关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等 关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上(方程)，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程)可解得

9、所求对称点注：曲线、直线关于一直线y x b对称的解法：y换x, x换y.例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x -对称曲线方程是 f(y+2 ,x t2)=0.曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是 f(a -x, 2b -y)=0 .例1:已知直线l : 2x 3y+仁0和点P( 1, 2).(1)分别求：点P( 1, 2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点0的对称点Q坐标分别求：直线1: 2x 3y+仁0关于x轴、y轴、直线y=x、原点0的对称的直线方程.(3)求直线l关于点P( 1, 2)对称的直线方程。 求P( 1 , 2)关于直线I轴对称的直线方程。例2:点

10、P（ 1， 2）关于直线I: x+y2=0的对称点的坐标为例3:已知圆Ci: (x+1)2+(y1)2=1与圆C2关于直线x y仁0对称，则圆C2的方程为：A. (x+2)2+ (y2)2=1 B. (x 2)2+(y+2)2 = 1C. (x+ 2)2+ (y+ 2)2= 1 D. (x2)2+ (y2)2=1基础训练A组一、选择题4 .已知ab 0,bc 0 ,则直线ax by c通过（1 .设直线ax by c 0的倾斜角为 ，且sin cos 0 ,A .ab1B. a b 1C.ab0D. a b 02y 30的直线方程为( )2.过点P(1,3)i且垂直于直线 xA .2xy10B

11、. 2xy 50C.x2y50D. x2y 703.已知:过点A(2,m)和 B(m,4)的直线与直线2x y 10平行，则m的讣直为()A .0B .8C. 2D . 10则a,b满足（）)A .第一、二、三象限B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D .第二、三、四象限5.直线x 1的倾斜角和斜率分别是(450,11350, 190，不存在D. 180，不存在若方程(2m23)x (m2m)y 4m 10表示一条直线，则实数 m满足()二、填空题1 .点 P(1,1)到直线x y 10的距离是2 .已知直线11:y 2x 3,若12与11关于y轴对称，则J的方程为若13与11关于X轴对称

12、，则I3的方程为若丨4与11关于y x对称，则14的方程为；3.若原点在直线I上的射影为(2, 1)，则I的方程为 2 24 .点P(x, y)在直线x y 40上，则x y的最小值是5.直线I过原点且平分YABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4), D(5,0)，则直线l的方程为 。三、解答题1 .已知直线Ax By C 0 ,(1)系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；)系数满足什么关系时与坐标轴都相交；(3) 系数满足什么条件时只与x轴相交；(4) 系数满足什么条件时是 x轴；(5) 设P x0, y0为直线Ax By C 0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A x x0

13、 B y y00 .2求经过直线l1 : 2x 3y 5 0,|2：3x 2y 3 0的交点且平行于直线 2x y 3 0的直线方程。3 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 请求出这些直线的方程。4 过点A( 5, 4)作一直线I，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5 (数学2必修)第三章直线与方程综合训练B组一、选择题1 已知点A(1,2), B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A 4x 2y 5 B 4x 2y 5C x 2y 5D x 2y 52若A( 2,3), B(3, 2),C( ,m)三点共线 则m的值为()211A.E.

14、C. 2 D. 2223 .直线:暮 1在y轴上的截距是()a bA. b B.b2 C. b2 D. b4 .直线kx y 1 3k ,当k变动时，所有直线都通过定点()A . (0,0)B . (0,1)C. (3,1) D . (2,1)5 .直线XCOSy sina 0与 xsin ycos b 0的位置关系是A.平行B .垂直C.斜交D.与a,b,的值有关6.两直线3x0与6xmy 10平行，则它们之间的距离为（7.已知点 A(2,3), B( 3,2），若直线I过点P（1,1）与线段AB相交，则直线斜率k的取值范围是（）、填空题1.方程xi lyl 1所表示的图形的面积为 2. 与

15、直线7x 24y 5平行，并且距离等于 3的直线方程是 。!3. 已知点M（a,b）在直线3x 4y 15上，贝U a2 b2的最小值为 n的值是4. 将一张坐标纸折叠一次，使点（0,2）与点（4,0）重合，且点（7,3）与点（m, n）重合，贝U m。5. 设a b k（k 0,k为常数），则直线ax by 1恒过定点三、解答题1.求经过点 A（ 2,2）并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。2一直线被两直线l1 :4x y 6 0,|2：3x 5y 6 0截得线段的中点是P点，当P点分别为(0,0),(0,1)时，求此直线方程。3、把函数y fx在x a及x b之间的一段图象近

16、似地看作直线，设a c b ,证明：f c的近似值是：fa C a f b f a .b a4 .直线y3x 1和x轴,3y轴分别交于点 AB，在线段AB为边在第一象限内作等边ABC，如果1在第一象限内有一点 P(m，3)使得 ABP和厶ABC的面积相等，求 m的值。6(数学2必修)第三章直线与方程提高训练C组一、选择题1 如果直线I沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(k上，贝U PQ用a、c、m表示为(2.若P a, b、Q c, d者E在直线y mxA. a c J m2 B . m ac.二 D .1 m23 .直线I与两直线y 1

17、和x70分别交于 代B两点，若线段 AB的中点为M (1, 1)，则直线I的斜率为(32A.B.234. ABC 中，点 A(4,1), AB的中点为32一D .23M (3,2),重心为P(4, 2)，则边BC的长为(c. 10F列说法的正确的是(y y0 k x x0 表示B .经过定点A0, b的直线都可以用方程y kxb表示C .不经过原点的直线都可以用方程x y a b1表示D.经过任意两个不冋的点 R x1,y1、P2X2, y的直线都可以用方程yy1 x2x1xx1y2y1表示的直线都可以用方程经过定点P0 Xo, yo6.若动点P到点F(1,1)和直线3xA .3x y60B

18、. x 3y 20C .x 3y20D . 3x y 20、填空题1.已知直线l1 :y2x 3, I2与l1关于直线yx对称，直线I3丄丨2，则l3的斜率是y 40的距离相等，则点 P的轨迹方程为(2 直线x y 1 0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点 P逆时针旋转90得直线I , 则直线I的方程是3 一直线过点 M( 3,4)，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是 2 2 4若方程x my 2x 2y 0表示两条直线，则 m的取值是15.当0 k时，两条直线kx y k 1、ky x 2k的交点在象限.2三、解答题1 经过点M (3,5)的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么

19、？2 求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3) , B(0, 5)到它的距离相等的直线方程3已知点A(1,1), B(2,2)，点P在直线y x上，求|p2|PB取得最小值时P点的坐标。4.求函数f(x)x2 2x 2 、x2 4x 8的最小值。第三章 直线和方程答案基础训练A组 一、选择题1.Dtan1,k1, b1,ab, ab02.A设2xy c0,又过点P( 1,3)，则23c 0,c1，即 2x y 10,4maca小c小3.Bk2,m84.Cyx,k0, 0m2bbbb5.C X 1垂直于x轴，倾斜角为90，而斜率不存在2 26.C 2m m 3,m m不能同时为0二、填空题3

20、恵1.2d -1 ( 1) 13伍22. y2x3, y2x 3,l4 :x 2y 31 013.2x y 50 k -,k 2, y （ 1）2（x 2）2 024.8 x2 y2可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d L4 2425. y 2x平分平行四边形 ABCD的面积，则直线过 BD的中点（3,2）3三、解答题1.解：（1）把原点（0,0）代入Ax By C 0 ,得C 0 ；（ 2）此时斜率存在且不为零 即A 0且B 0 ；（ 3）此时斜率不存在，且不与y轴重合，即B 0且C 0 ；（4）A C 0,且 B 0（5） 证明：Q P x0，y0在直线Ax By C 0上A

21、x0 By0 C 0,CAx0 By0A x B y y00。2.解：由2x 3y3x 2y0,得1913，再设 2x y c 0 ,则 c 47 913134472x y132(x 2),4x 2y 505.B cos sinsin ( cos )06.D 把 3xy 30变化为6x 2y 60,则d1( 6)|62 227“0207.C2,kpA,kkpA,或kl3.解：当截距为0时，设ykx，过点 A（1,2），则得 k 2，即 y 2x ；当截距不为0时，设彳aya1,或xa丄1,过点A（1,2），a则得a 3，或a 1，即xy30,或 x y 10这样的直线有3条：y2x，xy30,

22、或 x y 10。44.解：设直线为y 4k(x5）,交x轴于点（一5,0），交y轴于点（0,5 k 4） k14S丄工55k45,40 16 25k102 kk2得 25k230k 160或225k250k 160解得k 2,或k8552x 5y 100，或8x5y 200为所求。o为所求。第三章直线和方程综合训练B组 一、选择题31.B线段AB的中点为（2,）,垂直平分线的k223 m212.AkABkBC ,m32 13223.B令x0,则yb2x 3 04.C 由kx y 1 3k得k(x 3) y 1对于任何k R都成立，则y 10填空题1.2 方程xy 1所表示的图形是一个正方形，

23、其边长为2.7x 24y70 0,或 7x 24y 800设直线为7x 24y c 0,d723,c 70,或 803.3a2b2的最小值为原点到直线3x4y 15的距离:d 1554. 44 点(0,2)与点(4,0)关于512(x2)对称，则点(7,3)与点(m, n)也关于y 12(x2)对称,m 71 2(2122)，得235211 15.(d ax by 1 变化为ax(ka)y1,a(x y)ky 10,三、解答题对于任何a R都成立,x y ky 101.解：设直线为y 2 k(x 2),交x轴于点(2,0)，交y轴于点(0, 2k 2)，12 22k 21,4 - 2k2kkkS122得2k3k 20，或 2k解得4x2.解：由3xy5y垂直于所求直线y 4x，或 y 13-，或 kl324 x，5kl5k20，或 2x y250 、 得两直线交于020为所求。记为A( 24,18)，则直线AP23 23即4x 3y 0，或24 x 5y 50为所求。1.证明：Q A, B,C三点共线,即 yc f (a) f (b) f (a) c ab a卄c a即 yc f(a