立体几何线面垂直的证明

1、立 体 几 何 证 明【知识梳理】1. 直线与平面平行判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（“线线平行=线面平行”）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行（“线面平行=线线平行”）2.直线与平面垂直判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面（“线线垂直=线面垂直”）判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。（线面垂直=线线垂直）性质2 :如果两

2、条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行三。平面与平面空间两个平面的位置关系：相交、平行1. 平面与平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（“线面平行=面面平行”）2. 两个平面垂直判定定理:女口果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直=面面垂直” ）性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直=线面垂直）知识点一【例题精讲】1.在棱长为2的正方体ABCD - AiBiCiDi中，E、F分别为DD1、DB的中点。(3)求三棱锥Bi - EFC的体积V.平面 BD

3、iC _ BiC EF _ BiC ；mAB(1)求证：EF/ 平面 ABCiDi ;( 2)求证:2. 如图所示,四棱锥P-ABCD底面是直角梯形BA _ AD, CD _ AD, CD =2AB, PA _ 底面 ABCDE为 PC的中点， PA= AB AB= i.(1) 证明：EB /平面PAD ;(2) 证明：BE 平面PDC ;(3) 求三棱锥 B-PDC勺体积V.3、如图所示，在四棱锥 P- ABCD中，PA丄底面 ABCD , AB丄AD , AC丄CD ,/ ABC=60 , PA=AB=BC , E 是 PC 的中点，证明：(i) AE丄CD (2) PD丄平面 ABE.r

4、.4、.如图，三棱柱 ABC - AiBiCi 中，CA=CB , AB=AA i, / BAA i=60 (I)证明：AB 丄AiC;1如图，菱形ABCD与等边 PAD所在的平面相互垂直，AD=2 , /DAB=60.(I)证明：AD丄PB;(H )求三棱锥 C- PAB的高.2如图1-4所示， ABC和厶BCD所在平面互相垂直，且 AB = BC= BD = 2, / ABC = / DBC = 120, E, F, G分别为AC, DC , AD的中点.求证： EF丄平面BCG ;3如图1-1所示，三棱柱 ABC - A1B1C1中，点Ai在平面ABC内的射影D在AC 上, / ACB

5、=90 , BC= 1, AC = CC1 = 2.4、如图，在三棱台 ABC - DEF 中，平面 BCFE 丄平面 ABC，/ ACB=90 , BE=EF=FC=1 ,BC=2 , AC=3 . (I)求证：BF丄平面ACFD ; (H )求直线 BD与平面ACFD所成角的余弦 值.5、三棱锥 P- ABC 中，/ BAC=90 , PA=PB=PC=BC=2AB=2 , (1)求证：面 PBC 丄面 ABC6. 已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形,且平面PDCL底面ABCD,E为PC的中点 求证:PA/平面EDB;（2）求证:平面EDBL平面PBC;7、

6、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为矩形，平面 PAB丄平面 ABCD , PA丄PB ,BP=BC , E为PC的中点.1）求证:AP / 平面 BDE ;2.求证BE垂直平面PACB8将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥 M - ABCD （如图二）， 若在四棱锥 M - ABCD中有MA=二.（1）求证：AC丄MD ;（ 2）求四棱锥 M-ABCD的体积.图一图二作业1、如图1,菱形ABCD的边长为12, / BAD=60, AC交BD于点0 将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M , N分别是棱BC, AD的 中点，且DM=6匚.(I)求证：

7、0D丄平面ABC;2、如图，在斜三棱柱 ABC - AiBiCi中，0是AC的中点，AQ丄平面 ABC, / BCA=90AA i=AC=BC .(I)求证： AiB丄 ACi；3、如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD 是/ ABC=60的菱形，M为PC的中点，PC= ；( I)求证：PC丄AD ;4、如图，四棱锥 P-ABCD线段AD , PC的中点.E , F分别为(I)求证：AP /平面BEF ;(n)求证：BE丄平面PAC .5、如图，四棱锥 S-ABCD中，AB / CD , BC丄CD，侧面SAB为等边三角形.CD=1 , SD= _. (1)

8、证明：CD丄 SD;AB=BC=2 ,6如图，四棱锥 S-ABCD中， ABD是正三角形，CB=CD , SC丄BD .(I)求证：SB=SD ; (n)若/ BCD=120 , M为棱SA的中点，求证： DM/平面SBC.1中，AP 丄平面 PCD , AD / BC, AB=BC= AD ,c27、如图，在矩形 ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，AB = AE =2AD =4，现将 MBE沿BE边折至APBE位置，且平面 PBE丄平面 3BCDE.(1)求证：平面 PBE _平面PEF ；8、如图5.在椎体 P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形, 且/ DAB=60 , PA = PD = . 2 ,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1) 证明：AD 平面DEF;9、在如图所示的多面体 ABCDEF中，ABCD为直角梯形， AB/CD , DAB =90 , 四边形ADEF为等腰梯形，EF /AD，已知AE EC , AB二AF二EF = 2,AD 二 CD =4 .(I)求证：平面 ABCD 平面ADEF10.如图