第3讲变量间的相关关系与统计案例(20210216225821)

1、第3讲变量间的相关关系与统计案例【2013年高考会这样考】以选择题或填空题的形式考查回归分析及独立性检验中的基本思想方法及其简单应用.【复习指导】复习时高考在该部分的主要命题点就是回归分析和独立性检验的基础知识和简单应用. 要掌握好回归分析和独立性检验的基本思想、方法和基本公式.01KAOJIZIZHUDACiXUE八一一一八八一一一八八一八一考基自主导学怒老i&iai戟学相低基础梳理1. 两个变量的线性相关正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域内,对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.(2) 负相关点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)

2、 线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.2. 回归方程(1) 最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法.(2) 回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(xi , yi), (X2, y2),(Xn, yn),其回归方程为 y= bx+ a,工儿M =10 2一 2/ j U 北其中样本相关系程的皿a是在y轴上的截距.n _ Xi- x % y性相关关系.(1) 当r 0时，表明两个变量正相关； 当rv 0时，表明两个变量负相关；(3) r的绝对值越接近1,表明两

3、个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于 0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当|r|0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.4. 线性回归模型(1) y= bx+ a+ e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差.(2) 相关指数na2y用相关指数rn ad bcx= a , b a , c c, d b, d (其中n= a+ b + c+ d为样本容量),可利用独立性检验判断 (a + b (a + c(c+ d (b+ d J表来判断“ x与y的关系”.这种利用随机变量X来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.助电 6

4、.635，所以有99%的把握认为该地区老年人是否需要帮助与性别有关.(3) 由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层，采用分层抽样方法，这要比采用简单 随机抽样方法更好.1 ? 二出”独立性检验的步骤:(1) 根据样本数据制成 2X 2列联表；22n ad be2(2) 根据公式X =计算X的观测值；(a+ b(a + e(b + d (c + d)(3) 比较X与临界值的大小关系作统计推断.【训练2】 某企业有两个分厂生产某种零件

5、，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组29.86，29.90，29.94，29.98，30.02，30.06，30.10，29. 90)29. 94)29. 98)30. 02)30. 06)30. 10)30. 14)频数P 12638618292614乙厂:分组29.86，29.90，29.94，29.98，30.02，30.06，30.10，29. 90)29. 94)29. 98)30. 02)30. 06)30. 10)30. 14)频数297185159766218

6、(1)试分别估计两个分厂生产零件的优质品率;360500(2)由以上统计数据填下面 2X 2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的 零件的质量有差异”.甲厂乙厂合计优质品非优质品合计n(ad bef a + b c+ d a+ e b+ dP# k)0.050.01k3.8416.635解(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为X 100% = 72%;320乙厂抽查的产品中有 320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为x 100%500=64%.甲厂乙厂合计优质品360320680非优质品140180320合计5005001 0002X=

7、 1 000X360二 180二320二140 - - 7.35 6.635,500 x 500 x 680 x 320所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.考向三线性回归方程【例3】?（2012荷泽模拟）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录 的产量x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据.x3456y2.5344.5出上表数据的散点、图；、据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y = bx+ a；（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，已知该厂技改前生产 100吨甲产品的生产能耗为 90吨标准煤.试根据（2

8、）求出的线性 回归方程.预测生产 100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3X 2.5 + 4 X 3+ 5X 4+ 6X 4.5= 66.5）审题视点（2）问利用公式求a、b,即可求出线性回归方程.问将x=100代入回归直线方程即可.m :汀讣1:解（1）由题设所给数据，可得散点图如图所示.厶”66. 5 - I X 45_X 3. 5 夕86-4 X 4?P * *b= - 4 x.=1y b3. 5 0. 7 X 4. 5 = 0. 35*1因此，所求的线性回归方程为y= 0.7x+ 0.35.由的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为:9

9、0 - （0.7 X 100 + 0.35） = 19.65（吨标准煤）.在解决具体问题时，要先进行相关性检验，通过检验确认两个变量是否具有5对父子的身线性相关关系，若它们之间有线性相关关系，再求回归直线方程.【训练3】（2011江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 高数据如下：父亲身高x/cm174176176176178儿子身高y/cm175 :175176177177则y对x的线性回归方程为（）.B . y= x+ 1D . y= 176A . y=x-11C. y = 88 +解析由题意得x =174 + 176+ 176 + 176+ 178=176(cm),175 +

10、175+ 176 + 177+ 177y =5= 176（cm），由于（x , y ）一定满足线性回归方程，经验证知选C.答案 CK A QiTl Zu u AN KI A N 0 T u PC 八八十 w亠十03 * 考题专项突破琴蛊展示名肺解潼阅卷报告15数据处理不当导致计算错误而失分【问题诊断】由于大多数省市高考要求不准使用计算器，而线性回归问题和独立性检验问题仍是近几年新课标高考的常考点，并且大多是考查考生的计算能力，就计算方面常有不少考生因计算出错而失分.【防范措施】平时训练时首先养成勤于动手的习惯，亲自动手计算，再者考场上要保持心态放松，做题时细心认真，最终可减少错误的发生.【示例

11、】？（2011安徽）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据:年份20022004200620082010需求量（万吨）236246P 257276286 : y= 6.2x 12 177.(2)y= 6.2X 2 012 12 177 = 2974正解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线 方程，为此对数据预处理如下：年份200642024需求量2572111019 :29对预处理后的数据，容易算得,x = 0, y = 3.2 ,(4 戶 f 21”(一2 戶 f 11)+ 2X 19+ 4X 29 5X 0X 3.2 b= 4 2+= 2 2+

12、 22 + 42 5 X 02=4? = 6.5, a= y bx = 32y 257 = b(x 2 006) + a = 6.5(x 2 006) +由上述计算结果，知所求回归直线方程为3.2,即 y= 6.5(x 2 006)+ 260.2.(2)利用直线方程，可预测 2012年的粮食需求量为6. 5(2 012 2 006) + 260.2= 6.5X 6+ 260.2= 299.2(万吨).(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y= bx+ a;(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.236 + 246 + 257 + 276+ 286 实录 (1) x = 2 006, y = 260.2.52002 2006 236 260.2 + 2004 2006 246 260.2 + 2006 2006 257 260.2 b=2002 2006 1 2+ 2004 2006 2+ 2006 2006 2