简支梁受力分析力矩剪力计算.

1、第十章弯曲梁的设计第一节一.弯曲的概念梁平面弯曲的概念和弯曲内力匚程实际中，存在大量的受弯曲杆件，如火车轮轴，桥式起重机大梁。如图10.1.1,图10.1.2所示，这类 杆件受力的共同特点是外力（横向力）与杆轴线相垂直，变形时杆轴线山直线变成曲线，这种变形称为弯 曲变形。以弯曲变形为主的杆件称为梁。图10.1.1火车轮轴图10丄2起重机大梁工程中常见的梁，其横截面通常都有一个纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线组成梁纵向对称面。如图如果梁上所有的外力都作用于梁的纵向对称平面内，则变形后的轴线将在纵向对称平面内变成一条平 面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是弯曲问题中最基本、最常见的，所以，这里只

2、讨论平面弯曲 问题。二、梁的计算简图及基本形式梁上的荷载和支承情况比较复杂，为便与分析和计算，在保证足够精度的前提下，需要对梁进行力学 简化。(一) 、梁的简化为了绘图的方便，首先对梁本身进行简化，通常用梁的轴线来代替实际的梁。(二) 、荷载分类作用在梁上的载荷通常可以简化为以下三种类型：1、集中荷载 当载荷的作用范围和梁的长度相比较是很小时，可以简化为作用于一点的力，称为 集中荷载或集中力。如车刀所受的切削力便可视为集中力P，如图10.1.4 (a)所示，其单位为牛(N)或 千牛(kN)。2、集中力偶当梁的某一小段内(英长度远远小于梁的长度)受到力偶的作用，可简化为作用在某一截而上的力偶,称

3、为集中力偶。如图10. 1.4 (b)所示。它的单位为牛米(N-m)或千牛米(kN-m)。3、均布载荷沿梁的长度均匀分布的载荷，称为均布载荷。分布载荷的大小用载荷集度q表示,均布集度q为常数。如图10. 1.4 (c)所示。其单位为牛/米(N / m )或千牛/米(k / m )。(三) 、梁的基本形式按照支座对梁的约束情况，通常将支座简化为以下三种形式：固定较链支座、活动狡链支座和固定 端支座。这三种支座的约束情况和支反力已在静力学中讨论过，这里不再重复。根据梁的支承情况，一般 可把梁简化为以下三种基本形式。1、简支梁 梁的一端为固定狡链支座，另一端为活动饺链支座的梁称为简支梁。如图10.1

4、.5 (a) o2、 外伸梁 外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁。 如图 10. 1.5 (b)3、悬臂梁一端固定，另一端自山的梁称为悬臂梁。如图10.1.5 (c)a)集中力(a)尚支梁FY_丿妙/(b)集中力偶(b)夕卜伸梁4W H H(c)分布载荷(C)悬储梁以上三种梁的未知约束反力最多只有三个,应用静力平衡条件就可以确定这三种形式梁的内力。图101.4 载荷类图101. 5梁的类三、梁弯曲时的内力剪力和弯矩计算作用于梁上的外力以及支承对梁的约束力都是梁的外载荷。支承对梁所产生的约束反力一般都山静力平衡 条件求得。在外载荷的作用下，梁要产生弯曲变

5、形，梁的各横截面内就必定存在相应的内力。求解梁横截 面上内力的方法是截面法。(c)如图10.1.6所示的简支梁，受集中力人和人作用。为了求岀距A端支座为x处横截而m-in上的内力.首先按静力学中的平衡方程求出支座反力Ra、Rb然后用截而法沿m-in截而假想地把梁截开，并以左边部分为研究对象(图10.1.6(b) )。 因为原来梁处于平衡状态，故左段梁在外力及截面处内力的共同作用下也应保持平衡。截面m-m上必有一个与 截面相切的内力Q来代替右边部分对左边部分沿截面切线方向移动趋势所起的约束作用；乂因为Ra与Pi 对截面形心的力矩一般不能相互抵消，为保持这部分不发生转动，在横截面m-m上必有一个位

6、于载荷平面 的内力偶，其力矩为来代替右边部分对左边部分转动趋势所起的约束作用。山此可见，梁弯曲时，横截面上一般存在两个内力因素，其中Q称为剪力，M称为弯矩。剪力和弯矩的大小可由左段梁的平衡方程确定。由 SFy = 0 得 Ra-Pi-Q = qOF-由 SMC = 0 得 M -RAx + Px-a) = QM =RAx- p(x-a)式中，C为横截面的形心。若取右段梁研究，根据作用力与反作用力定律，在m-m截面上也必然有剪力和弯矩M，,并且它们分别与Q和M数值相等、方向相反。剪力和弯矩的正负按梁的变形来确定。凡使所取梁段具有作顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负。如图10.7所示。凡使梁段产生

7、上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。如图10.1.8所示。图10. 1.7剪力的符图1018弯矩的综上所述，可得求剪力、弯矩大小和方向的规则:对于剪力：梁内任一横截面上的剪力等于该截面一侧梁上所有横向外力的代数和；正负号山“外力左 上右下，产生的剪力为正”确定。对于弯矩：梁内任一横截面上的弯矩等于该截面一侧梁上所有外力对截面形心力矩的代数和。正负号 由“外力矩左顺右逆，产生的弯矩为正”确定。利用上述规则，可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力求出指定截面的剪力和弯矩。例10.1.1简支梁受集中力P = WN,力偶m = kN m，均布载荷q = 4kNltn,如图10.9所示,试求II 和II

8、-II截面上的剪力和弯矩。解：（1）求支座反力。工Mb（F） = 0,即 Px750-Ra x 1000 加 + gx0.5x 250 = 0可得Ra=250N即心 一 P - ？ x 0.5 + Rp = 0可得Rb = 2750 N（2）计算剪力和弯矩（应取简单的一侧为硏究对象）。QlRa = 250NA/】=Ra x 200 = 250 x 0.2 = 50N wII-IIQ2 = qx0.4- Rr =4x0.4-2.75 =-5kN=/?ftx400-x0.4x 200 =2750 x400 x 103 -4x IO3 x0.4 x 0.2 = 780N m例102图10.1.10

9、(a)是薄板轧机的示意图。下轧楹尺寸表示在图10.1.10 (b)中轧制力约为10N, 并假定均匀分布在轧轨的CD的范围内。试求轧轨中央截面上的弯矩及截面C的剪力。图10.1.10剪板机电2解：轧馄可简化为如图10.1.10 (c)所示形式。轧制力均匀分布于长度为o8m的范围内，故轧制力的载 荷集度为1A4q = kN/in = 12.5xkN/m0.8山于梁上的载荷与约束反力对跨度中点是对称的，所以容易求出两段的约束反力为in4Fa =FH= = 5xO3kN以截面C左侧为研究对象，求得该截面上的剪力为sc= 5xWkN在跨度中点截面左侧的外力为心和一部分均布载荷。以中点截面左侧为研究对象，

10、求得弯矩M =F4xO.83-t7xO.4x = 350kN.m四. 剪力图和弯矩图在一般情况下，剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化的。如果取梁的轴线为x轴，以坐标x表示 横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为x的函数，即Q = QWM = M(x)上述两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，故分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。为了能一LI 了然地看出梁各截面上的剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况，在设讣讣算中常把各截面上的 剪力和弯矩用图形表示。即取一平行于梁轴线的横坐标x来表示横截面的位置，以纵坐标表示各对应横截 面上的剪力和弯矩，画出剪力和弯矩与X的函数曲线。这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图

11、。利用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力 图和弯矩图往往是梁的强度和刚度计算中的重要步骤。剪力图和弯矩图的画法是首先求出梁的支座反力，然后以力和力偶的作用点为分界点，将梁分为儿段, 分段列出剪力和弯矩方程。取横坐标X表示截面的位置；纵坐标表示各截面的剪力和弯矩，按方程绘图。下面通过分析例题说明剪力图和弯矩图的绘制方法及步骤例10. 1. 3 如图10.1.11 (a)所示起重机横梁长起吊重量为P。不讣梁的自重，试绘制图示 位置横梁的剪力图和弯矩图，并指出最大剪力和最大弯矩所在的截面位置。H n hiinmrn1rT壬1 图10. 1. 11简支

12、梁受集中力解（1）绘制横梁的计算简图根据横梁两端A、B轮的实际支承悄况，将其简化为简支梁（图10. 1. 11（a） o起吊重量为P可简化为作用于沿横梁行走的小车两轮中点所对应的梁的梁截面C处的集中力。（2）计算A、B两端的支座的约束反力根据静力平衡方程得R占宀（3）建立剪力方程和弯矩方程山于截面C有集中力p作用，梁AC端和BC段上任意截面左段研究对象的平衡方程不同，故应分别建立两段的剪力方程和弯矩方程。设AC段和BC段的任一截面位置分别 用x表示（图10.1.11 （a）,并以左段为硏究对象讣算剪力和弯矩，则方程为AC段BC段Q = R八=Pb0xa0xaa xlaxl（4）绘制剪力图和弯矩

13、图山AC段和BC段剪力方程可知，两段的剪力分别为一正一负的常数,故剪力图是分别位于x轴上方和下方的两条平行线（图10.1.11（b） o山两段的弯矩方程可知，弯矩图为两条斜直线，山边界条件可得出斜直线上两点的坐标值：AC段M _Pub西=0,冏=0.iBC段M =x2= a2 i x2=l M2=0于是便得到如图10. 1. 11(c)所示的横梁的弯矩图。(5) 确定剪力和弯矩的最大值 山图10. 1. 11c,结合剪力方程，可以看出，当5时，BC段各截 面的剪力值最大；当ab时，AC段各截面的剪力值最大。小车行驶时，力P作用点的坐标发生变化，最 大剪力值也随之发生变化。小车接近支座B点或A点

14、时，剪力达到最大值-TP。山图10. 1. 11c,结合弯矩方程，可以分析得出，集中力F作用的C点所在截面处有最大弯矩。当小车位于梁的中点时，即2处，因乘积处最大，所以最大弯矩值也最大，为例10. 1. 4 如图10. 1. 12 (a)所示简支梁，在全梁上受集度q的均布载荷。试作此梁的剪力图和 弯矩图。解：1)求支座反力。由工及工Mb=O得F = F =肿仏22) 列剪力方程和弯矩方程。取A为坐标轴原点，并在截面x处切开取左段为研究对象，如图10. 1. 12 (b)所示，则(0 X /)图 10. 1. 12UnTHmyn 隔 rrnmnT(10.1.1)简支梁受均布M=F、丄出X川22(

15、0x/)(10. 1.2)3）画剪力图。式(10. 1. 1)表明,剪力Fs是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线x = 0,4）画弯矩图。式（10.1.2）表明，弯矩H是x的二次函数，弯矩图是一条抛物线。山方程既曲线顶点为（亍8 ）,开口向下，可按下列对应值确定儿点。X0/4123/ T/M03q卩32水283q卩320剪力图与弯矩图分别如图10. 1. 12 (c)、(d)所示。山图可知，剪力最大值在两支座A、B内侧的F. =M 横截面上，2。弯矩的最大值在梁的中点，maX 8。例10.1.5 如图10.1.13 (a)所示简支梁，在C点处受大小为Me的集中力偶作用。试作其剪力图和弯矩 图

16、。解：1)求支反力。hrmTmnunig2IX =0,得:1图10. 1.13简支梁受集中力偶2) 列出剪力方程和弯矩方程。Fs(x) = -FAy = 一牛 (0 v x v /)因C点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。AC段M(x) = -FAvx =(0xa)BC段M 二-FBv (/ - x)二(/- x)(0 x a,则最大弯矩发生在集中力偶作用处右侧横截面上,分析以上儿例即可得出剪力图和弯矩图规律：1. 梁上没有分布载荷时，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。斜率为对应的剪力图的值，剪力为 正时，弯矩图向上倾斜(/);剪力为负时，弯矩图向下倾斜()。2. 集中力F作用的截平面上，剪力

17、图发生突变，突变的方向与集中力的作用方向一致；突变幅度等于 外力大小，弯矩图在此面上出现一个尖角。3. 梁上有均布载荷作用时，其对应区间的剪力图为斜直线，均布载荷向下时，直线山左上向右下倾斜（）,斜线的斜率等于均布载荷的载荷集度q。对应的弯矩图为抛物线，剪力图下斜（）,弯矩图上凸（一），反之则相反。剪力图 = 的点其弯矩值最大，抛物线部分的最大值等于抛物线起点至最大值点对应的剪力M = ql2 /8 = X X 图形的面积，如图10.1.12 （d）所示，22 2。4. 集中力偶He作用的截面上，剪力图不变，弯矩图出现突变。Me逆时针时，弯矩图山上向下突变， He顺时针时，弯矩图由下向上突变。

18、前面总结了集中力、集中力偶和均布力作用时，剪力图和弯矩图的做图规律，下面我们根据这些规律 快速而准确地做出梁的剪力图和弯矩图。例10.1.6 简支梁受P=3kN、P2=kN的集中力作用（图10.1.14 （a）。已知约束反力, 心=2.5灯V,心=1.5册,其他尺寸如图所示。试绘出该梁的剪力图和弯矩图.1解：（1）绘剪力图。剪力图从零开始,一般自左向右，逐段画出。根据规律可知，因A点有集中力尺“ 故在A点剪力图突变，山零向上突变2.5kN,从A点右侧到C点左侧，两点之间无力作用，故剪力图平行 与尤轴的直线。因C点有集中力故在C点剪力图|1 2. 5kN向下突变3kN, C点左侧的剪力值为2.5

19、kN, C点右侧的剪力值为-ZkN。同样的道理，依次，可完成其剪力图(图10. 1. 14 (b)。需要说明，剪力 图最后应回到零。图中虚线箭头只表示画图走向和突变方向。(2)绘弯矩图。弯矩图也是从零开始，自左向右边，逐段画出。A点因无力偶作用，故无突变。 因AC段剪力图为*轴的上平行线，故其弯矩图为一条从零开始的上斜线，其斜率为2.5 (图10. 1.14(c) 中斜率仅为绘图方便而标注)，C点的弯矩值为2.5xl = 2.5N)。CD段的弯矩图为一条从2.5&N加开始的下斜线，斜率为0.5,故D点的弯矩值为2.5-0.5x2 = 1.5伙Nm),同样的道理可画出DB段弯矩图，最后回到零(图

20、10. 1. 14 (c)。例 10. 1.7 外伸梁受力如图 10.1.15 (a)所示，P = 0kN,陽=占”，RB = 6kN o其它尺寸如图所示。试绘出梁的剪力图和弯矩图。S.tS5的梁，计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常 用的梁，其跨高比远大于5,因此，计算式可足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况。例10.2.1如图10.2.5 (a)所示矩形截面简支梁。已知：F=5k N, mmo试分别求将截面竖放和横放时梁截面上的最大正应力。图10.2.5简支梁受力解：1)求支座反力。根据外力平衡条件列平衡方程，可解得支座反力为耳严 Fb、.=5KN2)画出剪力图和弯矩图，如图10. 2.

21、 5 (b)、(c)所示。可见，在CD段横截面上剪力为零，故CD 段为纯弯曲段，截面上弯矩值为Mnv = Mc =900N 加Mmax _ 77T3）竖放时最大正应力。先山表10. 2. 1中查得矩形截面的截面弯曲系Wz的汁算公式，代入式 Wz 即可求出竖放时横截面上的最大正应力为同理可求得横放时横截面上的最大正应力为M _ M _900臥一丽 一 0.06x0.0326- 6= 100x10 认= 100MP“山此例可知：矩形截面梁的横截面放置方位不同，其最大正应力值也不同，即梁的弯曲强度不同，矩 形截面梁的横截面竖放比横放时强度高。二梁的弯曲强度计算在进行梁的强度计算时，山于梁上的应力一般

22、是随截面位置的不同而变化的，因此应首先找出最大应 力所在截面，即危险截面以及求出最大应力一般情况下，对于等截面直梁，其危险点在弯矩最大的 截面上的上下边缘处，即最大正应力所在处。（一）、强度条件为了使梁安全可靠的工作，危险点的最大工作应力不能超过梁所用材料的许用应力，强度条件为：=M 叭 v max W -Lz （ 10. 2. 6）式中，max为危险点的应力；M、弘分别为危险截面的弯矩和拉弯截面系数；b为梁材料的许用应力。考虑到材料的力学性质和截面的儿何性质，判定危险点的位置是建立强度条件的主要问题。（二）、关于危险点的讨论1、对称截面若截面对称于中性轴，则称为对称截面，否则称为非对称截面。

23、对于塑性材料，其许用拉应力和许用 压应力相同。对称截面塑性材料的危险点可以选择距中性轴最远端的任一点计算。对于许用拉应力和许用圧应力不同的脆性材料，山于脆性材料的许用圧应力大于许用拉应力，所以只 需计算受拉边的最大应力值。2、非对称截面对于塑性材料，危险点一定出现在距中性轴最远处，所以这种情况下只需计算一个危险点。_ M . r 1bmax = j- max -对于脆性材料，需要结合弯矩的正负及截面形状分别讣算。如果距中性轴最远处的是受拉边则只需计 算一个危险点；如果距中性轴最远处的是受压边则需要计算两个危险点。其强度条件为：b/maxmax式中，疵和分别为最大拉应力和最大压应力；和6分别为许

24、用拉应力和许用压应力;max和儿max分别是拉应力和压应力一侧最远点到中性轴的距离。(三) 、强度条件三类问题与拉压强度条件应用相似，弯曲强度条件同样可以用来解决以下三类问题。 强度校核验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁在工作时是否安全。M=耐 W 0 截面设讣根据梁的最大载荷和材料的许用应力，确定梁截面的尺寸和形状，或选用合适的标准型 钢。MWz 2 厂一,z 。 确定许用载荷 根据梁截面的形状和尺寸及许用应力，确定梁可承受的最大弯矩，再山弯矩和载荷 的关系确定梁的许用载荷。对于非对称截面，需按公式b =:巴丁 Wom&x j max L J例10. 2. 2 图10. 2. 6 (a)所

25、示，托架为一 T形截面的铸铁梁。已知截面对中性轴z的惯性矩Z2=1.35xl07mm4, P = 4.5kN,铸铁的弯曲许用应力bgOMPa, J2=80MPa,若略去梁的自重影响,使校核梁的强度。解：(1)画其受力图(见图10.2.6 (b) ) o(2) 绘制剪力图(见图10. 2. 6 (c).M(d)图10. 2. 6 T形铸诜梁(3) 绘制弯矩图(见图10. 2. 6 (d),并求最大弯矩值Mmax = /二4. 5X1=4. 5 (kN. m)(4) 校核强度maxA/max4.5 xlO61.35xIO7x 60 = 20(MPa) Q4.5 xlO6bgx =；沁叫50(唤)g

26、所以此铸铁梁的强度足够。例 10. 2. 3 一矩形截面简支梁(见图 10. 2.7 (a) ) , b = 200mm, h = 300nmt, ! = 4m, a=i0MPao试求梁能承受的许可均布载荷q。图10.2.7简支梁解：(1)求支座反力。Ra = Rb =(2) 绘剪力图(10.2.7 (b) ) o(3) 绘弯矩图(10.2.7 (c)，并求最大弯矩。叽工宁弋x42=2q(kN”)(4) 确定许可载荷bh2 200x3002=3x 10（加）2xl06 3x106x10q 157V/mm例10.2.4简易吊车梁如图10.2.8 （a）所示，已知起吊最大载荷Q=50KN，跨度山1

27、0加若梁材料的许用应力o=180MPa,不计梁的自鱼试求：（1）选择工字钢的型号；（2）若选用矩形截面，其高度比为力” =2时，确定截面尺寸；（3）比较两种梁的重量。*) 687cm3,故可选用32a号工字钢，查得其截面面积为67. 156cm。（5）若采用矩形截面。Wz = 687 （cm3）63=1 O（C7W）h = 2b = 20(c/n)A = bh = 200 (cm2)(6) 比较两梁的重量。在材料和长度相同的条件下，梁的重量之比等于截面面积之比，如=壬=2.9867.156即矩形截面的梁的重量是工字钢截面梁的2. 98倍。第三节 拉伸(压缩)与弯曲组合的强度计算前面讨论了杆件在

28、拉伸(压缩)、和弯曲变形时的强度和刚度讣算。但在工程实际中，许多构件受到 外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带 轮传动轴等。我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。工程中许多受 拉(压)构件同时发生弯曲变形，称为拉(压)弯组合变形。处理组合变形问题的基本方法是叠加法，先 将组合变形分解为基本变形，再分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，最后再叠加起来。 组合变形强度计算的步骤一般如下：(1) 外力分析将外力分解或简化为儿种基本变形的受力情况；(2) 内力分析 分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并

29、确定危险截面的位置：(3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。(4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。下面举例说明拉(压)弯组合变形的强度计算。co例10.3.1悬臂吊车的计算简图如图10.3a所示，横梁AC用工字钢制成。已知最大吊fiP=15kN, a=30 , 梁的许用应力M = 100MPa,试选择工字钢型号。图10.3.1横梁AC的内力及应用解：(1)外力分析：取横梁AB为研究对象，受力分析如图10.3.1 (b)所示。当小车移到点C时，梁处 于最不利的受力状态，此时山平衡条件知：由刖得由工厲=0和工

30、10,可解出:TlAlsina-PlAC=OT = %= _ = 48kNIAB sin a srn 30 x 2.5HA=HB=Tcosa=4.57kNR=RBP = Tsina P = 9kN将外力分解两组，分别产生两种基本功变形，一组山比、Hb产生的压缩变形（图10.3.1C）, 一组由&、 Rs、P产生的弯曲变形（图io.3.ie） o（2）内力分析：分别绘制轴力图（图10.3. id）和弯矩图（图10.3. Ig）。山内力图可知，B截面为危险 截面，其上的内力值绝对值分别为：N = 4L57kNM 呼、=P x 1.5 = 15 x 1.5 = 2.25PN m（3）应力分析：B截面

31、山轴向力产生的压应力b和由弯矩产生的正应力o分布如图io.3.if所示，其 中0为叠加后的应力分布。可见，危险点在B截面的下边缘处，为压应力。最大压应力值为：“十+注叫型A IVZ A Wz（4）选择丄字钢型号：因为上式中的横截面面积A和抗弯截面模量Wz均为未知数，一般悄况下需 先按弯曲正应力条件选择截面，再按组合变形进行校核。由弯曲条件得.2V/mx 225 X 1033W7 = = 225 X 106/h3 = 225cnrb100 x 106查型钢表选取20&工字钢，其A二35.5 cm2, Wz=237 cm3o按组合变形校核强度:在工程中，如果不超过的5%, 般是允许的。这里（bm/

32、0）/b = 6.6%,偏于不安全。重新 选取20b号工字钢，其A二39.5 cm2 , Wz= 250cm3,则Snax只超过H的（J. 25%,故选用20b号工字钢能满足梁的要求。例 10. 3. 2小型汗力机的铸铁框架如图10.S.2所示。已知材料的许用拉应力用压应力。试按立柱的强度确定压力机的最大许可圧力p。立柱的截面尺寸如图，其中0为 形心，Z。二7. 5cm, I. =5310cm% 面积 A=15X 10-3 cm2o图io. 3.2立柱的受力分析及应力图解：（1）外力分析：山于外力P与床身立柱的轴线平行但不重合，故立柱受偏心拉伸作用。（2）内力分析：如图10.3.2所示，由截面

33、法可得：N = PM、= （0.35 + %）P = （0.35 + 0.075 ）P = 0.425 P可见，立柱实质上承受轴向拉伸和弯曲组合变形。（3）应力分析：如图10.S.2所示，山轴力N引起的正应力H沿横截面均匀分布，其值为:几心ML丄咏A 15x10“15山弯矩曲引起的正应力K沿y方向分布如图所示。其值分别为:._ M、Zo _ 0.425Pxl (? x 0.075 % - j -5310x10-8=0.6PMPM、乙0.425Px103x0.1255310x1()7=PMPa（拉）（压）b与K叠加后得到总应力O，仍在截面内侧有最大拉应力，外侧有最大压应力，其值分别为:（拉）H

34、+ ax = 2 + 0.6P = 0.667PMP% 洛-P7933MPg（4）山强度条件确定许可载荷：山抗拉强度条件PS 上J- =45RN 得： 0.6670.667由抗压强度条件P-L =- = 171.5 得：PW 0.9330.933为使立柱同时满足抗拉和抗压强度条件，压力P不应超过45kNo第四节梁的弯曲变形及刚度计算梁与其它受力杆件一样，除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件。使其丄作时变形不致过大，否 则会引起振动，影响机器的运转精度，其至导致失效。例如图10. 4. 1所示，齿轮轴的弯曲变形过大，就会 影响齿轮的正常啮合，加速齿轮的磨损，并使轴与轴承配合不好，造成传动不稳定

35、，减少寿命。另一方面, 弯曲变形也有可利用的一面。如车辆上的钢板弹簧，需要足够大变形以缓和车辆受到的冲击和震动，为了 限制和利用梁的变形，就必须掌握梁的变形计算。图10.4.1齿轮轴图10.4.2梁的挠曲线一、弯曲变形的挠度与转角直梁在平面弯曲时，其轴线将在加载平面内弯成一条光滑的平面曲线，该曲线称为梁的挠曲线。如图 10. 4. 2所示。梁任意横截面形心沿y轴方向的线位移，称为挠度，用y表示，通常规定：向上为正，向下 为负。由于弯曲变形属于小变形，梁横截面形心沿X轴方向的位移很小，可忽略不计。在弯曲过程中，梁任一横截面相对于原来位置所转过的角度，称为转角，用0表示，通常规定：逆时 针为正，顺

36、时针为负。二、梁的挠曲线方程为了表达梁的挠度与转角随着截面位置不同而变化的规律，取梁变形前的轴线为X轴，与X轴垂直向上的轴为y轴，如图10.4.2所示。则挠曲线方程可表示为:US)(10.4.1)在忽略剪力对变形影响的情况下，横截面在变形后仍垂直于挠曲线。这样，任一截面的转角0也等于 挠曲线在该截面处的切线与X轴的夹角。山于0很小，所以有0 = tan = = ydx (10. 4. 2)式(10. 4. 2)称为梁的转角方程，它反映了挠度和转角的关系。由上可知，如果知道了梁的挠曲线方程和转角方程，梁各截面的挠度和转角也就知道了。三、用叠加法求梁的变形在梁服从胡克定律的条件下，梁的挠曲线方程和

37、转角方程均与载荷成线性关系。因此，梁在复杂载荷 作用下的变形，可将其看成是儿种简单载荷分别作用下的叠加。用叠加法可计算复杂载荷作用下梁的变形。 即先分别计算每一种载荷单独作用时引起的梁的挠度和转角，然后，再把同一截面的转角和挠度代数相加, 就得到这些载荷共同作用下的该截面的挠度和转角。为简化讣算，匸程技术人员已经把梁在各种典型的简单载荷作用下的挠度和转角讣算公式求出并列在 相应的计算表中，如表10.4.1,实际应用时只需查表选用即可。图 10.4.3例10.4.1等直梁AB,已知分布载荷q,集中力P,长度/及抗弯刚度曰z。试求C点的挠度。 解：用叠加法求C点的挠度，分别画出均布力q和集中力P单

38、独作用时的计算简图。查表10.4.1, M|均布载荷q单独作用时，C点的挠度为:(负号说明挠度向下)? _ 5qL -384EZz当F单独作用时，C点的挠度为：PP48巧根据叠加原理得q和P共同作用时的挠度:儿=儿|+儿2 =5q 广PP384EZz 48E/Z四、梁的弯曲刚度条件为了保证受弯梁能安全工作，必须限制梁上最大挠度和最大转角不超过许用值，即梁的刚度条件为:ymaxy盅川&(10.4.3)式中，y 为许可挠度；o 为许可转角。有关数据可参考有关规范及手册来确定y 值和0 值。设讣时，通常根据强度条件，结构要求，确定梁的截面尺寸，然后，校核其刚度，对于刚度要求高的 轴，其截面尺寸往往由

39、刚度条件决定。例10. 4.2如图10.4.4 (a)所示为一电动机轴，已知F = 2.5kN, q = 4kNlm,跨度/ = 0.5加，d = 0.4“，材料弹性模量E = 200GPa,许用应力M = 80,C截面的许用挠度y =0.4mm,试设计轴的直径d。解：1）按强度条件设计轴径。先画出弯矩图，如图10.4.4 （b）所示，求得最大弯矩为|M|= Fa = 2.5 x 103 x 0.2 = 5OON.mI Imax根据强度条件求得汁算得盏瑶=3.99划。6“99如图 10. 4.4取 d二40mm,则 有竺=X*）劝4 =1药 6x10沪64642）轴的刚度进行较核。如图10.

40、4. 4 （c）、（d）所示，山叠加法求C截面的挠度得儿m厂凹-比“隔皿卜16E/ 384/L因此，轴径取d=40mm可同时满足强度、刚度要求。五、提高梁的承载能力山前面分析可知，梁的变形与跨度心勺高次方成正比，与截面惯性矩/成反比：乂山强度条件（式10. 2.6）可知，梁的弯曲強度与梁的最大弯矩和弯曲截面系数出有关，所以，降低最大弯矩“哄或增大抗弯（二）交变应力匸程中许多构件处于随时间作周期性变化的应力下工作，成周期性变化的应力称为交变应力。例如齿 轮的轮齿每啮合一次，齿根A点的弯曲应力就山零变化到某一最大值，然后再回到零（如图10.5.1） o齿 轮连续转动时，A点的应力即作周期变化。乂如

41、图10. 5.2（a）中的转轴，虽然所受载荷F的大小和方向并不 随时间变化，但山于轴的转动，截面A的弯曲应力o也随时间作周期变化（图b）,其变化规律如图c 所示。这种随时间作周期性变化的应力，称为交变应力。交变应力每重复变化一次称为一个应力循环，如 图10. 5.3所示，重复变化的次数称为循环次数。图中表示应力变化的曲线称为应力循环曲线。为了能直观 地反映交变应力的变化规律，便于分析受动载荷作用地轴及杆件的强度，就要分析交变应力循环的规律和类型。图10.5.1 齿轮啮合图 10.5.2转动圆轴的交变应1、交变应力的参数应力变化过程中，最小应力碍山和最大应力碍和之比称为循环特性，用r表示最大应力

42、和最小应力的平均值称为平均应力，用旷川表示bmin + bmg亍最大应力和最小应力的代数差的一半称为应力幅，用6表示0maxmin2.交变应力的类型匸程中常见的交变应力的类型有以下儿种:对称循环的交变应力。 循环特征为应力循环中最大应力和最小应力大小相等，而符号相反的交变应力，其应力/非对称循环的交变应力。 mm _ _ bmaK应力循环中最大应力与最小应力数值不等的交变应力，其应力循环特征为：p 一 min/bmax脉动循环的交变应力。在非对称循环中，最小应力等于零的交变应力。此时，循环特性为：y - bmin 一 bmax实践证明，在交变应力作用下的构件，虽然其内部的应力低于材料的屈服点应力，但即使是塑性好的 材料，也会发生断裂，只是破坏时没有明显的塑性变形。在交变应力作用下，构件发生断裂的现象称为疲 劳失效。二、疲劳破坏构件在交变应力作用下发生的破坏现象，称为“疲劳破坏”或“疲劳失效”，简称疲劳。疲劳失效与 静载荷作用下的强度失效，有着本质的区别。在交变应力作用下，经过