全国自考线性代数试题及答案(07年01月-12年01月)

1、07年4月至12年1月线性代数（经管类）试题及答案全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设a为3阶方阵，且，则（d）a-4b-1c1d42设矩阵a=（1，2），b=，c=，则下列矩阵运算中有意义的是（b）aacbbabccbacdcba3设a为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（b）aaatbaatcaatdata，所以aat为反对称矩阵 4设2阶矩阵a=，则a*=（a）abcd5矩阵的逆矩阵是（c）abcd6设矩阵a=，则a中（d）a所有2阶子式都不为零b所有2阶子式都为零c所有3阶子式

2、都不为零d存在一个3阶子式不为零7设a为mn矩阵，齐次线性方程组ax=0有非零解的充分必要条件是（a）aa的列向量组线性相关ba的列向量组线性无关ca的行向量组线性相关da的行向量组线性无关ax=0有非零解 a的列向量组线性相关8设3元非齐次线性方程组ax=b的两个解为，且系数矩阵a的秩r(a)=2，则对于任意常数k, k1, k2，方程组的通解可表为（c）ak1(1,0,2)t+k2(1,-1,3)tb(1,0,2)t+k (1,-1,3)t c(1,0,2)t+k (0,1,-1)t d(1,0,2)t+k (2,-1,5)t是ax=b的特解，是ax=0的基础解系，所以ax=b的通解可表为

3、(1,0,2)t+k (0,1,-1)t9矩阵a=的非零特征值为（b）a4b3c2d1，非零特征值为104元二次型的秩为（c）a4b3c2d1，秩为2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11若则行列式=_0_行成比例值为零12设矩阵a=，则行列式|ata|=_4_13若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为_0_14设矩阵a=，矩阵，则矩阵b的秩r(b)= _2_=，r(b)=215向量空间v=x=(x1,x2,0)|x1,x2为实数的维数为_2_16设向量，则向量，的内积=_10_17设a是43矩阵，若齐次线性方程组ax=0只有零解，则矩阵a的秩r(a)= _3_18已

4、知某个3元非齐次线性方程组ax=b的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为_0_时，19设3元实二次型的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是秩，正惯性指数，则负惯性指数规范形是20设矩阵a=为正定矩阵，则a的取值范围是，三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算3阶行列式解：22设a=，求解：，23设向量组，（1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合解：（1）是一个极大线性无关组；（2）24求齐次线性方程组 的基础解系及通解解：，基础解系为，通解为 25设矩阵a=，求正交矩阵p，使为对角矩阵解：，特征值，对于，解齐

5、次线性方程组：，基础解系为 ，单位化为 ；对于，解齐次线性方程组：，基础解系为 ，单位化为 令，则p是正交矩阵，使26利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：， 解：正交化，得正交的向量组： ，；单位化，得正交的单位向量组：，四、证明题（本大题6分）27证明：若a为3阶可逆的上三角矩阵，则也是上三角矩阵证：设，则，其中，所以是上三角矩阵全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设行列式=1，=2，则=（d）a-3b-1c1d3=+=1+2=32设a为3阶方阵，且已知，则（b）a-1

6、bcd1，3设矩阵a，b，c为同阶方阵，则（b）aatbtctbctbtatcctatbtdatctbt4设a为2阶可逆矩阵，且已知，则a=（d）a2bc2d，5设向量组线性相关，则必可推出（c）a中至少有一个向量为零向量b中至少有两个向量成比例c中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合d中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6设a为mn矩阵，则齐次线性方程组ax=0仅有零解的充分必要条件是（a）aa的列向量组线性无关ba的列向量组线性相关ca的行向量组线性无关da的行向量组线性相关ax=0仅有零解 a的列向量组线性无关7已知是非齐次线性方程组ax=b的两个不同的解，是其导出组ax=0

7、的一个基础解系，为任意常数，则方程组ax=b的通解可以表为（a）abcd是ax=b的特解，是ax=0的基础解系8设3阶矩阵a与b相似，且已知a的特征值为2,2,3，则（a）abc7d12b相似于，9设a为3阶矩阵，且已知，则a必有一个特征值为（b）abcda必有一个特征值为10二次型的矩阵为（c）abcd二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11设矩阵a=，b=，则a+2b=12设3阶矩阵a=，则，13设3阶矩阵a=，则a*a=14设a为mn矩阵，c是n阶可逆矩阵，矩阵a的秩为r，则矩阵b=ac的秩为_r_b=ac，其中c可逆，则a经过有限次初等变换得到，它们的秩相等15设向量，

8、则它的单位化向量为16设向量，则由线性表出的表示式为设，即， 17已知3元齐次线性方程组有非零解，则a=_2_，18设a为n阶可逆矩阵，已知a有一个特征值为2，则必有一个特征值为是a的特征值，则是的特征值19若实对称矩阵a=为正定矩阵，则a的取值应满足，20二次型的秩为_2_，秩为2三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21求4阶行列式的值解：22设向量，求（1）矩阵；（2）向量与的内积解：（1）；（2）23设2阶矩阵a可逆，且，对于矩阵，令，求解：，=24求向量组，的秩和一个极大线性无关组解：，秩为3，是一个极大线性无关组25给定线性方程组（1）问a为何值时，方程组有无穷多个解；

9、（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）解：（1），时，方程组有无穷多解；（2）时，通解为26求矩阵a=的全部特征值及对应的全部特征向量解：，特征值，对于，解齐次线性方程组：，基础解系为，对应的全部特征向量为（是任意非零常数）；对于，解齐次线性方程组：，基础解系为，对应的全部特征向量为（是不全为零的任意常数）四、证明题（本大题6分）27设a是n阶方阵，且，证明a可逆证：由，得，所以a可逆，且全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设a是3阶方阵，且|a|=，则|

10、a-1|=（a）a-2bcd22设a为n阶方阵，为实数，则（c）abcd3设a为n阶方阵，令方阵b=a+at，则必有（a）abt=bbb=2acdb=04矩阵a=的伴随矩阵a*=（d）abcd5下列矩阵中，是初等矩阵的为（c）abcd6若向量组，线性相关，则实数t=（b）a0b1c2d37设a是45矩阵，秩(a)=3，则（d）aa中的4阶子式都不为0ba中存在不为0的4阶子式ca中的3阶子式都不为0da中存在不为0的3阶子式8设3阶实对称矩阵a的特征值为，则秩(a)=（b）a0b1c2d3相似于，秩(a)= 秩(d)=19设a为n阶正交矩阵，则行列式（c）a-2b-1c1d2a为正交矩阵，则，

11、10二次型的正惯性指数p为（b）a0b1c2d3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11设矩阵a=，则行列式_1_12行列式中元素的代数余子式_-2_13设矩阵a=，b=，则_5_14已知，其中，则15矩阵a=的行向量组的秩=_2_，秩=216已知向量组，是的一组基，则向量在这组基下的坐标是设，即，得，解得17已知方程组存在非零解，则常数t=_2_，18已知3维向量，则内积_1_19已知矩阵a=的一个特征值为0，则=_1_的一个特征值为0，则，即，20二次型的矩阵是三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式d=的值解：22设矩阵a=，b=，求矩阵方程xa=

12、b的解x解：，23设矩阵a=，问a为何值时，（1）秩(a)=1；（2）秩(a)=2解：（1）时，秩(a)=1；（2）时，秩(a)=224求向量组=，=，=，=的秩与一个极大线性无关组解：，秩为2，,是一个极大线性无关组25求线性方程组的通解解：，通解为26设矩阵，求可逆矩阵p及对角矩阵d，使得解：，特征值，对于，解齐次线性方程组： ，基础解系为 ；对于，解齐次线性方程组：，基础解系为 ，令，则p是可逆矩阵，使四、证明题（本大题6分）27设向量组,线性无关，证明向量组，也线性无关证：设，即，由,线性无关，得，因为，方程组只有零解，所以,线性无关做试题,没答案?上自考365,网校名师为你详细解答!

13、全国2008年1月自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设a为三阶方阵且则（d）a.-108b.-12c.12d.1082.如果方程组有非零解,则k=（b ）a.-2b.-1c.1d.23.设a、b为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（d）a.ab=bab.c.d.4.设a为四阶矩阵，且则（c）a.2b.4c.8d.125.设可由向量1 =（1，0，0）2 =（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是( b )a.（2

14、，1，1）b.（-3，0，2）c.（1，1，0）d.（0,-1,0）6.向量组1 ，2 ，s 的秩不为s(s)的充分必要条件是（c ）a. 1 ，2 ，s 全是非零向量b. 1 ，2， ，s 全是零向量c. 1 ，2， ，s中至少有一个向量可由其它向量线性表出d. 1 ，2， ，s 中至少有一个零向量7.设a为m矩阵，方程ax=0仅有零解的充分必要条件是（c）a.a的行向量组线性无关b.a的行向量组线性相关c.a的列向量组线性无关d.a的列向量组线性相关8.设a与b是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（d）a.b.秩（a）=秩（b）c.存在可逆阵p，使p-1ap=bd.e-a=e-b9.与矩

15、阵a=相似的是（ a ）a.b.c.d.10.设有二次型则（ c ）a.正定b.负定c.不定d.半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.若则k=_1/2_.12.设a=,b=则ab=_.13.设a=, 则a-1= 14.设a为3矩阵,且方程组ax=0的基础解系含有两个解向量,则秩(a)= _1_.15.已知a有一个特征值-2,则b=a+2e必有一个特征值_6_.16.方程组的通解是_ _ c 1 _+_ c 2 _. 17.向量组1 =(1,0,0) 2 =(1,1,0), 3 =(-5,2,0)的秩是_2_.18.矩阵

16、a=的全部特征向量是.19.设三阶方阵a的特征值分别为-2,1,1,且b与a相似,则=_-16_.20.矩阵a=所对应的二次型是.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算四阶行列式的值. = 22.设a=,求a.a = 23.设a=,b=,且a,b,x满足(e-ba)求x,x(e-ba) x= =x=24.求向量组1 =(1,-1,2,4)2 =(0,3,1,2), 3 =(3,0,7,14), 4 =(2,1,5,6), 5 =(1,-1,2,0)的一个极大线性无关组.1 2 4 为极大无关组。25.求非齐次方程组的通解 通解 26. 设a=,求p使为对角矩阵.= p=

17、=四、证明题（本大题共1小题,6分）27.设1，2，3 是齐次方程组a x =0的基础解系.证明1，1+2， 1 +2 +3也是ax =0的基础解系略。全国2008年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设行列式d=3，d1=，则d1的值为（c）a-15b-6c6d15d1=2设矩阵=，则（c）abcd3设3阶方阵a的秩为2，则与a等价的矩阵为（b）abcd4设a为n阶方阵，则（a）abcd5设a=，则（b）a-4b-2c2d46向量组（）线性无关的充分必要条件是（d）a均不为零向量b中任意两个向量不成比例c

18、中任意个向量线性无关d中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示7设3元线性方程组，a的秩为2，,为方程组的解，则对任意常数k，方程组的通解为（d）abcd取的特解：；的基础解系含一个解向量：8设3阶方阵a的特征值为，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（d）abcd不是a的特征值，所以，可逆9设=2是可逆矩阵a的一个特征值，则矩阵必有一个特征值等于（a）abc2d4是a的特征值，则是的特征值10二次型的秩为（c）a1b2c3d4，秩为3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11行列式=_0_行成比例值为零12设矩阵a=，p=，则=13设矩阵a=，则14设矩阵a=，若齐次线性方程组ax=0有

19、非零解，则数t=_2_，15已知向量组，的秩为2，则数t=_-2_，秩为2，则16已知向量，与的内积为2，则数k=，即，17设向量为单位向量，则数b=_0_，18已知=0为矩阵a=的2重特征值，则a的另一特征值为_4_，所以19二次型的矩阵为20已知二次型正定，则数k的取值范围为，三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式d=的值解：22已知矩阵a=，b=，（1）求a的逆矩阵；（2）解矩阵方程解：（1），=；（2）=23设向量，求（1）矩阵；（2）解：（1）=；（2）=24设向量组，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示解：，向量组的秩为

20、3，是一个极大线性无关组，25已知线性方程组，（1）求当为何值时，方程组无解、有解；（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）解：（1）时，方程组无解，时，方程组有解；（2）时，全部解为26设矩阵a=，（1）求矩阵a的特征值与对应的全部特征向量；（2）判定a是否可以与对角阵相似，若可以，求可逆阵p和对角阵，使得解：，特征值，对于，解齐次线性方程组：，基础解系为 ，对应的全部特征向量为（是任意非零常数）；对于，解齐次线性方程组：，基础解系为 ，对应的全部特征向量为（是任意非零常数）令，则p是可逆矩阵，使得四、证明题（本题6分）27设n阶矩阵a满足，证明可逆，且证

21、：由，得，所以可逆，且全国2008年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设3阶方阵，其中（）为a的列向量，且，则（c）a-2b0c2d6，2若方程组有非零解，则k=（a）a-1b0c1d2，3设a，b为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（c）abcd反例：，4设a为三阶矩阵，且，则（a）ab1c2d45已知向量组a：中线性相关，那么（b）a线性无关b线性相关c可由线性表示d线性无关部分相关全体相关6向量组的秩为，且，则（c）a线性无关b中任意个向量线性无关c中任意+1个向量线性相关d中任意-1个向量线性无关

22、7若与相似，则（d）a,都和同一对角矩阵相似b,有相同的特征向量cd8设是的解，是对应齐次方程组的解，则（b）a是的解b是的解c是的解d是的解9下列向量中与正交的向量是（d）abcd10设，则二次型是（b）a正定b负定c半正定d不定，对应的，正定，负定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11设a为三阶方阵且，则_24_12已知，则_0_，13设，则，14设a为45的矩阵，且秩(a)=2，则齐次方程组的基础解系所含向量的个数是_3_基础解系所含向量的个数是15设有向量，则的秩是_2_，秩是216方程组的通解是，通解是17设a满足，则，18设三阶方阵a的三个特征值为，则_24_a的

23、特征值为，则的特征值为，19设与的内积，则内积_-8_20矩阵所对应的二次型是三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算6阶行列式解：22已知，满足，求解：，=，=23求向量组，的秩和一个极大无关组解：，秩为2，是一个极大线性无关组24当为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解解：，时，有无穷多解此时，通解为25已知，求其特征值与特征向量解：，特征值，对于，解齐次线性方程组：，基础解系为 ，对应的全部特征向量为（是任意非零常数）；对于，解齐次线性方程组：，基础解系为 ，对应的全部特征向量为（是任意非零常数）26设，求解：，特征值，对于，解齐次线性方程组：，基础解系为 ；对于，解

24、齐次线性方程组：，基础解系为 令，则，四、证明题（本大题6分）27设为的非零解，为（）的解，证明与线性无关证：设，则，由此可得，从而，又，可得，所以与线性无关全国2008年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设a为3阶方阵，且，则（a）a-9b-3c-1d9，2设a、b为n阶方阵，满足，则必有（d）abcd3已知矩阵a=，b=，则（a）abcd=4设a是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与a等价的矩阵是（d）abcd5设向量，下列命题中正确的是（b）a若线性相关，则必有线性相关b若线性无关，则必有线性无关c若线性

25、相关，则必有线性无关d若线性无关，则必有线性相关6已知是齐次线性方程组ax=0的两个解，则矩阵a可为（a）abcd，7设mn矩阵a的秩r(a)=n-3（n3），是齐次线性方程组ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组ax=0的基础解系为（d）abcd其中只有线性无关8已知矩阵a与对角矩阵d=相似，则（c）aabdced存在，使，9设矩阵a=，则a的特征值为（d）a1，1，0b-1，1，1c1，1，1d1，-1，-110设a为n（）阶矩阵，且，则必有（c）aa的行列式等于1ba的逆矩阵等于eca的秩等于nda的特征值均为1，a的秩等于n二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11已知

26、行列式，则数a =_3_，12设方程组有非零解，则数k = _4_，13设矩阵a=，b=，则=14已知向量组的秩为2，则数t=_3_，秩为2，则15设向量，则的长度为_5/2_16设向量组，与向量组等价，则向量组的秩为_2_，秩为217已知3阶矩阵a的3个特征值为，则_36_18设3阶实对称矩阵a的特征值为，则r(a)= _2_a相似于，r(a)=219矩阵a=对应的二次型f =20设矩阵a=，则二次型的规范形是，其中，三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式d=的值解：22已知a=，b=，c=，矩阵x满足axb=c，求解x解：，；，=23求向量在基，下的坐标，并将用此

27、基线性表示解：设，即，得，在基下的坐标是，24设向量组线性无关，令，试确定向量组的线性相关性解：设，即，由线性无关，得，有非零解，线性相关25已知线性方程组，（1）讨论为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）解：（1）时无解，且时惟一解，时有无穷多个解（2）时，通解为26已知矩阵a=，求正交矩阵p和对角矩阵，使解：，特征值，对于，解齐次线性方程组：，基础解系为，正交化：令，单位化：令，；对于，解齐次线性方程组：，基础解系为，单位化：令令，则p是正交矩阵，使四、证明题（本题6分）27设为非齐次线性方程组ax=b

28、的一个解，是其导出组ax=0的一个基础解系证明线性无关证：设，则，由，得-（1）从而，由线性无关，得-（2）由（1）（2）可知线性无关全国2009年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1线性方程组的解为（a）abcd2设矩阵，则矩阵的伴随矩阵（b）abcd3设为矩阵，若秩（）=4，则秩（）为（c）a2b3c4d54设分别为和矩阵，向量组（i）是由的列向量构成的向量组，向量组（）是由的列向量构成的向量组，则必有（c）a若（i）线性无关，则（）线性无关b若（i）线性无关，则（）线性相关c若（）线性无关，则（i）线

29、性无关d若（）线性无关，则（i）线性相关（i）是（）的部分组，整体无关部分无关5设为5阶方阵，若秩（）=3，则齐次线性方程组的基础解系中包含的解向量的个数是（a）a2b3c4d5未知量个数，的秩，基础解系包含个解向量6设矩阵的秩为，且是齐次线性方程组的两个不同的解，则的通解为（d）a，b，c，d，的基础解系包含1个解向量是不同的解，是非零解，可以作为基础解系，通解为，7对非齐次线性方程组，设秩（）=r，则（）ar=m时，方程组有解br=n时，方程组有唯一解cm=n时，方程组有唯一解drn时，方程组有无穷多解r=m时，有解8设矩阵，则的线性无关的特征向量的个数是（c）a1b2c3d4特征值为，和

30、各有1个线性无关的特征向量；对于，解：，有1个线性无关的特征向量9设向量，则下列向量是单位向量的是（b）abcd，10二次型的规范形是（d）abcd二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）113阶行列式_12设，则_13设为3阶方阵，若，则_14已知向量，如果，则_15设为3阶非奇异矩阵，则齐次方程组的解为_，只有零解：16设方程组的增广矩阵为，则其通解为_，通解为17已知3阶方阵的特征值为，则_18已知向量与向量正交，则_，19二次型的正惯性指数为_正惯性指数为320若为正定二次型，则的取值应满足_，；，三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式解：22设，

31、又，求矩阵解：，23设矩阵，求矩阵的秩解：，可逆，而的秩为3，所以的秩为324求向量组，的秩解：，的秩为225求齐次线性方程组的一个基础解系解：，基础解系为，26设矩阵，求可逆矩阵，使为对角矩阵解：a的特征多项式为，特征值为，对于，解齐次方程组：，取，对于，解齐次方程组：，取令，则是可逆矩阵，使四、证明题（本大题共1小题，6分）27设向量组线性无关，证明：向量组线性无关证：设，即，因为线性无关，必有，方程组只有零解：，所以线性无关全国2009年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）13阶行列式中元素的代数余子式（ c ）abc1d

32、22设，则（ a ）abcd3设阶可逆矩阵、满足，则（ d ）a bcd由，得，4设3阶矩阵，则的秩为（ b ）a0b1c2d3，的秩为15设是一个4维向量组，若已知可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为（ c ）a1b2c3d4是的极大无关组，的秩为36设向量组线性相关，则向量组中（ a ）a必有一个向量可以表为其余向量的线性组合b必有两个向量可以表为其余向量的线性组合c必有三个向量可以表为其余向量的线性组合d每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7设是齐次线性方程组的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ b ）abcd只有线性无关，可以作为基础解系8若2

33、阶矩阵相似于，为2阶单位矩阵，则与相似的是（ c ）abcd与相似，则，即与相似9设实对称矩阵，则3元二次型的规范形为（ d ）abcd，规范形为10若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则的正惯性指数为（ d ）a0b1c2d3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11已知3阶行列式，则_，12设3阶行列式的第2列元素分别为，对应的代数余子式分别为，则_13设，则_14设为2阶矩阵，将的第2列的（）倍加到第1列得到，则_将的第2列的2倍加到第1列可得15设3阶矩阵，则_，16设向量组，线性相关，则数_，17已知，是3元非齐次线性方程组的两个解向量，则对应齐次线性方程组有一个非零解向量_（

34、或它的非零倍数）18设2阶实对称矩阵的特征值为，它们对应的特征向量分别为，则数_和属于不同的特征值，所以它们是正交的，即，即，19已知3阶矩阵的特征值为，且矩阵与相似，则_的特征值为，20二次型的矩阵_，三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21已知3阶行列式中元素的代数余子式，求元素的代数余子式的值解：由，得，所以22已知矩阵，矩阵满足，求解：由，得，于是23求向量组，的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出解：，是一个极大线性无关组，24设3元齐次线性方程组，（1）确定当为何值时，方程组有非零解；（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解解：（1）

35、，或时，方程组有非零解；（2）时，基础解系为，全部解为，为任意实数；时，基础解系为，全部解为，为任意实数25设矩阵，（1）判定是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若可与对角矩阵相似，求对角矩阵和可逆矩阵，使解：（1），特征值，对于，解齐次线性方程组：，基础解系为，；对于，解齐次线性方程组：，基础解系为3阶矩阵有3个线性无关的特征向量，所以相似于对角阵；（2）令，则是可逆矩阵，使得26设3元二次型，求正交变换，将二次型化为标准形解：二次型的矩阵为，特征值，对于，解齐次线性方程组：，单位化为；对于，解齐次线性方程组：，单位化为；对于，解齐次线性方程组：，单位化为令，则p是正交矩阵，使得，经正交变

36、换后，原二次型化为标准形四、证明题（本题6分）27已知是阶矩阵，且满足方程，证明的特征值只能是0或证：设是的特征值，则满足方程，只能是或全国2009年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设，为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（ c ）abc d，未必等于2已知，那么（ b ）abcd123若矩阵可逆，则下列等式成立的是（ c ）abcd，所以4若，则下列为矩阵的是（ d ）abcd与都是矩阵，由此可以将前三个选项排除5设有向量组：，其中线性无关，则（ a ）a线性无关b线性无关c线性相关d线性相关整体无关部分无关6若四阶方

37、阵的秩为3，则（ b ）a为可逆阵b齐次方程组有非零解c齐次方程组只有零解d非齐次方程组必有解，有非零解7设为矩阵，则元齐次线性方程存在非零解的充要条件是（ b ）a的行向量组线性相关b的列向量组线性相关c的行向量组线性无关d的列向量组线性无关存在非零解的充要条件是，即的列向量组线性相关8下列矩阵是正交矩阵的是（ a ）abcd9二次型（为实对称阵）正定的充要条件是（ d ）a可逆bc的特征值之和大于0d的特征值全部大于010设矩阵正定，则（ c ）abcd，二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11设，则_12若，则_，13设，则_，14已知，则_由，得，所以15向量组的秩为_

38、，秩为216设齐次线性方程组有解，而非齐次线性方程组有解，则是方程组_的解由，可得，即是的解17方程组的基础解系为_，基础解系为18向量正交，则_由，即，19若矩阵与矩阵相似，则 _相似矩阵有相同的迹，所以，220二次型对应的对称矩阵是_三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21求行列式的值解：22已知，矩阵满足方程，求解：由，得，于是23设向量组为，求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组解：，向量组的秩为2，是一个极大线性无关组24取何值时，方程组有非零解？有非零解时求出方程组的通解解：，或时，方程组有非零解；时，通解为，为任意实数；时，通解为，为任意实数25设矩阵，求矩阵的全部

39、特征值和特征向量解：，特征值，对于，解齐次线性方程组：，基础解系为 ，全部特征向量为，是任意非零常数；对于，解齐次线性方程组：，基础解系为 ，对应的全部特征向量为，是任意不全为零的常数26用配方法求二次型的标准形，并写出相应的线性变换解：作可逆线性变换，得标准形四、证明题（本大题共1小题，6分）27证明：若向量组线性无关，而，则向量组线性无关的充要条件是为奇数证：设，即，由线性无关，可得齐次方程组，其系数行列式，当且仅当为奇数时，齐次方程组只有零解，线性无关全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1行列式第二行第一列

40、元素的代数余子式（b）abc1d22设为2阶矩阵，若，则（c）ab1cd2，3设阶矩阵、满足，则（a）abcd由，得4已知2阶矩阵的行列式，则（a）abcd因为，所以，5向量组（）的秩不为零的充分必要条件是（b）a中没有线性相关的部分组b中至少有一个非零向量c全是非零向量d全是零向量6设为矩阵，则元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（c）abcd7已知3阶矩阵的特征值为，则下列矩阵中可逆的是（d）ab cd的特征值为，可逆8下列矩阵中不是初等矩阵的为（d）abcd第1行加到第3行得a，第1行的（）倍加到第3行得b，第2行乘以2得c，以上都是初等矩阵而的第1行分别加到第2、3两行得d，d不是

41、初等矩阵94元二次型的秩为（b）a1b2c3d4二次型的矩阵，秩为210设矩阵，则二次型的规范形为（d）abcd令，则解法二：，存在正交矩阵，使得，即的规范形为二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11已知行列式，则_，12已知矩阵，且，则_，所以解法二：注意到，所以13设矩阵，则_，14已知矩阵方程，其中，则_，15已知向量组线性相关，则数_由，得116设，且，则的秩为_线性无关，秩为217设3元方程组增广矩阵为，若方程组无解，则的取值为_当且仅当时，方程组无解18已知3阶矩阵的特征值分别为，则_特征值分别为，19已知向量与正交，则数_由，即，得20已知正定，则数的取值范围是_

42、，三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21计算行列式的值解：22设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，求解：由，得，其中，23已知线性方程组，（1）讨论常数满足什么条件时，方程组有解（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）解：（1），时，方程组有解（2），通解为24设向量组，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示解：，向量组的秩为3，是一个极大线性无关组，25设矩阵，存在，使得；存在，使得试求可逆矩阵，使得解：由题意，的特征值为，对应的线性无关特征向量为；的特征值为，对应的线性无关特征向量为令，则是可逆矩阵，使得；令，则是可逆矩阵，使得由上可得，从而，即，令，则是可逆矩阵，使得26已知，求正交变换，将二次型化为标准形解：原二次型的矩阵为，的特征值为，对于，解齐次方程组： ，取，先正交化：，再单位化：，对于，解齐次方程组：