高数上部分复习题详解

1、期末考试复习要点期末考试复习要点 1. 函数在一点有定义、连续、可导、可微函数在一点有定义、连续、可导、可微 概念之间的关系，函数定义的理解概念之间的关系，函数定义的理解 2. 函数在一点可导的定义函数在一点可导的定义 3. 会求导数、微分会求导数、微分 复合函数求导：具体函数、抽象函数复合函数求导：具体函数、抽象函数 隐函数求导（求一点处的导数）隐函数求导（求一点处的导数） 由参数方程给出的函数求导由参数方程给出的函数求导 导数的几何意义：会求曲线在一点处的切导数的几何意义：会求曲线在一点处的切 线和线和 法线方程法线方程 高阶导数：会求二阶导数（包括抽象函数高阶导数：会求二阶导数（包括抽象

2、函数 的二阶导数）的二阶导数） 4. 函数单调性、极值、极值点、凹凸性、函数单调性、极值、极值点、凹凸性、 拐点的判定拐点的判定 用单调性证明不等式用单调性证明不等式 求实际问题的最值求实际问题的最值 5. 求极限基本方法，未定式极限求极限基本方法，未定式极限罗比罗比 达法则达法则 会求铅直、水平、斜渐近线会求铅直、水平、斜渐近线 *6. 原函数、不定积分的定义、性质原函数、不定积分的定义、性质 求不定积分的方法求不定积分的方法直接积分、凑微直接积分、凑微 分法、第二换元法、分部积分法分法、第二换元法、分部积分法 7. 变限积分求导（各类综合问题）变限积分求导（各类综合问题） *8. 定积分计

3、算：定积分计算： 利用定积分的性质、换元积分法、分部积利用定积分的性质、换元积分法、分部积 分法、利用几何意义、对称性（奇分法、利用几何意义、对称性（奇0偶倍）偶倍） 用定积分求平面图形的面积。要求会画圆、用定积分求平面图形的面积。要求会画圆、 直线、以及下列曲线的图形：直线、以及下列曲线的图形： 用定积分求旋转体的体积（绕用定积分求旋转体的体积（绕x轴或轴或y轴）轴） 9. 反常积分收敛、发散反常积分收敛、发散 233 1 ,yxyxyyx yx x 10. 定理或重要结论的叙述及证明定理或重要结论的叙述及证明 （1）可导与可微的关系）可导与可微的关系 （2）罗尔定理）罗尔定理 （3）拉格朗

4、日定理）拉格朗日定理 （4）原函数存在定理）原函数存在定理 （5）微积分基本公式）微积分基本公式 考试题型：考试题型： 选择选择5个，基本计算个，基本计算8个，个， 计算计算4个，个， 应用应用2个，个， 证明证明1个。个。 考试时间：考试时间： 1月月8日日 总复习总复习1 1. 函数在一点有定义、连续、可导、函数在一点有定义、连续、可导、 可微概念之间的关系，函数定义的理解可微概念之间的关系，函数定义的理解 有定义有定义连续连续可导可导可微可微 有极限有极限 1、 设设f(x)在在x0处不连续，则处不连续，则f(x)在在x0处必定（处必定（ ） （a）无定义；）无定义； （b）左、右极限不

5、相等；）左、右极限不相等； （c）不可微；）不可微； （d）不一定可导）不一定可导. 设设f(x)在在x0处连续是处连续是f(x)在在x0处可导的处可导的 （ ）. （a）必要非充分条件；（）必要非充分条件；（b）充分非必要条件；（）充分非必要条件；（c） 充分必要条件；充分必要条件； （d）无关条件）无关条件. c a (1) 符号函数符号函数 01 00 01 sgn x x x xy 当当 当当 当当 1 -1 x y o 非初等函数举例非初等函数举例: 2 2、 (2) 取整函数取整函数 y=x x表示不超过表示不超过 的的 最大整数最大整数. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -

6、3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线阶梯曲线 x xy 当当znnxn,1 ,n 2 ( )f xxx (1) ,(10)(10)fff，求求 2 (1)1 1 2f 2 1 (10)lim2 x fxx 2 1 (1 0)lim1 x fxx 3 3、 2. 函数在一点可导的定义函数在一点可导的定义 0 000 0 00 0 ()()( )() ()limlimlim xxxx f xxf xf xf xy fx xxxx 1 1、 . )b()a( lim , )( 0 x xxfxxf xf x 求求存在存在设设 解解 0 ()() lim x f xa xf

7、 xb x x 0 ()( ) ()( ) lim x f xa xf xf xb xf x x 0 ()( ) lim x f xa xf x a a x 0 ()( ) lim x f xb xf x b b x ()( ) .ab fx 9/21 0000 0 (3 )()()() lim h f xhf xf xhf x h 0000 00 (3 )()()() limlim hh f xhf xf xhf x hh 0000 00 (3 )()()() 3limlim 3 hh f xhf xf xhf x hh 0 4()fx 解解 00 0 (3 )() lim h f xhf

8、xh h 求求2、 00 0 0 ()() lim()() h f xahf xbh ab fx h 原式原式= 00 0 ()() lim x f xxf x x 0 ()fx 00 0 ()() lim h f xhf xh h 0000 0 ()()()() lim h f xhf xf xhf x h 0000 00 ()()()() limlim hh f xhf xf xhf x hh 0 2()fx 解解 3、 00 0 ()() lim x f xxf x x 00 0 0 ()() lim()() h f xahf xbh ab fx h 0 ()5,fx 00 0 (3)(

9、2) lim x f xxf xx x 0 ()3,fx 00 0 (2)() lim x f xxf xx x 25 9 00 0 0 ()() lim()() h f xahf xbh ab fx h 4 4、 2 2 0 1 lim, (32)(3)4 x x fxf 0 (3)(3) (3)lim x fxf f x 2 2 0 (32)(3) lim 2 x fxf x 2 2 0 1(32)(3) lim 2 x fxf x 2. 2 2 0 (32)(3) lim4, x fxf x 解解 5、 2 2 0 1 lim,(3). (32)(3)4 x x f fxf 已已 知知求

10、求 (2)3, f 已知已知 2 2 0 lim (2)(2) x x fxf 求求 2 22 0 2 0 1 lim (2)(2)(2)(2) lim x x x fxffxf x 解：解： 2 2 0 1 (2)(2) lim x fxf x 1 (2)f 1 3 6、 0 (1)(1) lim1, 2 x ffx x 已知已知 00 (1)(1)(1)(1) limlim 22 xx ffxfxf xx 0 1(1)(1) lim 2 x fxf x 1 (1) 2 f (1)2. f 解解 7、(1). f 求求 (1)( ),fxaf x(0),fb 已知已知 0 (1)(1) (1

11、)lim h fhf f h 0 (1)(10) lim h fhf h 00 ( )(0)( )(0) limlim hh af haff hf a hh (0)afab 解解 8、(1). f 求求 9 9、设设 ( )f x在在2x 处连续处连续, ,且且 2 ( ) lim3, 2 x f x x 求求(2). f 解解:(2)f 2 lim( ) x f x 2 ( ) lim(2) (2) x f x x x 0 2 ( )(2) (2)lim 2 x f xf f x 2 ( ) lim 2 x f x x 3 设设, )()()(xaxxf其中其中)(x在在ax ( )( )

12、( )lim xa f xf a fa xa () ( ) lim xa xax xa lim ( ) xa x ( )a 解解: )(a f 求求 处连续处连续, 由于由于 f (a) = 0，故，故 10、 2 1 , 1 ( ) 1 2, 1 x x f x x x 2 111 |1|(1)(1)| lim( )limlim 11 xxx xxx f x xx 1 |(1)| 2lim 1 x x x 不存在不存在 所以所以f(x)不连续，当然更不可导。不连续，当然更不可导。 解解 11、 在在x=1是否可导。是否可导。 1212、 解解, 0 )( 连连续续在在 xxf 处可导？处可导

13、？在在为何值时，为何值时，、问问 设设 0 )(b a , 0 a in ; 0 be )( 2 xxf xxs x xf x 0 lim( ) (0 ) , x f xf , b10 即即; 1b 2 0 e1 (0)lim= 2, x x f x 又又 0 sin (0)lim , x ax fa x , 0 )( 可可导导在在再再由由 xxf 2 ;a 有有 处处可可导导。在在时时，、当当 0 )( 1b2a xxf 16/21 2 ,0 ( ) ln(1),0 axbxcx f x xx 选择选择, ,a b c使 使 f(x) 在在0 x 处有二阶导数处有二阶导数. b 1) 利用利

14、用( )f x在在0 x 连续连续, 即即(0 )(0 )(0),fff 得得 0c 2) 利用利用(0)(0),ff 2 0 0 (0)lim 0 x axbx f x 0 ln(1)0 (0)lim 0 x x f x 1 而而 1b 得得(0)1 f 且且 1313、 解解 1b 3) 3) 利用利用(0)(0),ff 0 211 (0)lim 0 x ax f x 0 1 1 1 (0)lim 0 x x f x 1 而而 得得 1 2 a 0c 21, 0 ( ) 1 , 0 1 axx fx x x 2a (0)1 f 2 ,0 ( ) ln(1),0 axbxcx f x xx

15、2 , 1 ( ) ,1 xx f x axb x 1x 在在可导可导 ,a b求 解解 首先首先f(x)在在x=1必须连续，必须连续， 11 lim( )lim( ) xx f xf x 1, 1abba或或 其次其次f(x)在在x=1可导，可导，(1)(1)ff 2 11 ( )(1)1 (1)limlim2 11 xx f xfx f xx 11 ( )(1)1 (1)limlim 11 xx f xfaxb f xx 1 11 lim 1 x axa a x 2,a1b 14、 1515、 . 0 , 0, 0 0, 1 sin )( 处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在 讨讨论论

16、 x x x x x xf )(lim 0 xf x )0(f x x x 1 sinlim 0 .0)(处处连连续续在在 xxf x x x x y xx 0 0 1 sin)0( limlim 00 . )( 也也非非不不存存在在 . 0 )( 处处不不可可导导在在 xxf 解解0 x x 1 sinlim 0 1616、 2 1 sin,0 ( ), 0 0,0 xx f xx x x 在在 )(lim 0 xf x )0(f 2 0 1 limsin x x x .0)(处处连连续续在在 xxf 2 00 1 (0) sin0 0 limlim xx x y x xx 解解0 的连续性

17、和可导性。的连续性和可导性。 讨论讨论 ( ) 0 f xx 在在可导。可导。 0 1 limsin x x x 0 11 ,0 ( ) 0,0 x x f x x x 在在x=0连续不可导。连续不可导。 证：证： 0 lim( )0(0) x f xf ， 00 11 lim( )lim xx x f x x 所以所以f(x)在在x=0连续。连续。 0 (11 lim0(0) 11 x xx f xx ） ， （）（） 17、 证明证明 01 ( )(0)00 (0)limlim0 00 xx f xf f xx 00 11 2 limlim xx x x xxxx 所以所以f(x)在在x=

18、0不可导。不可导。 00 ( )(0)( 11)/ (0)limlim 0 xx f xfxx f xx 0 1 lim 2 x x 18、 2 1 sin0 ( )00 0 xax x f xx bxcx 可导，求可导，求a,b,c 可导必连续，故可导必连续，故 00 lim( )lim( )(0)0 xx f xf xf 0,ca f(x)在在x=0可导，故可导，故 0 0 (0)lim, 0 x bx fb x 2 0 1 sin0 (0)lim0, 0 x x x f x 0.b 解解 19、 34 1 sin,0 ( ) 0,0 xx f xx x ( ).fx求 2 3 3 411

19、 0( )sincos 3 xfxxx xx ： 34 3 00 1 sin0 1 (0)limlimsin0 0 xx x x fx xx 2 3 3 411 sincos, 0 ( ) 3 0, 0 xxx fx xx x 解解 解：解： 3. 会求导数、微分会求导数、微分 复合函数求导：具体函数、抽象函数复合函数求导：具体函数、抽象函数 隐函数求导（求一点处的导数）隐函数求导（求一点处的导数） 由参数方程给出的函数求导由参数方程给出的函数求导 导数的几何意义：会求曲线在一点处的切导数的几何意义：会求曲线在一点处的切 线和线和 法线方程法线方程 高阶导数：会求二阶导数（包括抽象函数高阶导数

20、：会求二阶导数（包括抽象函数 的二阶导数）的二阶导数） . , )( , )(sin yxfxffy 求求可可导导其其中中设设 1 1、 解解 )(sin( xffy )(sinxff )(sin xf. cosx 8/21 2 (arccos)dfx 2 2 1 (arccos) (2arccos ) () 1 fxxdx x 2、 . )( , )(e 22 e yxfxfy x 可可导导，求求其其中中设设 3 3、 解解 ) )(e)()e ( 2222 ee xfxfy xx )(2e 22 e xfx x e)(e 1e2e 222 xxf x . )(e )(e2 22222 e2

21、1ee xfxxfx xx 7/21 4、ln ( ),.yf xy y求 ( ) , ( ) fx y f x 2 2 ( ) ( )( ) ( ) fx f xfx y fx 5、 (sin ),.yfxy y求 (sin )cosyfxx 2 (sin )cos(sin )sinyfxxfxx 解解 解解 2 yxaxb切线方程为切线方程为(0,)b在在 21, .yxa b ，求，求 解解2yxa (0)ya 2,a 21yx过点（过点（0, b） 1.b 6、 3 (),yf x (arcsin ),yfx 32 () 3yfxx 2 1 (arcsin ) 1 yfx x 解解 解

22、解 7、 8、 . y 求求 . y 求求 2 logln3yxx 22 11 loglog ln2ln2 yxxx x 解解 9、. y 求求 )(sin)(sin 22 xfxfy 解解 22 (sin) 2sincoscos( ) 2 ( )( )yfxxxfxf x fx 22 (sin) sin22 ( )( )cos( )fxxf x fxfx 10 、（、（1） . y 求求 )( )( xfx eefy 解解 ()() ()()( ) xxf xxf x yfeeef eefx 10 、（、（2） . y 求求 sincos(tan3 )yx 2 lnln(ln)yx 解解 解

23、解 2 coscos(tan3 ) ( sin(tan3 ) sec 33yxxx 22 111 2ln ln(ln) ln yx xxx 11、 12、 . y 求求 . y 求求 xa xa xxy lnarctan 11 arctanln()ln() 22 xxaxax 2 111 arctan 12()2() yxx xaxax 解解 13、 . y 求求 xa xa xxy lnarctan 14、 3 25 3 4 (31) (32 ) ,. (53) x xx yy xe 求 3 2 ln |ln |31| 5ln |32 | 4ln |53| 3 yxxxx 2 21020 3

24、 313253 y x yxxx 3 25 3 2 4 (31) (32 )21020 3 313253 (53) x xx yx xxx xe 解解 xye xy cos 2 ()2sin xy eyxyyyx sin 2 xy xy eyx y xey 解法一解法一 15、 解法二解法二 两边对两边对x求导数：求导数： 两边求微分：两边求微分： ()2sin xy eydxxdyydyxdx (2 )(sin ) xyxy xey dyeyx dx sin 2 xy xy dyeyx dxxey . y 求求 16、 22 0 sin(),|. xy x ex yyy 求 22 ()cos

25、()(2)2 xy eyxyx yxyx yyy 2 22 2cos() cos()2 xy xy yexyx y y xexx yy 0 1 | 22 x y y y 解解 17、ln1xyy (1 , 1)m求求 处的切线方程和法线方程处的切线方程和法线方程. 0 y yxy y 1/ y y xy 1 1 1 | 2 x y y 切线方程切线方程 1 1(1) 2 yx 法线方程法线方程 12(1)yx 解解 18、 (sin ) (1cos ) xa tt yat sin 1cos dyt dxt 2 2 ()() d yddyddydt dxdx dxdt dxdx sin1 ()

26、1cos(1cos ) dt dttat 2 22 cos (1cos )sin11 (1cos )(1cos )(1cos ) ttt tatat 2 2 . dy d y dx dx 求， 解：解： 解解 x y d d 22 2 ln(1)d . darctan xty xytt 已已知知，求求 )( )( tx ty )1/(2 )1/(11 2 2 tt t 2 t 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x 1 ( ) 2( ) t x t t t 4 1 2 19、 3 2 1 ty tx 解解 2 33 22 dytt dxt 2 2 3313 () 22 24

27、 d ytdt dxdxtt 20、 2 2 . dy d y dx dx 求， 21、 ln(1) arctan xt yt 2 2 1/(1)1 1/(1)1 dytt dxtt 22 2222 11(1)(12) () 11/(1)(1) d ydtttt dxdtttt 22 00 222 (1)(12) |1 (1) tt d yttt dxt 2 2 . dy d y dx dx 求， 解：解： 2 cosxy 设设 ，则则 dx dy )( 2 xd dy 2 2 d y dx 2 2 sinxx 2 sinx 22 2sin2 cos2xxxx 22、 4. 函数单调性、极值、

28、极值点、凹凸性、函数单调性、极值、极值点、凹凸性、 拐点的判定拐点的判定 用单调性证明不等式用单调性证明不等式 求实际问题的最值求实际问题的最值 1、 5 3 (5)2yx求凹凸区间及拐点求凹凸区间及拐点 。 21 33 510 (5) , (5) 39 yxyx 二阶导处处非零，但二阶导处处非零，但x=5时二阶导不存在，时二阶导不存在， x( , 5) (5 , ) 5 )(x f )(xf 不存在不存在 连续连续 拐点拐点 凹区间：凹区间：5 , ) 凸区间：凸区间：( , 5 拐点（拐点（5，2） 解解 2、 32 ( )f xxaxbx12x 在处有极值， 求求a,b,并求出的并求出的

29、f(x)所有极值点、极值和拐点所有极值点、极值和拐点 (1)12fab ， 2 ( )32fxxaxb ， (1)32fab =0， 0,3.ab 3 ( )3f xxx于是 2 ( )33fxx ( )01,fxx 令，得 ( )6fxx (1)60,( 1)60,ff 解解 1(1)-2,xf取得极小值，极小值 1( 1)2,xf 取得极大值，极大值 ( )600,fxxx令，得 ( )0fxx且在两侧异号， (0,0) 是拐点。是拐点。 32 ( )f xaxbxcx有拐点（有拐点（1，2），），曲线曲线 且在拐点处的切线斜率为且在拐点处的切线斜率为 -1，求，求a,b,c. 解：解：

30、2 ( )32,fxaxbxc( )62fxaxb (1)321fabc ， (1)2fabc ， 3,9,8.abc (1)620fab 3、 x x y ln 2 求其凹凸区间和拐点。求其凹凸区间和拐点。已知已知 2 2ln2 ln x y x 3 42ln ln x y xx (0,1)(1,)d 2 0,yxe 令得令得 4 4、 解解 x -+0- f(x) 凸凸凹凹拐点拐点凸凸 ( )fx 2 (1,)e 2 e 2 (,)e (0,1) 凸区间：凸区间： 2 (0,1),)e 凹区间：凹区间： 2 (1,e 拐点：拐点： 22 (,)ee 2 )1( 12 x x y求其单调区间

31、和极值。求其单调区间和极值。已知已知 5 5、 解解 3 2 (1) x y x 0,0,yx 令得令得 (,1)(1,)d x0 +0- f(x) 增增极大极大减减减减 ( )fx (0,1)(1,)(,0) 单调增区间：单调增区间：(,0 单调减区间：单调减区间：(0,1)(1,) 0 x 是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为-1. 6、 22 )1 (x x y 2 23 31 0, (1) x y x 2 24 12 (1) , (1) x x y x 0,0,yx 令得令得 求单调、凹凸区间。求单调、凹凸区间。 (-1,0)0(0,1)(1.+) -+- -0+ 减凸减凸 增凸增

32、凸拐拐 点点 增凹增凹 减凹减凹 x )(x f )(xf )(x f (, 1) ( )(, 1)(1,)f x 在在单调减，单调减，单调增，单调增， (, 1)( 1,0) 在凸，在凸， 在0, 1)(1, +)凹。在0, 1)(1, +)凹。 (0,0) 拐点：拐点： ( 1,00,1) 在在 无极值点。无极值点。 y=f(x)在在x=x0处连续且取得极小值，则处连续且取得极小值，则f(x) 在在x=x0处必有：处必有： a. b. c. d. 0 ()0,fx 0 ()0,fx 00 ()0()0,fxfx且且 00 ()0()fxfx 或不存在。或不存在。 答：答：d 7、 8、)

33、2 0( 3 1 tan 3 xxxx 3 1 ( )tan 3 f xxxx令令证明：证明： 2222 ( )sec1tan0fxxxxx f(x)单调增，单调增，( )(0)0f xf 3 1 tan. 3 xxx即即 9 9、 证证 . )1ln( , 0 成成立立试试证证时时当当xxx , )1ln()( xxxf 设设 ,0 1 )( ) ,0( ) ,0 )( x x xf xf上上可可导导且且在在上上连连续续、在在 上上单单调调增增；在在 ) , 0 )( xf, 0)0( f又又 时时，当当 0 x, 0)1ln()( xxxf ).1ln(xx 即即 .证毕证毕 8/21 1

34、0、 设容器底面半径为设容器底面半径为 r,高微高微h,则则 2 vr h 2 , v h r 即即容器所用的材料为容器所用的材料为 222 2 2 ( )22 vv s rrrhrrr rr 2 2 ( )2 v s rr r 3 0 ( )0 v s rr 令，得令，得 3 4 ( )2 v sr r 0 ( )0,sr 0 r 为所求最小值点。为所求最小值点。 欲做一个容积为欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形立方米的无盖圆柱形 蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造 价的两倍，问蓄水池的尺寸怎样设计才能价的两倍，问蓄水池的尺寸怎样设计才能 使总造价最

35、低。使总造价最低。 解：解： 2 300r h 设圆柱底圆半径为设圆柱底圆半径为r,高为高为h，周围单位，周围单位 造价为造价为a,则则 2 300 h r 总造价总造价: 2 22ya ra r h 22 2 300600 222a ra ra ra rr 11、 2 600 4ya ra r 0,y 令得令得 3 0 300 r 0 3 0 1200 ( )40yraa r 0 yr故 在 取得唯一的极小值，故 在 取得唯一的极小值，从而是最小值。从而是最小值。 所以当底圆半径和高均设计为所以当底圆半径和高均设计为 时时 ， 3 300 3 0 2 0 300300 h r 总造价最低。总

36、造价最低。 1212、 解解 ),( 00 yxp设设所所求求切切点点为为 为为则则切切线线 pt),(2 000 xxxyy , 2 00 xy ),0, 2 1 ( 0 xa，)16, 8( 2 00 xxb ),0, 8(c t x y o p a b c )16)( 2 1 8( 2 1 2 000 xxxs abc )80( 0 x , 0)1616643( 4 1 0 2 0 xxs令令解得解得).(16, 3 16 00 舍舍去去 xx 8) 3 16 ( s. 0 . 3 16 为为极极大大值值点点 . 3 16 0 时时三三角角形形的的面面积积最最大大故故 x 14/18 (

37、 k 为某常数为某常数 ) 13、 铁路上铁路上 ab 段的距离为段的距离为100 km , 工厂工厂c 距距 a 处处20 ac ab ,要在要在 ab 线上选定一点线上选定一点 d 向工厂修一条向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运已知铁路与公路每公里货运 为使货物从为使货物从b 运到工运到工 20 ab 100 c 解解: 设设,(km)xad x 则则,20 22 xcd )100(3205 22 xkxky)1000( x , ) 3 400 5 ( 2 x x ky 2 3 )400( 400 5 2 x ky 令令,0 y 得得 ,15x又,0 15 x y所以所以 为唯一的为唯

38、一的15x 极小值点极小值点 ,故故 ad =15 km 时运费最省时运费最省 . 总运费总运费 厂厂c 的运费最省的运费最省, 从而为最小值点从而为最小值点 , 问问d点应如何取点应如何取? d km , 公路公路, 价之比为价之比为3:5 , 5. 求极限基本方法，未定式极限求极限基本方法，未定式极限 罗比达法则罗比达法则 会求铅直、水平、斜渐近线会求铅直、水平、斜渐近线 lim(1)bx ab x a e x 0 lim(1) b ab x x axe 0 sin lim1 x x x sin lim0 x x x 常用等价无穷小：常用等价无穷小： . 1 , )1ln( , 2 cos

39、1 , arctan , arcsin , tan , sin :0 2 xexx x x xxxxxxxx x x 时当 1 11 2 xx 1 (1),0 ( ) ,0 x xx f x kx 连续，则连续，则k = 1 0 lim(1) x x xe ke 2 3 lim () x x x x 2 3 lim (1) x x x 6 e 1、 2 lim8 x x xa xa 求求alim9 x x xa xa 求求a 3 8lim 1 x x a xa 3 3 3 lim 1 x aa x ax a x a xa 3 lim 3 x ax a x a ee 2ln,38ln aa ()

40、 9limlim () x x x xx xaxa xaxa ln92 ,ln3a a (1) lim (1) x x x a x a x 2 a a a e e e 2、 0 22 lim(sinsin) x xx xx 0 11 lim(sinsin) x xx xx 00 22 limsinlim sin xx xx xx 202 00 11 limsinlim sin xx xx xx 101 3、 2 3 2 4 lim 8 x x x 2 3 1 1 lim 1 x x x 2 2 (2)(2) lim (2)(24) x xx xxx 1 3 2 3 2 1 (1)(1) lim

41、 (1)(1) x xx xxx 2 2 21 lim 33 x x x 或：原式 2 1 22 lim 33 x x x 或：原式 4、 1 lim 930 x x x e e 1 lim 930 x x x e e 1 lim 930 x x x e e 1 9 0 1 lim 030 x 1 0 lim 90 x 1 30 lim, lim0. xx xx ee 5、 54 sin ! lim 102009 n nn n 32 sin ! lim 2009 n nn n 1/5 limsin ! 2009 10 n n n n 0 无穷小乘有界变量是无穷小。无穷小乘有界变量是无穷小。 1

42、/3 limsin ! 2009 1 n n n n 0 6、 lim() x xxx 2 lim(1) x xxx lim x x xxx 22 2 (1) lim 1 x x xx xx lim x xxx xxx 11 lim 21 11 x x 2 lim 1 x x xx 2 11 lim 21 11 x x 7、 2 0 tansin lim (1) x x xx x e 2 0 tansin lim arctan x xx xx 3 0 tan (1 cos ) lim x xx x 2 3 0 1 2 lim 2 x x x x 3 0 tan (1 cos ) lim x x

43、x x 2 3 0 1 2 lim 2 x x x x 8、 9、 2 0 3sin3 lim (1) arctan3 x x xx ex 22 00 3sin333cos3 limlim 39 xx xxx xxx 2 22 00 1 (3 ) 1cos33 2 limlim 332 xx x x xx 使用罗比达法则前尽量先化简使用罗比达法则前尽量先化简 2 0 2sin2 lim (1)arcsin2 x x xx ex 1010、 2 0 2sin2 lim 2 x xx xx 2 0 22cos2 lim 6 x x x 0 4sin2 lim 12 x x x 2 3 11、 2

44、0 2sin2 lim ln(1)arcsin2 x xx xx 22 00 2sin222cos2 limlim 26 xx xxx xxx 2 22 00 1 (2 ) 1cos22 2 limlim 333 xx x x xx 2 0 sin1 lim (arcsin ) x x ex x 2 0 sin1 lim x x ex x 0 cos lim 2 x x ex x 0 sin lim 2 x x ex 1 2 12、 9 0 1( )1 lim2 sin x f x x ba, 0 x b axxf)( 求常数求常数使得当使得当 . 999 000 11 ( ) 1( )1 22 2limlimlim sin b xxx f xax f x xxx 9,2 2 a b 9,4ba 1 ( )0, 1(