圆弧拱合理拱轴线的拱上荷载分布曲线

1、圆弧拱合理拱轴线的拱上荷载分布曲线1 引言大跨度拱桥拱轴线通常采用悬链线或抛物线， 圆弧拱轴线一 般只适用于中小跨径的实腹拱桥中， 极少将圆弧拱轴线应用到大 跨度拱桥中。 然而，圆弧拱轴线具有曲率一致、 施工方便的优点， 因此，研究圆弧拱合理拱轴线的拱上荷载分布曲线， 具有十分重 要的意义。拱轴线的选取是拱桥设计的基础， 对主拱圈成桥内力状况起 着决定性作用。 合理的拱轴线直接影响拱肋截面内力的分布和大 小。目前常用的拱轴线有圆弧线、悬链线、样条曲线、二次抛物 线及高次抛物线等。当承受径向均布荷载时，选择圆弧拱。但是，实际中是不可 能存在径向荷载的。所以，考虑更加接近实际情况的竖向荷载， 用高

2、次抛物线模拟。2 理论推导2.1 合理拱轴线概念当拱上所有截面的弯矩都等于零 （可以证明， 从而剪力也为 零）而只有轴力时，截面上的正应力是均匀分布的，材料能得以 最充分地利用。这时的拱轴线为合理拱轴线。2.2 公式推导假定荷载分布曲线为阶幂级数方程， 有个常系数， 根据合理 共轴线的概念， 与压力线相重合的个截面的平衡条件， 可以求得 所有常系数，于是，便可以得到荷载分布曲线。现在以三阶幂级数为例进行推导。设荷载分布曲线为建立如图 . 1 坐标系已知： x R sin ， dx R cos d* MERGEFORMAT (1.2)将代入，可得荷载：q(x) a bRsin cR2 sin2

3、dR3 sin3* MERGEFORMAT (1.3)根据受力图 . 1 可得：0V q(x)dx * MERGEFORMAT (1.4)0M q(x) x dx * MERGEFORMAT (1.5)将代入和，可得半拱荷载：V q x dxa bR cR dRaR bR cR dR * MERGEFORMAT (1.6)半拱对拱脚的弯矩：02 3 2 4 3 5 402 3 4 52 3 4( ) x( sin cos sin cos sin cos sin cos ) dsin sin sin sin2 3 4 5M q x dxaR bR cR dRaR bR cR dR * MERGE

4、FORMAT (1.7)半拱对拱顶取矩平衡：02Hf V L M 2H VL M f * MERGEFORMAT (1.8)因为：L 2 Rsin; f R(1 cos )得：2 3 41 sin sin2 sin3 sin4 sin51 cos 2 3 4 5H V aR bR cR dR * MERGEFORMAT (1.9)对拱轴线任一截面取平衡则有：( ) S-x (1 cos ) S q x( )dx Hy HR * MERGEFORMAT (1.10) 坐标系转化到直角坐标系：sin ;cos2L R fR R * MERGEFORMAT (1.11)将代入可得：2 3 4 52

5、8 24 64 160H R L V aL bL cL dLf R R R R R * MERGEFORMAT (1.12) 又因为：2 2cos R y R SR R * MERGEFORMAT (1.13) 将、和代入，可得：2 3 2 4 3 5 42 2 4 2 2 12 2 2 32 2 2 80 (1 ) 3 (1 ) 6 (1 ) 10 (1 ) fS L a fS L b fS L c fS L d V RL R S RL R S RL R S RL R S R R R R * MERGEFORMAT (1.14) 根据，取拱轴线四个不同点的平衡方程， 可得出四个方程的 方程组

6、，用矩阵方式表达为：KA EV* MERGEFORMAT (1.15)式中： T A a b c d ; E=单位矩阵；K是与 R, f, L, S 有 关的系数矩阵；解方程得： 1 A K EV ；即可得到合理拱轴线的荷载分布曲线。3 实验已知： 圆弧拱2 4 / R L f f L L * MERGEFORMAT (1.16)取1 , 1 , 3 , 18 4 8 2S L L L L 四个点弯矩为零，跨径 L 250 ，矢高 f 50 ，V 100000 ，由计算可得：A 578.5280 9.7730 0.0120 4.5682104 所以：q 578.5280 9.7730x 0.0

7、120x2 4.5682104 x3* MERGEFORMAT (1.17)利用 midasCivil2011 建立有限元模型，截面采用等截面的 矩形截面，荷载等效为节点荷载。如图. 2图. 2 圆弧拱模型( 250m) 弯矩图如图 . 3图. 3 圆弧拱弯矩图（ 250m） 查看模型弯矩为零的点与理论计算值比较，如表1：表1 结果比较值误差分析：1. 荷载是连续曲线，模型中等效为节点荷载，可能产生误 差。2. 从中求解矩阵A，是利用MATLAB计算得到的数值解， 可能是最小二乘解。3. 式求解与矩阵 K 的性态有关， 随着系数增加， 可能无法 求解真实值。所以，通过表 1 可以证明是正确的。4 结果及分析1通过对 x 的位置的控制，可以得到使圆弧拱1 , 1 , 38 4 8L L L ，弯矩为零的荷载曲线形 式。2通过增加荷载曲线的系数，可以使拱轴线上更多点的弯 矩为