圆锥曲线的一个优美性质

1、圆锥曲线的一个优美性质圆锥曲线有着众多的优美性质，只要我们善于探究和思考， 就会发现它，它如同一道美丽的风景愉悦了我们的身心 . 在对圆 锥曲线的研究中， 笔者发现圆锥曲线的一组优美统一的性质， 现 叙述如下：性质1设A, B是抛物线y2=2px (p0)上异于原点0的两 个不同点，直线OA 0B的倾斜角分别为a , B,且a +B =，则 直线AB恒过定点M(-2p，0).证明：设A (x1, y1) , B (x2, y2)，由题意得x1工x2 (否 则a +B = n )且x1x2工0,所以直线 AB的斜率存在.设直线AB 的方程为y=kx+b，则将y=kx+b与y2=2px联立消去y，

2、得k2x2+(2kb-2p ) x+b2=0,由韦达定理得 x1x2=.当 a + B =时， tan a tan p =1,所以?=1,即 x1x2=y1y2.又 y1y2=2p,所以=2p, =2p, b=2pk.因此直线 AB 的方程为 y=kx+2pk，即 y=k (x+2p). 所以直线AB恒过定点M(-2p , 0).性质2设A, B是椭圆+=1 (ab0)上异于顶点A1 (-a , 0) 的两个不同点，直线A1A A1B的倾斜角分别为a ,p ,且a + p =, 则直线AB恒过定点M-, 0.证明：设A (x1, y1) , B (x2, y2)，由题意得x1工x2 (否 则a

3、 + p = n )且x1工-a , x2工-a，所以直线AB的斜率存在.设 直线AB的方程为y=kx+t，则将y=kx+t与+=1联立消去y，得b2x2+a2(kx+t )2-a2b2=0 ，整理得( b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0.由韦达定理得 x1+x2=, x1x2=，于是y1y2=k2x1x2+kt (x1+x2)+t2=.又因为 a + p =，所以 tan a tan B =1，从而？=1，即 x1x2+a (x1+x2)+a2=y1y2. 又将 x1+x2=， x1x2=， y 1 y2 =代入上式并整 理得(t-ak ) (a2-b2) t-ak

4、(a2+b2) =0，易知 t- akz 0,所 以t=，因此直线AB的方程为y=kx+，即y=kx+，所以直线AB恒过定点M-，0.性质3设A，B是双曲线-=1( a0, b0)上异于顶点A1(-a , 0)的两个不同点，直线 A1A A1B的倾斜角分别为a , B ,且 a +p =，则直线AB恒过定点M-, 0.证明：设A (x1, y1) , B (x2, y2)，由题意得x1工x2 (否 则a + p = n )且x1工-a , x2工-a，所以直线AB的斜率存在.设 直线AB的方程为y=kx+t，则将y=kx+t与-=1联立消去y，得 b2x2-a2 (kx+t ) 2-a2b2=0，整理得(a2k2-b2 ) x2+2a2ktx+a2t2+a2b2=0.由韦达定理得 x1+x2=, x1x2=，于是y1y2=k2x1x2+kt ( x1+x2 )+t2=.又因为 a +p =，所以 tan a tan p =1 ，从而 ？=1 ，即 x1x2+a(x1+x2) +a2=y1y2.又将 x1+x2=, x1x2=, y1y2=代入上式并整 理得(t-ak ) (a2+b2)