上海初一下数学 实数讲义

1、第一节 实数的概念认识新知识实数有理数正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数知识点1：无理数的概念及特征1. 无限不循环小数叫做无理数，无理数可分为正无理数与负无理数，如2，3，是正无理数；-2，-7，-2是负无理数。【注意】有理数是指有限小数和无限小时，而无理数包括：l 开方开不尽得数，如2，-7，33，；l 有特定意义的数，如以及含的数；l 有一定结构的无限小数，如1.010 010 001；l 无限不循环小数2无理数的特征1) 无理数的小数部分是无限的2) 无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.【注意】“无限循环小数”和“无限不循环小数”的异

2、同：相同之处是它们都是小数，不同之处是前者能化成分数（有理数），用ba（a0）的形式来表示；后者不能化成分数形式，为无理数.知识点2：实数的定义1. 有理数和无理数统称为实数2. 实数的分类：1) 按定义分类实数有理数正有理数正整数正分数零负有理数负整数负分数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数2) 按大小分类实数正实数零负实数【注意】零是特殊的有理数，它既不是正有理数，也不是负有理数.引进无理数后，在实数中，零仍是一个特殊的数，它既不是正实数，也不是负实数.例题分析1. 尝试说明是一个无限不循环小数.尝试完成以下填空：假设是一个有理数，设，等式两边分别平方，可以得到2=

3、，则=，由此可知p一定是一个（填“奇”或“偶”）数，再设p=2n(n表示整数)，代入上式，那么=，同理可知q也是.这时发现p、q有了共同的因数2，这与之前假设中的“”矛盾.因此假设不成立，即不是，而是无限不循环小数.2. 将下列各数填入适当的括号内：0、-3、6、3.14159、0.有理数： ；无理数： ；正实数： ；负实数： ；非负数： ；整 数： .3. 判断下列说法是否正确，并说明理由：(1) 无限小数都是无理数； (2)无理数都是无限小数；(3)正实数包括正有理数和正无理数； (4)实数可以分为正实数和负实数两类.4. 请构造几个大小在3和4之间的无理数.5. 用“是”、“不是”、“统

4、称”、“包括”、“叫做”填空，并体会这些词的含义：(1)分数. (2) 0有理数.(3) 无限不循环小数无理数.(4)实数有理数和无理数.(5) 正整数、0和负整数整数.(6)有理数有限小数或无限循环小数.6. 判断题a) 无限小数都是无理数 （ ）b) 39是无理数 （ ）c) 无理数中无最大值 （ ）d) 0是最小的实数 （ ）e) 绝对值最小的实数是0 （ ）f) 实数a的倒数是1a （ ）g) 无理数与有理数的和是无理数 （ ）选择题7. 下列说法中正确的是(A) 正整数、负整数统称整数(B) 正数、负数和零统称有理数(C) 开方开不尽的数和统称无理数(D) 有理数、无理数统称实数8.

5、 如果有理数与它的倒数相等，那么这种有理数共有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个9. 下列各数-49、3.、0.、-3100中有理数的个数是（ ）A0个 B. 1个 C. 2个 D.3个第二节 数的开方知识点1：平方根1.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.用数学语言表达即为:若x2=a,则x叫做a的平方根.例如,因为(4)2=16,所以16的平方根是+4和-4（可以合写为4），同样（35）2=925，所以925的平方根是35，因为02=0，所以0的平方根是0.2.平方根的性质：（1）一个正数a的平方根有两个，它们两个互为

6、相反数（2）0的平方根是0（3）负数没有平方根3.平方根的表示方法：一个正数a的平方根有两个，我们用a表示其中正的平方根，读作“根号a”，另一个负的平方根记为-a，a的平方根合记为a.其中“”读作“二次根号”，a叫做被开放数，2叫做根指数，如2a,通常将2省略不写，所以2a可记作“a”，读作“正负根号a”.4.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方.知识点2：算术平方根1. 算术平方根的定义：正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根，例如16的平方根是4和-4，其中4又叫做16的算术平方根.2. 0的平方根也叫做0的算术平方根，即0=0.3. 当数a为非负数时，a表示a

7、的算术平方根.知识点3：平方根与算术平方根的区别于联系1. 区别：（1）定义不同；（2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；（3）表示方法不同；正数a的平方根表示为a，正数a的算术平方根表示为a；（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根是一正、一负.2. 联系：（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，而算术平方根是平方根中正的一个；（2）存在条件相同：平方根都只有非负数才有；（3）0的平方根和算术平方根都是0.一例题分析：求下列各数的平方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？（1） 0.16; （2） -

8、; （3） 0.二性质归纳：（1）因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；（2）因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有2个不同的平方根，记作“”，它们互为相反数，其中“”表示正的平方根（也可以称算术平方根），读作“根号a”.（3）因为0的平方等于0，所以0的平方根就是0，即：=0.三问题拓展思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律？（1）的意义是什么？ =？（2）的意义是什么？ =？ （3）的意义是什么？ =？（4）的意义是什么？ =？ （5） 计算：=_ =_ =_ =_ =_ =_.2规律总结：（1）表示a2的正平方根，因为a20，所以=a|.（2）表示数

9、a的正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a0，且=a；表示数a的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a0，且=a；综上所述，（）2=a.思考：4有算术平方根吗？四、巩固练习1下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.（1）=-7; （2）=2; （3）-=5; （4）=92求下列各数的正的平方根：（1） 225； （2）0.0001； （3） .3若2m-5与4m-9是同一个数的平方根，求m的值.4. 求下列各数的算术平方根100 0.0001 0 5. 要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.6. 已知的算术平方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，求的算

10、术平方根7. 非负数的算术平方根表示为_，225的算术平方根是_，0的算术平方根是_8. 9. 的算术平方根是_,的算术平方根_10. 若是49的算术平方根，则=（ ）A. 7 B. 7 C. 49 D.4911. 若，则的算术平方根是（ ）A. 49 B. 53 C.7 D.12. 若，求的值。13. 若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。14. 一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_15. 判断题1) a为有理数，若a有平方根，则a0. （ ）2) -52的平方根是5. （ ）3) 因为-3是9的平方根，所以9=-3. （ ）4) 正数的平方根是

11、正数. （ ）5) 正数a的平方平方根的和是0. （ ）6) 25=5. （ ）7) -5是5的一个平方根. （ ）16. 若一个数的平方根等于它本身，数的算术平方根也等于它本身，试求的平方根。17. 求下列各数中的值18. 若，求、的值19. 如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数第三节 立方根和开立方知识点1：立方根1. 立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根.用数学式子表示为：若x3=a，则x叫做a的立方根或三次方根.2. 立方根的表示方法:类似于平方根的表示方法，数a的立方根我们用符号“3a”来表示，读作“三次根号a”，其中a叫做

12、被开放数，3叫做根指数.3. 立方根的性质：（1）正数有一个正的立方根；（2）负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；（4）一个负数的立方根等于它的绝对值得立方根的相反数.知识点2：开立方求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数.l 被开方数可以是正数，负数，也可以是0.l 开立方与立方互为逆运算.l 一个正数有两个平方根，但是只有一个立方根；负数没有平方根，但有一个立方根.l 求带分数的立方数，必须先将其化成假分数.知识点3：平方根、算术平方根、立方根的区别与联系1. 区别：(1)用根号表示平方根时，根指数2可省略不写，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；(2)平方根只

13、有非负数才有，即开平方时，被开放数大于或等于0，而算术平方根式正数的平方根中正的一个，0的算术平方根是0；开立方时，被开方数可以是任意实数.立方根与平方根的区别如下表：正数0负数平方根有两个平方根0没有平方根立方根一个正的立方根0一个负的立方根2. 联系：(1)都与相应的乘方运算互为运算；(2)都可归纳为非负数来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也转化为正数的立方根来求得，即3-a=-3a；(3)0的平方根、算术平方根和立方根都是0.巩固练习1. 求5的立方根（保留三个有效数字）2. 求下列各数的立方根 8 3. 计算4. 张叔叔有棱长为的两个正方体纸箱中装满了大米，他将这两箱大米都倒入了另一个新的正方体木箱中，结果正好装满，那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少？（结果精确到）5. 解方程 6.的自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D.全体实数7. 当 时，有意义；当时，有意义8. 的立方根