【2019年整理】第三章一阶微分方程的解的存在定理

1、第三章一阶微分方程的解的存在定理教学目的：使学生掌握解的存在唯一性定理的内容及证明思想、延拓定理、 解对初值的连续依赖性和可微性定理的内容；掌握逐次逼近法；会判断解的存在区间；了解奇解的概念和解法.教学内容：1解的存在唯一性定理与逐次逼近法解的存在唯一性定理及其证明、Lipschitz条件、Picard逼近序列、逐次逼近 法.2、解的延拓定理与延拓条件.3、解对初值的连续依赖性和可微性定理4、奇解、包络、奇解、Clairaut方程.教学重点：解的存在唯一性定理及其证明教学难点：解的延拓定理、解对初值的连续依赖性、可微性定理的证明 教学过程： 3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1 存

2、在唯一性定理定理1 如果f (x, y)在R上连续且关于y满足李普希兹条件，则方程 = f(x, y)(3.1)dx存在唯一解y =(x)定义于区间x -Xo|兰h上，连续且满足初始条件(X0)=yo(3.3)其中 h = min( a, ), M max f (x, y)M(x,y)B可用皮卡(Picard)逐步逼近法证明这个定理，此外，用欧拉折线法(差分法)、绍德尔(Schouder)不动点方法等亦可证明.逐步逼近法的基本思想 分五个命题来证明定理.命题1 设y = ：(x)是方程(3.1)的定义于区间x0乞x乞x0 h上，满足初始条件(X。) = y。的解，则y hf:(x)是积分方程x

3、y=yf(x,y)dx, x。乞x EX。 h(3.5)的定义于区间X。空x乞x0 h上的连续解，反之亦然.现取(X。)= yo，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：(x) =yJx(37)n(X)=yo + J f(Jnji(C)dx XoExExo+h, (n = 1, 2,，n)命题2对于所有的n , (3.7)中函数n(x)在X。乞x x0 h上有定义、连续且满足不等式n(x)y|Eb(3.8)命题3 函数序列Ln(x)1在XXX)巾上是一致收敛的.设lim :n(x (x):(x)也在x)-X_x)h上连续，且由(3.8 )又可知，n(x)-y m时，(x, (x)趋于区域G的边界.推论

4、如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程(3.1)的通过(x0, y0)的解y二- (x)可以延拓，以向x增大的一方的延拓来说，有下面两种情况：(1) 解y = ：(x)可以延拓到区间x0,；(2) 解y =(x)只可以延拓到区间x0, m)，其中m为有限数，则当 x m时，或者y = ：(x)无界，或者点(x,(X)趋于区域G的边界.2例1讨论方程 业二 1的分别通过点(0, 0), (ln 2, -3)的解的存在区间.dx 2dy例2 讨论方程1 ln x满足条件y(1) =1的解的存在区间.dx 3. 3解对初值的连续性和可微性定理3.3.1 解关于初值的对称性解关于初值的对称

5、性定理设方程(3.1)的满足初始条件 y(x0) =y0的解是唯一的，记为y = (x, x0, y0)，则在表达式中，(x,y)和(x0 ,y0)可以调换其相对位置，即在解的存 在范围内成立着关系式丫0 二(xo, x , y)3.3.2 解对初值的连续依赖性引理 如果函数f (x,y)在某区域D内连续，且关于 y满足利普希兹条件，则对方程(3.1)的任意两个解(x)和匸(x)，在它们的公共存在区间成立着不等式|(X)(x)|_| (x。)(xo)|eLx旳(3.20)其中X。为所考虑区间内的某一值.解对初值的连续依赖性定理设f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足局部利普希兹条件，(Xo，

6、y。)，G, yh卩(x,xo，y。)是(3.1)的满足初始条件y(X0)= y。的解，它在区 间a乞x乞b上有定义(a乞X。辽b)，则对于任意给定的； 0，存在正数=( ；，a,b)使 得当(X。- Xo)2(% -y。)2 乞 2时，方程(3.1)的满足条件y(xo)=：y。 的解y =(x, x。，y。)在区间a兰x b上也有定乂， 并且| (x, X。，y。)一 (x, x。，y。)匸；，axb证明(略，见P96)解对初值的连续性定理若f (x,y)在区域G内连续，且关于 y满足局部利普希兹条件，则方程(3.1)的解y二：:(x, x。，y。)作为x,x。，y。的函数在它的存在范围内是连续的.3.3.3 解对