定积分的简单应用——求体积汇编_第1页
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1、4.2定积分的简单应用（二）复习：（1）求曲边梯形面积的方法是什么？（2）定积分的几何意义是什么？（3）微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。1. 简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线y = f（x）和直线x = a，x=b及x轴围成的平面图形（如图甲）绕 x轴分析:旋转如何求v ?yl: : 1.0图乙在区间a,b内插入n -1个分点,使a =沧：:治：x2: xnJ 0)x 十 y -6 = 0得:0 2 6.y2二8x与直线x y - 6 = 0的交点坐标为(2,4)所求几何体

2、的体积为：2/26264兀 112応7 -( .8x)2dx二(6 - x)2dx = 16二七33规律方法：解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积。练习2：求由直线y =2x，直线X =1与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解:旋转体的体积:(2dx2Jr4 - 3-类型三：有关体积的综合问题:例3：求由曲线y冷x2与y云所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。画出草图 确定被积函数的边界 确定积分上、下限-;用定积分表示体积-；求定积分解:

3、曲线y=2x2与厂恳所围成的平面图形如图所示:设所求旋转体的体积为VI !21 2:y=j2x0根据图像可以看出V等于曲线丫=殛，直线x = 2与x轴围成的平面图形绕轴旋转1 2周所得的旋转体的体积（设为V ）减去曲线yx2直线x = 2与x轴围成的平面图形绕x轴2旋转一周所得的旋转体的体积（设为V2）y 二：二（、亦2dx =2二0 xdx 二 2 2 x2 二 4 -2 C 2 V Vx2兀4dx x dx =48 二 12二4亏飞反思:结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法。练习3：求由y二. x 1，y = 2x2以及y轴围成的图形绕x轴旋转一周所得

4、旋转体的体积。解：由*得:x =3y =23V (x 1)dx -oS 81误区警示：忽略了对变量的讨论而致错1例：已知曲线y二x, y 和直线y=0，x二a（a 0）。试用a表示该四条曲线围成的平x面图形绕x轴旋转一周所形成的几何体的体积。思路：掌握对定积分的几何意义，不要忽视了对变量 a的讨论。 2|y = x解：由1y =-x由示意图可知:要对a与1的关系进行讨论:1 当 0：a 汨时，V 二 a：（x2）2dx 二af兀一1M丿dx =5 a1 当 a 1 时，V 二二(x2)2dx J05二 a(0 .： a 叮).所得旋转体的体积为.V二55 _a(a 6 :追本溯源:利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于:(

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