平面解析几何初步一轮复习(有答案)

1、第四章 平面解析几何初步第1课时直线的方程基础过关1. 倾斜角:对于一条与X轴相交的直线，把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所 转的最小正角a叫做直线的倾斜角.当宜线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0.倾斜角的范围为.斜率:当直线的倾斜角a阳0。时，该直线的斜率即k-taiia：当直线的倾斜角等于90。时，直线 的斜率不存在.2. 过两点P|(X1，yi), P2(x2, y2)(xi盘2)的直线的斜率公式.若x,=x2,则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90。.3. 直线方程的五种形式夕1称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式典型例题例1.已知直线(2m?+m3)x

2、+(nFm)y=4m-l.当m=_时，直线的倾斜角为45。. 当m=_时，直线在x轴上的截距为1.当m=_时，直线在y轴上的截距为一寸. 当】=_时，直线与x轴平行.当m=_时，直线过原点.解：(1) 一 1 (2) 2或一丄 丄或一2 (4)-丄2324变式训练1. (1)直线3y+J5 x+2=0的倾斜角是()A. 30。 B. 60 C. 120 D. 150(2) 设直线的斜率k=2, P, (3, 5) , P2 g, 7) , P ( 1, ys)是直线上的三点，则x?,y3依次是()A3, 4 B. 3 C 4, 3 D 4, 3(3) 直线h与12关于X轴对称，h的斜率是一，则

3、12的斜率是()A. y7 B. -卩 C. D. 一Y77(4) 直线1经过两点(1, -2) , (一3, 4),则该直线的方程是.解：(1) D提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是一迈3(2) C.提示：用斜率计算公式II.刃一可(3) A.提示：两直线的斜率互为相反数.(4) 2y+3x+l=0.提示：用直线方程的两点式或点斜式o例 2.已知三点 A (1,1) , B (3, 3) , C (4, 5)求证：A. B、C三点在同一条直线上.证明方法一 TA (L -1) , B (3, 3) , C (4, 5),kAB= =2,kBc=2,kAB=kc,3-14-3A、B. C三点共

4、线.方法二 TA (1, -1) , B (3, 3) , C (4, 5),AIABI=2V5. IBCI=75, IACI=3V5,AIABI+IBCHACL 即 A、B、C三点共线.方法三 TA (1, -1) , B (3, 3) , C (4, 5),AB =(2, 4) , ic=(1 2) , /. AB =2bc 又乔与旋有公共点B, A、B、C三点共线.变式训练2设a, b, c是互不相等的三个实数，如果A (a, a3) . B (b, 2)、C (c, c3) 在同一直线上，求证：a+b+c=O证明TA、B、C三点共线，.kAB=kAc，,化简得 a2+ab+b2=a2+

5、ac+c2,a_b q_c/. b2-c2+ab-ac=O, (b-c) (a+b+c) =0,Ta、b、c 互不相等，b-c0a+b+c=0.例3.已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1*1).试求： V 的最大值与最小值.x + 2解：由 4 的几何意义可知，它表示经过定点P (-2, -3) 曲线段AB h任一点(x,y)的 x + 2直线的斜率k,如图可知：kp.WkpB, 由已知可得：A (1, 1) , B (1, 5), 冷 k1） M（ - , 0）/. Saoqm=-竝4x（）= IO-旦= lO-（Xo-l）+240当且仅当xo-l = L即xo=2取等号，Q（2,

6、8）PQ 的方程为：14 = 4, Ax+y-10=0变式训练4.直线1过点M(2, 1),且分别交x轴y轴的正半轴于点A、B, O为坐标原点.(1) 当AAOB的面积最小时，求直线1的方程：(2) 当|加卜|厕|取最小值时,求直线1的方程.解：设 1： y_l=k(x_2)(kV0)则 A(2-l, 0), B(0, l-2k)k 由 S=i(l_2k)(2_ 1)=1 (4-4k-1)当且仅当一4k=- *即k=-|时等号成立A AAOB的而积最小值为4 此时1的方程是x+2y4=0 VIMAI-IMBI= J+ + 1-J4+4=2 a=-l,a(a2 一 1) h 6故当a=l时,hb

7、否则h与b不平行.(2)方法一 当 a=l 时，li：x+2y+6=0J2：x=0, li仃b不垂直，故a=l不成立.当举时,h:y=x3,4M由_d方法二 由 AA2+BB2=O,得 a+2(a-1 )=0n a=壬.变式训练1.若直线h： ax+4y-20=0, h： x+ay-b=0，当a、b满足什么条件时,直线h与b分 别相交？平行？垂直？重合？解：当a=0时，直线h斜率为0, 12斜率不存在，两直线显然垂直。a h当aR时，分别将两直线均化为斜截式方程为：h： y二一尹+5, y=-x+-oQ1(1) 当一彳* 一孑即a社2时，两直线相交。Q1K(2) 当一彳二一亍且5农亍时，即世2

8、且bflO或a= -2且時一10时，两直线平行。（3）由于方程（一（一=一1无解，故仅当a=0时，两直线垂直。aIb（4）当一=:且5=:时，即a=2且b=10或a= 2且b= 10时，两直线重合q例2.已知直线1经过两条直线h： x+2y=0与12： 3x-4y-10=0的交点,且与直线b： 5x- 2y+3=0的夹角为兰，求直线1的方程.4解：由:心广：n解得h和b的交点坐标为（2, 1）,因为直线13的斜率为k3=1切3 3.r-4y-10 = 02的夹角为壬，所以直线1的斜率存在设所求直线1的方程为y+ l=k（x-2）4则(an =4k 一*31 +匕-7-/25=k=|或 k=_

9、? 故所求直线 1 的方程为 y+l = - |（x2）或 y+l = |（x2）即 7x+3y+ 11=0 或 3x-7y-13=0变式训练2.某人在一山坡P处观看对而山顶上的一座铁塔，如图所示，塔髙BC=80 （米）， 塔所在的山髙OB=220 （米），OA=200 （米），图中所示的山坡可视为直线1,且点P在直线上I与水平地而的夹角畑伽吨试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角ZBPC最大（不计此人的身髙）？解如图所示，建立平而直角坐标系,直线 1 的方程为 y=(x-200)tana,则 y=Az222.设点P的坐标为（x,y）,则P(x, 巴)(x200).由经过两点的直线的斜率公式

10、kpc= 2002300x-8002x-220x-2002x-640由直线PC到直线PB的角的公式得tanZBPC=-一1+W17.v-800 .v-6402.v 2x64xx2 -288jv +160x64064=160x640 egx +_288x(x200).8-/25要使tanZBPC达到最大，只需x+竺里-288达到最小，由均值不等式xx+ -16040 -2882 7160x640 -288,x当且仅当x= *60x640时上式取得等号.x故当x=320时，tanZBPC最大.这时，点P的纵坐标y为戶芈竺=60.由此实际问题知0VZBPCV巴，所以tanZBPC最大时，ZBPC最大

11、故当此人距水平地而607米高时，观看铁塔的视角ZBPC最大.例3.直线y=2x是AABC中ZC的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(4, 2)、B(3, 1),求点C的坐标并判断AABC的形状.解：因为直线y=2x是AABC中ZC的平分线，所以CA、CB所在直线关于y=2x对称，而A(4, 2)关于直线y=2x对称点A.必在CB边所在直线上设 Ai(xP yj则力_2工1-(7)2 = -1得片4即 A1(4, -2)由Ai(4, 2), B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为:3x+y 10=0 又由氐.g解得C(2,4) 又可求得：kBc=3 kAc= | /.kBc kAC=h即A

12、ABC是直角三角形变式训练3.三条直线h： x+y+a=0, 12： x+ay+l=0, 13： ax+y+l=0能构成三角形,求实数a的 取值范围。解：aGR且a扫:1, a#2 (提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点， 即任意两条直线都不平行且三线不共点。(1) 若h、b、b相交于同一点，则h与b的交点1)在直线13上，于是1)+1+1=0,此时 a=l 或 a=-2.(2) 若 hb 则-1=-L a=Ed(3) 若 li/7h,则-l=-a0)的直线1与x、y轴分别交于P、Q两 点，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R、S,求四边形PRSQ的而积的最小 值

13、.解：设1的方程为y l =m(xl),则 p (1 +丄，0) , Q (0, 1+m)从则直线PR： x-2y- =0：m直线 QS： x-2y+2(m+l)=0 又 PRQS12】 + 2+l +丄I 3 + 2加+丄/. I RS 1=十仏=一又 I PRI =75,IQSI=/w + 1而四边形PRSQ为直角梯形,2 Sprsq=x( +罟)X3 + 2/? + nt180-1 I 1 丄 9、21 丄 9 a一*+不+护-丽左(2+护-= 3.6.四边形PRSQ的面积的最小值为3.6.小结归纳1. 处理两直线位置关系的有关问题时，要注意英满足的条件.如两直线垂直时，有两直线 斜率都

14、存在和斜率为0与斜率不存在的两种直线垂直.2. 注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平而图形的性质和图形的直观性，有助于 问题的解决.3. 利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法.4. 解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一 般是转化为求对称点，英关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直：二是两对称点的 中点在对称轴上，如例4 第3课时线性规划基础过关1. 二元一次不等式表示的平面区域.（1）一般地，二元一次不等式Ax + By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=O某 一侧的所有点组成的平而区域（半平而）不含边界线，不等式Ax

15、 + By+C0所表示的平而区域 （半平面）包括边界线.对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x、y）使得Ax + By+C的值符号相同.因此，如 果宜线Ax+By+C=O 侧的点使Ax+By+C0,期一侧的点就使Ax+By+C0（或Ax + By+C0结合区域图易得不等式组为y + 2202a+v-50 4x-y-4S0x+y-inoVjv 5 23 O例2已知X、y满足约束条件X-4- 7y 1 1 6)C(一3, 2) (1)作与直线2x+y=0平行的直线h： 2x+y=t,则当h经过点A时，t取最大，h经过点B 时，(取最小. Zmax 9 Zmin 13(2) 作与直线4x-3y

16、=0平行的直线b： 4x-3y=t,则当b过点C时,最大.(3) 由z=x2+y2,则若表示点(x, y)到(0, 0)的距离,结合不等式组表示的区域.知点B到 原点的距离最大，当(x, y)为原点时距离为0. zmax=37 zmin=0变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数t=ax-y,(1) 若在区域上有无穷多个点(x, y)可使目标函数t取得最小值，求此时a的值.若当且仅当氓时，目标函数 取得最小值，求实数a的取值范围?312T1/解：(1) ill t=axy 得 y=axt 要使(取得最小时的(x, y)有无穷多个, 则y=ax t与AC重合.由Kac a Kbc得一耳v a

17、v 命例3.某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56 立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米， 第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种 0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件卜，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获 利润最多？ 解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为X、y,所获利润为z,则:08x + 0.09y720.08x+ 0.28y0、02x +y 8002x + 7v 0v0则z=6x+10y作岀可行域如图.I 2a* + y = 8002a+7v =

18、 1400a-= 350uy = 100即 M（350, 100）由图可知，当直线1： 6x+10y=0平移到经过点M（35O, 100）时，z=6x+10y最大，即当x = 350, y=100 时，z=6x+10y 最大.变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，町用原料为A、B两种规格的金 属板，每张面积分別为21，和3m2,用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可造 甲、乙两种产品各6个.问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料（而积） 最小.解：设A种取x块，B种取y块，总用料为zm2,贝U3x + 6y455x + 6y 55z=2x+3y （x、y

19、eN）可行域如图：最优解为A（5, 5）, x=5, y=5时，Zmin=25,即A、B两种各取5块时可保证完成任务，且 总的用料（而积）最省为25m2.例4.预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但 解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？ 设桌椅分別买x、y张，由题意得：x0y0x yy.5x50.r + 20y2000x = y50x + 20y = 2000解得:200200点A（罕,竽y = 1.5x5Ox + 2Ov = 2OOOrx = 25解得 75y =点 B(25, ?)满足以上不等式组表示的

20、区域是以A. B、0为顶点的AAOB及内部设x+y=z,即=一风 +z：肖直线过点B时，即x=25, y=Zl, z最大.V yGz, Ay=37买桌子25张，椅子37张是最优选择变式训练4： Ah A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16 万吨的B】、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，Ai的煤运到B】、Bi的运费分别为3元/吨 和5元/吨,A?的煤运到D、B2的运费分别为7元/吨和8元腕，问如何设计调运方案可使总 运费最少？解：设Ai运到BiX万吨,A?运到B】y万吨，总运费为z万元,则A】运到B2(8x)万吨,A2 运到 B2(18y)万吨,z=3x+5(8

21、x)+7y+8(18y) =1842xy, x、y 满足y弋2)0剩余6万吨运到B?,这时总运费最少x+y20(8-x) + (18-y)160a80y18可行域如图阴影部分.当 x=8 时，y=12 时，Zmin=156即A,的8万吨煤全运到Bi，A?运到12万吨运到Bp 为156万元.小结归纳1. 二元一次不等式或不等式组表示的平而区域：直线确左边界：特殊点确泄区域.2. 线性规划实际上是“数形结合“的数学思想的体现，是一种求最值的方法.3. 把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条 件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.而在考虑约束条件时，

22、除数学槪念 的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束.4. 解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规 范。但最优点不易辨别时，要逐一检査Q第4课时曲线与方程,基础过关1. 直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答(除杂).2. 求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、左义法、代入法(相关点法.转移法)、参 数法、交轨法等.典型例题例1如图所示，过点P(2, 4)作互相垂直的直线Ih h.若h交x轴于A, b交y轴于B,求 线段AB中点M的轨迹方程.解：设点N1的坐标为(x,y),TM是线段AB的中点，A点的坐标为(2x,0) , B点的坐标为

23、(0, 2y).A PA= (2x-2, -4) ,(2, 2y-4)由已知丙 PB=O, .-2 (2x-2) -4 (2y-4) =0,即 x+2y-5=0 线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.变式训练1：已知两点M (-2, 0)、N (2, 0)，点P为坐标平而内的动点，满足I顾II而1+顾而=0,求动点P (x, y)的轨迹方程.解由题意：(4, 0),诉=(x+2,y),NP= (x2,y),VlAjW llA/Pl+MV 丽=0, J*+o： J（x+2）W + （x-2） -4+y-0=0,两边平方，化简得y2=-8x例2.在AABC中，A为动点，B、C为立点，且满足条

24、件sinC-sinB=lsinA, 则动点A的轨迹方程是()16y215=1 （X。）B 16y216FagO）c 16r _）6y_ =1 （啣）的左支 ”15a*D.=1 （网 a1 3a2的右支答案D变式训练2：已知圆6 (x+3)2+y2=l和圆Q： (x3)却鬥,动圆M同时与圆。及圆C2相 外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解如图所示，设动圆M与圆Ci及圆C2分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件, 得IMCil-IACiHMAI,IMC2I-IBC2HMBI.因为 IMAI=IMBU所以 IMC2I-IMC1 l=IBC2l-IACil=3-1 =2.这表明动点M到两定点C2,

25、G的距离之差是常数2.根据双曲线的左义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C?的距离大，到G的距离小)，这里a=l.c=3,则2=8设点M的坐标为(x,y)，其轨迹方程为x2=l (x0),圆心为,半径r3. 二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程的充要条件是4. 圆C：(Xa)24-(yb)2=r2的参数方程为x2+y2=r2的参数方程为5. 过两圆的公共点的圆系方程:设OC|： x2+y2+Dix+Eiy+Fi=O OC2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0,则经过两圆公共点的圆系方程为典型例题例1根据下列条件，求圆的方程.经过A(6, 5), B(0, 1

26、)两点，并且圆心在直线3x+10y+9=0上.(2) 经过P( 2, 4), Q(3, 一 1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6. 解：(l)TAB的中垂线方程为3x+2y_15=0解得山 j3x + 2y_15 = 0hx + 10v + 9 = 0圆心为 C(7, 3),半径 r= V65故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65(2)设圆的一般方程为x24-y2 + Dx+Ey+F=0 将P、Q两点坐标代入得2D-4E-F = 20 (D3D-E + F = -10 令 y=0 得 x?+Dx+F=O由弦长Ixi x2I=6 得 D24F=36 解可得 D=2, E=4, F= 8

27、 或 D=6, E= 8, F=0故所求圆的方程为 x?+y2 2x-4y-8=0或 x2+y26x8y=0变式训练1：求过点A (2, 一3) , B (-2, -5),且圆心在直线x-2y3=0上的圆的方 程.由A (2, 3) , B (2, 5),得直线AB的斜率为kAB二2x+y + 4 = 0x-2y-3=0线段AB的中点为(0, -4),线段AB的中垂线方程为y+4= 2x,即y+2x+4=0.解方程组 圆心为(一1, -2),根据两点间的距离公式，得半径rp/(2+l)2+(-3+2)2 砸 所求圆的方程为(x+l)2+(y+2)2=10例2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0

28、和直线x+2y-3=O交于P, Q两点，且OP丄OQ (O为坐标原 点)，求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,得 5产20y+12+m=0 设 P (xi,yi),Q(X2,y2),则力、y?满足条件： yi+y2=4,yiy2=J.V OP 丄 OQ.x 1 X2+y 1 y2=0.而 Xi=3-2yi,X2=3-2y2.XiX2=9-6(yi+y2)+4yy2 .m=3,此时(),圆心坐标为卜*3卜半径r=|. 方法二如图所示，设弦PQ中点为M,AOiM的方程为:y-3=2卜+|,VOiM丄PQ, &牡=2.即：y=2x+4.由方程组v

29、= 2a + 4A+2y-3 = 0*解得M的坐标为(1, 2).则以PQ为直径的圆可设为(x+1) 2+ (y-2) 2=r2. OP丄OQ, .点O在以PQ为直径的圆上. (0+1) 2+ (0-2) 2=r2,即 r-S.MQW2.在 RtAOiMQ 中，OiQ2=OiM2+MQ2.+ (3-2)2+5=Am=3.A半径为孑圆心为方法三设过P、Q的圆系方程为 x2+y2+x-6y+m+ z (x+2y-3)=O.由OP丄0Q知，点O (0, 0)在圆上./. m-3/i=0t R卩 m=3/i 圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3 A + A x+2 A y-3 A =0 即 x2+(

30、l+i )x+y2+2( a -3)y=0.圆心阴一学，兰导卜 又圆在PQ上.A.121+2 (3-2 ) -3=0,2z = 1 ni=3 圆心为卜制，半径为斗变式训练 2：已知圆 C： (x-1) 2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+l)x+(m+l)y=7m+4 (mR).(1) 证明：不论m取什么实数，直线1与圆C恒相交；(2) 求直线1被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.(1) 证明直线 1 可化为 x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为(3, 1),又有(3-1) 2+ (1

31、-2) 2=5/5 -2,tmax= y -2, tmin=-2- 5 （3）设k二斗x-l则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2） 2+y2=i有公共点,3 +点4变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+l=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x?+y2的最大值和最小值.解（l）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线戶x+b与圆相切时，纵截距b取得 最大值或最小值，此时卩：忙氏,解得b=-2土品.72所以y-x的最大值为-2+76 ,最小值为-2-6.（2） x?+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平而几何知识知，在原点与圆心连线与圆 的两个交点处取得最大

32、值和最小值.又圆心到原点的距离为V 2-o）M 0-0）2 =2,所以Q+y2的最大值是（2+的）2=7+4石，x+y 的最小值是 C2-J3 ） =74.例4.设圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆弧，英弧长的比为3 : 1.在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1： x-2y=0的距藹最小的圆的方程。 解法一设圆的圆心为P（a.b）,半径为r,则点P到x轴y轴的距离分别为丨b丨、丨a I。由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90。，圆P截x轴所得的弦长为迪r,故 F=2b2.又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有2材+1,从而得2b2=a2+1.点P到直线x-2y=0的距离为吐

33、匕二!,J5/. 5d2=(a-2b)2=a2+4b2-4ab= 2a2+2b2-4ab+ l=2(a-b)2+ll 肖且仅当a=b时取等号，此时，5d2=l,d取得最小值.由 a=b 及 2b2=a24-1 得 0, 5d2l可见5d2有最小值1,从而d有最小值辱，将其代入(探)式得2b24b+2=0, b=l, r2=2b2=2, a2=2b2-l=l, a=l由I a2b I =1知a、b同号故所求圆的方程为(x-l)2+(y-1)2=2或(x+l)2+(y+l)2=2变式训练4：如图，图O和圆02的半径都等于1, OQ2=4,过动点P分别作圆6和圆O2 的切线PM PN(M. N为切点

34、)，使得PM=V2PN,试建立平面直角坐标系，并求动点P的 轨迹方程.解：以O、Ch的中点为原点，OQ2所在的直线为x轴, 建立平而直角坐标系，则01(2.0)、02(2,0).如图： 由 PM= 72 PN 得 PM2=2PN2/. PO2-1 = 2(PO22-1),设 P(x, y)(x+2)2+y2-1 =2(x-2)2+y2-1即(x-6F+y2=33为所求点P的轨迹方程.小结归纳1. 本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确圮一个圆的方 程.2. 求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出 圆的半径，用标准方程求解；若条件涉

35、及过几点，往往可考虑用一般方程；若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程.3. 求圆方程时，若能运用几何性质，如垂径立理等往往能简化计算.4. 运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便.5. 点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比 较来确立.-28-/25第6课时直线与与圆的位置关系基础过关1. 直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为,圆心c到直线1的距离为 d,则直线与圆的位宜关系满足以下关系：相切od=o A=0相交o_o相离Oo2. 圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和rd）,圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下

36、条件:外离odR+r外切O 相交O内切O内含O3. 圆的切线方程 圆x24-y2=r2上一点p（x0, y。）处的切线方程为1:. 圆（Xa）2+（yb）2=r上一点p（x（）, y（）处的切线方程为1:. 圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点p（x（）, y。）处的切线方程为.2)典型例题例1过O： x2+y2=2外一点P（4, 2）向圆引切线. 求过点P的圆的切线方程.若切点为Pl、P2求过切点Pl、P2的直线方程. 解：（1）设过点P（4, 2）的切线方程为y-2=k（x-4） 即 kx-y+2-4k=01+r=V2解得k=l或k=l切线方程为：x y2=0 或 x 7y+10=0(2

37、)设切点Pi(xi, yj、P2(X2, y2),则两切线的方程可写成1】：xix+y】y=2, b： X2x+y?y= 2 因为点(4, 2)在h和12上.则有 4xi+2yi=24xz4-2y2=2这表明两点都在直线4x+2y=2上，由于两点只能确龙一条直线，故直线2x+y-l =0即为 所求变式训练1：(1)已知点P(l, 2)和圆C： X2 +y2 +kx+2y + k2 =0,过P作C的切线有两条.则k的取值范国是()A.kGRB.ko),当 ACB=B 时，r 的取值 范围是()A. (0,返一 1) B. (0, 1 C(0, 2-2 D(0, &(3) 若实数x、y满足等式(x

38、-2)2+y 2=3,那么上的最大值为()xA.丄 B.C. D.Ji2323(4) 过点且被圆，+ y? = 25截得弦长为8的直线的方程为2(5) 圆心在直线x-y-4=0,且经过两圆a2 +y2 -4x-3 = 0和x2 +)2 -4y-3 = 0的交点的圆的方程是解：(1) D.提示：P在圆外.(2) C.提示：两圆内切或内含.(3) D.提示：从纯代数角度看，设上，则y=tx,代入已知的二元二次方程，用AH,可x解得t的范国。从数形结合角度看，丄是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界.X(4) 3x + 4v + 15=0j + 3 = 0提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率*(5) 兀2+),2一6兀+ 2$一3 = 0提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待左系数，可依据圆心在已知直线上求得.例2.求经过点A(4, 一 1),且与圆：x2+y2+2x-6y+5=0相切于点B(l, 2)的圆的方程. 解：圆C的方程可化为(x+lp+(y3尸=5圆心C(-L 3),直线BC的方程为：x+2y-5=0又线段AB的中点D(|, 1), kA