(完整版)1集合的概念及其关系-拔高难度-讲义

1、集合的概念与关系知识讲解一、集合的概念1集合某些指定的对象集在一起成为集合.集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a A;若b不是集合A的元素，记作b A；2集合的性质确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是 A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同- 元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、集合的表示1集合的三种表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：1, 2, 3, 4, 5，1,

2、2, 3, 4, 5, L 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内.例如：大于3的所有整数表示为：x Z|x 3 图示法具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 （或变化）范围，再画一 条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征注意： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法， 要注意，一般集 合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法2. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集） ，记作 N ； 正整数集，记作 N* 或 N ； 整数集，记作 Z ； 有理数集，记作 Q ； 实数集，记作 R 三、集合之间的关系1. 子集关系定

3、义：若集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，则称 A是B的子集（或B包含A），记 作 A B （或 A B）；简单性质：1）A A ； 2）A ； 3 ）若 A B，B C,则 A C;2. 真子集关系对于两个集合A与B，若A B且A B，则集合A是集合B的真子集，记作A u B （或BY A ）相等关系：对于两个集合 A与B，如果A B，且B A ,那么集合A与B相等，记作A B3. 空集定义： 不含任何元素的集合叫做空集性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A,有， ;AI； A UA；A。注意事项： 0与0 是不同的，0只是一个数字，而们的关系是 0 0 与 0 是不

4、同的，中没有任何元素，是两个集合之间的关系（(U 0) 与 是不同的，中没有任何元素，系是 或 或U显然， 0 ， 00 则表示集合，这个集合中含有一个元素 0 ，它0 则表示含有一个元素 0 的集合，它们的关系 则表示含有一个元素 的集合，它们的关4. 子集个数问题设集合A中元素个数为n，则子集的个数为2n，真子集的个数为2n 1，非空真子集 的个数为 2n 2典型例题f Jf Lfk一.选择题（共4小题）1. （2017秋？黄陵县校级期末）下列六个关系式：a, b?b,aa, b=b,a0=?0 0？ 0? 0其中正确的个数为（）A. 6个B. 5个C. 4个D.少于4个【解答】解：根据集

5、合自身是自身的子集，可知 正确；根据集合无序性可知正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知 不正确；根据元素与集合之间可知正确；根据空集是任何集合的子集可知正确.故选：C.3. （2017秋？徐汇区校级期中）若 A? B, A? C, B=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , C=0,2, 4, 6, 8, 10，则这样的A的个数为（）A. 4 B. 15 C. 16 D. 32【解答】解：A B, A? C, A? （Bn C）,- B=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , C=0, 2, 4, 6, 8, 10, Bn C=0, 2, 4, 6, A的个数为16,故选： C

6、.4. （2017秋?秦都区校级月考）已知集合 A=x|a+2x+a=0, a R，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值组成的集合为（）A. - 1, 0B. 0, 1 C. - 1, 1 D. - 1, 0, 1【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集，（1）当a=0时，A=x| 2x=0=0，此时集合A的两个子集是0 , ?,（2） 当 a 0 时 则 4=4 - 4a2=0解得 a= 1 ,当a=1时,集合A的两个子集是1, ?,当a=- 1,此时集合A的两个子集是 - 1, ?.综上所述，a的取值为-1 , 0 , 1.故选： D.二解答题(共 11 小题)5(2015 秋?长安区

7、校级月考)用适当的方法表示下列集合 方程 x(x2+2x+1)=0 的解集； 在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； 不等式X- 26的解的集合； 大于 0.5且不大于 6的自然数的全体构成的集合【解答】解：解方程x (x+2x+1) =0得：X=0 或 X=- 1 ，故方程 x(x2+2x+1) =0的解集为- 1， 0； 在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合可表示为：x|x=2n+1, nW499,且 n N; 解不等式x-26得：x 8故不等式x-26的解集为x|x8; 大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合是：x| 0.5x0，解得av 1且a 0. 综上实数a的取

8、值范围a 1.9. (2016秋？志丹县校级期中)设集合 A=x| - 1 x2 ,B=x|m-Kx2m+1，即mv - 2时，B=?，符合题意；当m- K 2m+1，即m-2时，Bm?.由B? A,借助数轴，如图所示，得?+11；12解得。三m三2，所以0w m 2.1综合可知，实数m的取值范围为?|? - 2或0 ?.-1 w-1 2m+l 610. (2017 秋？沛县校级月考)已知集合 A=x| - 2 x 5 , B=x| m+1x2m -1.(1) 若B? A,求实数m的取值范围；(2) 若x乙求A的非空真子集的个数.【解答】解：(1)若 Bm?, m+1 2, B? a；二?+-

9、11；25，解得-3W m 3, 2 m2m - 1; mv 2；实数m的取值范围为：(-X, 3.(2) x Z, A=x| - 2x0, 即卩 a - 1,解得a=1.0- 4= -2(? + 1)0 X(-4) = ?- 1综上a - 1或a=1.13. (2017秋?黄陵县校级期末)设 S=x|x=m+nv2, m、n Z.(1) 若a乙则a是否是集合S中的元素？(2) 对S中的任意两个X1、x2,则X1+x2、X1?x2是否属于S?【解答】 解：(1) I S=x| x=m+nV2, m、n Z, a Z,-a=a0 X v2 S. a是集合S的元素.(2)不妨设 xi=m+nv2,

10、 X2=p+qv2, m、n、p、q Z.贝U xi+X2= (m+n J2) + (p+q) = (m+n) + (p+q) , m、n、p、q Z.二 p+q Z, m+n Z.二Xi+X2 S,xi?X2= (m+nv2) ? (p+qv2) = (mp+2nq) + (mq+np) v2, m、n、p、q Z.故 mp+2nq Z, mq+np Z.二 X1?X2 S.综上，X1+X2、X1?X2都属于S.14. (2017秋？杨浦区校级期中)已知集合 A=x| (m- 1) +3x-2=0，是否存 在这样的实数m,使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的 m的值 组成的集合M ;若不存在，请说明理由.1【解答】解：存在M=1, ：满足条件；理由如下：8若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程(m- 1) x2+3x- 2=0只有一个根，则m-仁0或?- 1工则 m I u,或= 9+ 8(?-1) = 0，1解得：m=1，或m=8,” 1故 M=1, ?.2.（2017 秋？安康期中）已知集合 A= - 1, 0, 1 , B