(完整版)3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

1、3 . 2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课前自上学习.率膛才能搂咼预习课本P107108,思考并完成下列问题(1) 复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？(2) 复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同?新知初探1. 复数的加、减法法则设 Z1 = a + bi, z2= c+ di(a, b, c, d R),则 Z1 + z2 = (a+ c) + (b+ d)i,Z1 Z2= (a c) + (b d)i.2. 复数加法运算律设 Z1, Z2 , Z3 C，有 Z1+ Z2= Z2+ Z1,(Z1 + Z2)+ Z3= Z+(Zg+ Zg).3. 复数加、减法

2、的几何意义 设复数Z1, Z2对应的向量为 0Z1 , 0Z2，则复数Z1 + Z2是以0Z1 , 0Z2为邻边的平 彳亍四边形的对角线0Z 所对应的复数，Z1 Z2是连接向量 0Z1与0Z2的终点并指向OZ的向量所对应的复数.点睛对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.小试身手1判断（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）复数与向量对应.（）（2）复数与复数相加减后结果只能是实数.（）（3）因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小.（答案：（1

3、）x X X2 .已知复数 zi= 3+ 4i, Z2 = 3-4i，贝U zi + Z2 等于()A . 8iB. 6C. 6+ 8i答案：BD. 6- 8i3.已知复数z满足z+ i - 3= 3- i，则z等于（）A . 0B. 2iC . 6 答案：DD . 6- 2i 4.在复平面内，复数 1 + i与1 + 3i分别对应向量 0A和0B，其中0为坐标原点,则| AB |等于()A. 2C. _10B . 2D . 4课堂讲练设讣举一能通貳世題型一复数代数形式的加、减运算典例(1)计算：(2 3i) + ( 4+ 2i) =.(2)已知 Z1 = (3x 4y)+ (y- 2x)i,

4、 Z2= ( 2x + y) + (x 3y)i, x, y 为实数，若 Z1 Z2= 53i，贝U |Z1 + Z2| =.解析(1)(2 3i) + ( 4+ 2i) = (2 4) + ( 3+ 2)i = 2 i.(2)Z1 Z2 = (3x 4y) + (y 2x)i ( 2x+ y) + (x 3y)i = (3x 4y) ( 2x + y) + (y 2x) (x 3y)i = (5x 5y) + ( 3x+ 4y)i = 5 3i,5x 5y= 5, 所以解得x = 1, y= 0,3x + 4y= 3,所以 Z1= 3 2i, Z2= 2+ i，贝V Z1 + Z2= 1 i

5、,所以 |Z1+ Z2|=2.答案(1) - 2 - i (2).2厂-一-一一复数代数形式的加、减法运算技巧-一”一-一”一- Ii (i)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之!后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.1(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到I右依次进行计算.一活学活用-一-一-一-一-一-i-已知复数zi= a复数z= a + bi(a, b R)是与以原点为起点，Z(a,

6、b)为终点的向量一一对应的. 一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.- 3 i, Z2=- 2a + a2i，若zi + Z2是纯虚数，则实数 a=.a2 2a 3 = 0, 解析：由条件知zi+ Z2= a2 2a 3+ (a2 1)i,又zi + Z2是纯虚数，所以2a2 i 工 0,解得a= 3.答案:题型二复数加减运算的几何意义乂,12 3 4*-1典例如图所示，平行四边形 OABC的顶点0, A , C分别表示 0,3+2i , -2+4i.求：(i) AO表示的复数;(2)对角线CA表示的复数;(3) 对角线OB表示的复数. 一解(i)因为 AO

7、 = OA，所以 A0 表示的复数为一3 2i. 因为 CA = 0A0C，所以对角线 CA表示的复数为(3 + 2i) ( 2+ 4i) = 5 2i.(3)因为对角线 OB = 0A + 0C，所以对角线 0B表示的复数为(3 + 2i) + ( 2 + 4i)=i + 6i.活学活用复平面内三点 A, B , C, A点对应的复数为 2+ i，向量e对应的复数为1+ 2i, 向量BC对应的复数为3- i，求点C对应的复数.解：T BA对应的复数为1 + 2i, BC对应的复数为3 -i. AC = BC- BA 对应的复数为(3 i) (1+ 2i) = 2-3i. 又 OC = OA

8、+ AC , C点对应的复数为(2 + i) + (2 - 3i) = 4 - 2i.FTI云厂复数模的最值问题典例如果复数z满足|z+ i| + |z- i|= 2，那么|z+ i + 1|的最小值是()1A. 1B.-C. 2D. ,5若复数z满足|z+ 3 + i| 1= (- . 3)2+ (- 1尸=2.所以 |z|max = 2+ 1= 3,|z| min = 2 1 = 1.一题多变1. 变条件、变设问若本例题(2)条件改为已知|z|= 1且z C,求|z- 2- 2i|(i为虚数单位)的最小值.解：因为|z|= 1且z C,作图如图：所以|z 2-2i|的几何意义为单位圆上的点

9、M到复平面上的点 P(2,2)的距离，所以|z 22i| 的最小值为 |OP| 1 = 2 2 1.2. 变条件若题(2)中条件不变，求|z ,3|2+ |z 2i|2的最大值和最小值.解：如图所示，在圆面上任取一点P,与复数za= 3, ZB= 2i对应点A, B相连，得向 量PA , PB ,再以 PA , PB为邻边作平行四边形.P为圆面上任一点，zp= z, 则 2| PA |2 + 2| PB |2= | AB |2+ （2|P0，|）2= 7+ 4|P0 |2,（平行四边形四条边的平 方和等于对角线的平方和）,所以 |z .3|2+ |z 2i|2= 1 7+ 4 z23 i 2

10、. 而 z -2 i max =|0 M|+ 1= 1 +亠；3, z23 i min = |0 M| 143 1.所以|z , 3|2+ |z 2i|2的最大值为 27+ 2.43，最小值为 27 2.43.课后层厳训练*步步提升能力层级一学业水平达标1. 已知 z= 11 20i，贝U 1 2i z等于()A . z 1B. z+ 1C. 10+ 18iD. 10 18i解析：选 C 1 2i z= 1 2i （11 20i） = 10 + 18i.2 .若复数z满足z+ （3 4i） = 1,贝U z的虚部是（）A . 2B . 4C . 3D . 4解析：选 B z= 1 （3 4i）

11、 = 2+ 4i，故选 B.3. 已知Z1 = 2 + i, z2= 1 + 2i，则复数z= Z2 Z1对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C 第三象限D 第四象限解析：选B z= Z2 -Z1 = (1 + 2i) - (2 + i) = - 1 + i，实部小于零，虚部大于零，故位于第 二象限.4. 若zi = 2+ i, Z2= 3 + ai(a R)，且zi+ Z2所对应的点在实轴上，贝Ua的值为()A . 3B. 2C . 1D . - 1解析：选 D Z1+ Z2= 2+ i + 3+ ai = (2 + 3) + (1 + a)i = 5 + (1 + a)i. / Z1

12、 + Z2 所对应的点在 实轴上，二 1 + a= 0,二 a= 1. 5设向量 OP , PQ , OQ对应的复数分别为 Z1, Z2, Z3,那么()A . Z1+ Z2+ Z3= 0B .Z1 Z2 Z3= 0C . Z1 Z2+ Z3= 0D .Z1 + Z2 Z3= 0 解析：选 D T OP+PQ=OQ,Z1 + Z2= Z3,即Z1+ Z2 Z3= 0.6 .已知 x R , y R ,(xi +x)+(yi + 4) = (y i) (1 3xi),贝Ux =,y=解析：x + 4+ (x+ y)i = (y 1) + (3x 1)ix + 4= y1,x + y= 3x 1,

13、x = 6, 解得y = 11.答案：6117.计算 |(3 i) + ( 1 + 2i) ( 1 3i)| =.解析：|(3 i) + ( 1 + 2i) ( 1 3i)| = |(2 + i) ( 1 3i)| = |3+ 4i| =32 + 42 = 5.答案：5&已知 Z1 = 2 a + (a+ 1)i, Z2 = 3；3b+ (b+ 2)i(a, b R)，若 Z1 Z2 = 4 3，贝V a + b解析：t Z1 Z2= 2 a+ (a+ 1)i 33b + (b + 2)i =? a+ 3：. 3b + (a b 1)i = 4J 3,由复数相等的条件知_23a+ 3 . 3b

14、= 4 .3,a b 1 = 0,a= 2,解得二 a+ b= 3.b= 1.答案：39.计算下列各式.(1)(3 2i) (10 5i) + (2 + 17i);(2)(1 - 2i) - (2 - 3i) + (3 - 4i) - (4 5i) + (2 015 - 2 016i).解：(1)原式=(3 - 10+ 2) + (- 2+ 5 + 17)i = - 5+ 20i.(2)原式=(1 - 2+ 3-4 + + 2 013-2 014+ 2 015)+ (-2 + 3-4+ 5-2 014+ 2 015 -2 016)i = 1 008 - 1 009i.10 .设 Z1 = x

15、+ 2i, Z2= 3 yi(x, y R)，且 Z1 + Z2= 5 6i，求 Z1- Z2.解：/ Z1 = x + 2i, Z2= 3 yi,Z1 + Z2= x+ 3 + (2 y)i = 5 6i,x + 3 = 5,x = 2,.解得2-y=- 6,y= 8,.Z1 = 2+ 2i, Z2= 3 8i, Z1- Z2= (2 + 2i) - (3 - 8i) = - 1 + 10i.层级二应试能力达标1.设 z C,且 |z+ 1|-|z- i| = 0,则 |z+ i|的最小值为()A . 0B. 12 1egd 解析：选D Z1Z2 = OZ2 - OZ1，即终点的复数减去起点

16、的复数， (5 - 2i) - (3 +4i) = 2-6i.3. A ABC的三个顶点所对应的复数分别为Z1, Z2, Z3,复数z满足|z-Z1|= |z-Z2|= |z-Z3|,贝U z对应的点是 ABC的()A .外心B .内心C .重心D .垂心解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到厶ABC的顶点A , B , C距离相等， P ABC的外心. 4. 在平行四边形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,若向量 OA , OB对应的复数分别是3+ i, - 1+ 3i,则C对应的复数是()A . 2+ 4iB2 + 4iC. 4+ 2iD. 4

17、2i 解析：选 D 依题意有 CD = BA = OA OB 而(3 + i) ( 1 + 3i) = 4 2i，故CD对应的复数为4 2i，故选D.5. 设复数z满足z+ |z|= 2 + i,贝U z=.解析：设 z= x + yi(x, y R)，则 |z|=x2+ y2. x+ yi + x2+ y2= 2+ i.x + x2+ y2= 2,/ 曰解得y= 1.y= 1,3答案：-+ iOA ,OCT, AB 对应的复数分别为- 2+ i,3 + 2i,1 +46. 在复平面内，O是原点，5i，那么 BC 对应的复数为 . 解析： BC = OC OB = OC ( OA + AB )

18、 = 3+ 2i ( 2+ i + 1 + 5i) = (3 + 2 1) + (2 1 5)i = 4 4i.答案：4 4i7. 在复平面内， A, B , C三点对应的复数分别为1,2+ i, 1 + 2i. (1) 求向量AB , AC , BC对应的复数；(2) 判断 ABC的形状.(3) 求厶ABC的面积.解：(1) AB 对应的复数为 2+ i 1= 1 + i,BC 对应的复数为一1 + 2i (2 + i) = 3 + i, AC对应的复数为一1 + 2i 1 = 2 + 2i./ | AB |= 2, | BC| = . 10, | AC|= , 8 = 2,2, | AB |2 + | AC |2= | BC |2, ABC 为直角三角形.(3)abc = |x ,2X 2 . 2= 2.8. 设 z= a + bi(