(完整版)专题训练蚂蚁爬行的最短路径(附含答案解析)

1、范文范例参考蚂蚁爬行的最短路径1一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5 , -3 , +10 , -8 , -9 , +12 ,-10 I I II I T鼻-109-7-6-5-4-3-2-1 0 I 2 3 4 5 7 T 9W回答下列问题：(1) 蚂蚁最后是否回到出发点0 ；(2) 在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0;(2) (|+5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜9|+|+12|+卜10|)X 2=114粒2.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出

2、发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线.AB= . 22 125 3 ( 2006?茂名)如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B的最短路程是cm解：由题意得，从点2+2=4 .4 .如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A. A? P? BD. A? S? B解：根据两点之间线段最短可知选A .故选A.5.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2,蚂蚁从点A沿其表面爬到点WORD格式整理解：

3、如图，AB= , 1 2 2 12,10 .故选 C.6.正方体盒子的棱长为2 , BC的中点为M，一只蚂蚁从 A点爬行到 M点的最短距离为解：展开正方体的点 M所在的面，/ BC的中点为M ,1所以 MC= BC=1 ,2在直角三角形中 AM=_： -=.7如图，点 A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cm。解:111 1AB=CD = DF+FC=EF+GF= x 20+ x 20=20cm .2 2 2 2故选C .8.正方体盒子的棱长为EFA8D2, BC的中点为 M，只蚂蚁从 A点爬行到 M点的最短距离第7题

4、解：将正方体展开，连接 M、D1，根据两点之间线段最短，MD=MC +CD=1+2=3，MDi= MD2 DD； ：32 2 21 39.如图所示一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成3 X3个小正方形.其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的 B点，最少要用2.5秒钟.解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.(1)展开前面右面由勾股定理得AB =cm(2)展开底面右面由勾股定理得AB= 0L=5 cm ；所以最短路径长为 5cm，用时最少： 5十2=秒510 . （ 2009?恩施州）如图，长方体

5、的长为15，宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 。/1 * 1 1i .1|11C/15 解：将长方体展开，连接 A、B，根据两点之间线段最短，AB= :=25 .11.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点Ci处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 解：正面和上面沿 A1B1展开如图，连接 AC1, ABC1是直角三角形, AC1= . AB2 BC1242 1 2 2 . 42 32 5/ / /rFB-Z*ZJ*P12 .如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸

6、盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点,解：由题意得，路径一：AB=厂? ! !=:託；路径二：AB= 二 ：=5;路径三：AB= 5,5米为最短路径.13 .如图，直四棱柱侧棱长为 4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶 点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：(1 )蚂蚁经过的最短路程;(2 )蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程./I71b1h h广解：(1) AB的长就为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为 -*斗(cm );若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为，- (cm ),或： (cm )所以蚂蚁经过的最短路程是 cm .(2)5cm +4 cm

7、 +5cm +4cm +3 cm +4 cm +5cm =30 cm , 最长路程是30 cm .14 .如图，在一个长为 50cm，宽为40cm，高为30cm的长方体盒子的顶点 A处有一只蚂蚁，它要爬到顶点 B处去觅食，最短的路程是多少？團1團2圉工解：图 1 中,必E 二应= 4078prf89.4 cm .图 2 中，：一 一一； j! -： 12，故最短路径的长是:-：.（5分）（3）作 BiE丄ACi 于 E,则、 ?二戸?艺二为所求.（8 分）21 有一圆柱体如图，高 4cm，底面半径5cm , A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距

8、离.C , D分别是BE, AF的中点.AF=2 n?5=10 n AD=5 nAC =、AD2 CD2 16cm .故答案为：16 cm .3CEr* j* I*-事D22 .有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 .解: AB=、52 122 13m23 .如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1,若圆柱底面半径为 ,高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 解：因为圆柱底面圆的周长为62 nX -=12，高为 5 ,所以将侧面展开为一长为 12，宽为5的矩形, 根据勾股定理，对角线长为 =13 .故蚂蚁爬行

9、的最短距离为13 .24 .如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm , BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是 解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为 24 cm ,1则 AD =24 X =12 cm .2又因为 CD=AB=9cm ,所以 AC= 一 - ! - =15 cm .丿.*AD故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm .故答案为：15 .25 . （ 2006?荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为 4cm , AA1, BB为相对的两 条母线.在 AA1上有一个蜘蛛 Q , QA =3cm

10、 ；在BB1上有一只苍蝇 P, PB1=2cm，蜘蛛沿 圆柱体侧面爬到 P点吃苍蝇，最短的路径是cm （结果用带 n和根号的式子表示）解：QA=3 , PB=2 ,即可把PQ放到一个直角边是 4 n和5的直角三角形中,根据勾股定理得：QP=+厂26 .同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.A处爬行到对问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从 A处爬行到侧棱 GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.AII l n*J#*/解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别

11、位于如图所示的位置,连接AB，即是这条最短路线图.B/BA如图，将正方体中面 ABCD和面CBFG展开成一个长方形，如图示，则 A、M分别位于如 图所示的位置，连接 AM，即是这条最短路线图.27 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点 P处的食物，那么它爬行的最短路程解：圆锥的底面周长是第5题n 4180n =180。即圆锥侧面展开图的圆心角是180在圆锥侧面展开图中AP=2 , AB=4，/ BAP=90在圆锥侧面展开图中 BP= 20 2. 5 , 这只蚂蚁爬行的最短距离是 25 cm 故答案是：2、5 cm

12、 28 如图，圆锥的底面半径 R=3dm ,母线l=5dm , AB为底面直径，C为底面圆周上一点,/ COB =150 , D为VB上一点，VD= , ；现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到)D.则蚂蚁爬行的最短路程是设弧BC所对的圆心角的度数为n,解得n =90 ,CVD =90 CD=宀=4：_ ,29 .已知圆锥的母线长为 5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且/ AOA 1=120 ，只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A则蚂蚁爬行的最短路程长为。圆锥的母线长为 5cm，/ AOA 1 = 120 AA =2AC=53 .30 .如图，底面半径为1,母线长为4的圆

13、锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是第4题解：由题意知，底面圆的直径为2,故底面周长等设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得,180解得n=90 ，所以展开图中圆心角为 90 ，根据勾股定理求得到点 A的最短的路线长是：16 1632 4.2 .31 . （ 2006?南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发,绕侧面一周又回到 A点，它爬行的最短路线长是 。解：由题意知底面圆的直径 =2 ,故底面周长等于2 n设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n,4n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2 n= ,180解得

14、n=90 ,所以展开图中的圆心角为 90 ,根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为4 2 .32 . （ 2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为 2，母线PB的长为6, D为PB的中点. 只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点 D，则蚂蚁爬行的最短路程为 故底面周长等于4 n解：由题意知，底面圆的直径设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2n 64 n=-360解得 n =120 ,所以展开图中/ APD=120 - 2=60根据勾股定理求得 AD= 3、3 ,所以蚂蚁爬行的最短距离为3333 如图，圆锥底面半径为r,母线长为3r,底面圆周上有一蚂蚁位于A点，

15、它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.解：把圆锥沿过点 A的母线展成如图所示扇形,则蚂蚁运动的最短路程为 AA （线段）.由此知:的长为2 n IOA=OA =3r,ADA1n 3ro-2 n = , n=120,180即/ AOA =120 ,/OAC =301 3OC = OA = r2 2 AC = . OA2 OC23 k3r2 AA =2AC=3.3r,即蚂蚁运动的最短路程是3. 3 r.34 如图，一只蚂蚁从圆锥底面的 A点出发，沿侧面绕行一周后到达母线 SA的中点M 蚂 蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究.(1) 善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r=10cm，母线SA长为40cm , 就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；(2) 一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60 (如图)，请问：蚂蚁如何 行走最合算？(3) 通过(1)、( 2)的计算与归纳，