(完整版)相似三角形培优训练(含答案),推荐文档0001

1、个性化辅导精品一对一讲义学生 2 相似三角形分类提高训练 一、相似三角形中的动点问题 1如图，在 RtAABC中，/ ACB=90, AC=3, BC=4,过点 B作射线 BB1/ AC.动 点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动过点 D作DH丄AB于H,过点E作 EF丄AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接 DG.设点D运动的时间为t秒. (1) 当t为何值时，AD=AB,并求出此时 DE的长度； (2) 当 DEG与厶ACB相似时，求t的值. 2如图，在 ABC中，/ ABC= 90 AB=6m, BC=8m,动点

2、P以2m/s的速度从 A点出发，沿 AC向点C 移动.同时，动点 Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们 都停止移动设移动的时间为t秒. (1) 当t=2.5s时，求 CPQ的面积； 求厶CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式； (2) 在P, Q移动的过程中，当 CPQ为等腰三角形时，求出t的值. 3如图1,在 RtA ABC中，三ACB= 90 AC= 6, BC= 8，点D在边 AB上运动，DE平分三CDB交边BC 于点E, EM丄BD,垂足为 M , EN丄CD,垂足为 N. (1) 当 AD= CD时，求证：DE / AC; (

3、2) 探究：AD为何值时， BME与厶CNE相似？ 4如图所示，在 ABC中，BA= BC= 20cm , AC= 30cm，点P从A点出发，沿着 AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点 Q从C点出发，沿 CA以每秒3cm的 速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时间为x. (1)当x为何值时，PQ/ BC? (2) APQ与厶CQB能否相似？若能，求出 AP的长；若不能说明理由. 三msg才 5如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm, BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点 Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果 P、Q同

4、时出发，用t (s)表示移动的时间(0 v t v 6) o (1) 当t为何值时， QAP为等腰直角三角形？ (2) 当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似？ 二、构造相似辅助线一一双垂直模型 6. 在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(2, 1),正比例函数y=kx的图象与线 段OA的夹角是45求这个正比例函数的表达式. 7. 在厶ABC中，AB=，AC=4, BC=2,以AB为边在C点的异侧作 ABD,使厶ABD为等腰直角三角形, 求线段CD的长. 8. 在 ABC中，AC=BC / ACB=90,点 M是AC上的一点，点 N是BC上的一点，沿 着直线MN折叠，使

5、得点 C恰好落在边 AB上的P点.求证：MC: NC=AP: PB. J/Jf 个性化辅导精品一对一讲义学生 9. 如图，在直角坐标系中，矩形 ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点 B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线 AC翻折B点落在D点的位置，且 AD交 y轴于点E.那么D点的坐标为（） 3 A. 10. 已知，如图，直线 y=-2x+ 2与坐标轴交于 A、B两点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD, 使得矩形的两边之比为 1 : 2。求C、D两点的坐标。 三、构造相似辅助线一一A、X字型 AD=AC, BC边上的中线 AE交CD于F。 11. 如图： ABC中，D是AB上一

6、点, 求证: AC为AB、AD的比例中项，且 AC 平分 / DAB。 12.四边形ABCD中, DS CD2 EF交BC于点F, DE 1 （1）当-时， DE = 当丘一 一时, 13. 在梯形ABCD中，AB/ CD, AB= b, CD= a, E为AD边上的任意一点, 某同学在研究这一问题时，发现如下事实： a-hDEa + 2b EF=;当时，EF= _.； a + 3b DE EF=.当时，参照上述研究结论，请你猜想用 表示EF的一般结论，并给出证明. 个性化辅导精品一对一讲义学生 14. 已知：如图，在 ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且 BE= EF= FG

7、求 BN： NQ: QM. 15. 证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的.（注：重心是三角形 三条中线的交点）（2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边 对应成比例. 7 四、相似类定值问题 16.如图，在等边 ABC中，M、N分别是边 AB, AC的中点, D为MN上任意一点, BD、CD的延长线分 别交AC AB于点E、F. 3 AB 17已知：如图，梯形 分别交AD BC于E、 ABCD 中，AB/DC，对角线 AC、BD 交于 0,过 O 作 EF/AB L 1. I : F。求证：. 7 L B A5 CD E0 =0

8、156 http- /wvvwxqfiiifC Eorri ABC 18.如图，在厶ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在 上。 求证： 1 1 _ 1 肋+ CD 盼 19已知，在 ABC中作内接菱形 CDEF设菱形的边长为 a.求证: 五、相似之共线线段的比例问题 20. (1)如图1,点产在平行四边形 ABCD的对角线BD上，一直线过点 P分别交BA, BC的延长线于点 Q, S,交于点.求证： (2)如图2，图3,当点F在平行四边形 ABCD的对角线汀或二三的延长线上时，丁蓄 r- _ 一是否 成立？若成立，试给出证明；若不成 圈1 屋2 试说明 (要求 图2

9、为 行证明 明)； 立， 理由 仅以 例进 或说 =ni56t htt /wuvwxqf jyc.coirt C作CF/ AB,延长 21.已知：如图， ABC中，AB = AC, AD是中线，P是AD上一点，过 2 BP 交 AC于 E,交 CF于 F.求证：BP = PE- PF . .如图，已知 ABC中，AD，BF分别为BC, AC边上的高，过 D作AB的垂线交 AB于E，交BF于G， 交AC延长线于H。求证：DE=EG?EH 23. 已知如图，P为平行四边形 ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC CD的延长线、AB的 延长线分别相交于点 E、F、G、H. 求证： PE

10、_ PH PF PG 24. 已知，如图，锐角 ABC中，AD丄BC于D, H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P， 且/ BPC为直角. 求证：PD= AD- DH。 f40J 1A3S 个性化辅导精品一对一讲义学生 ED的延长线与 CB的延长 三m英才 http /wwwxqflycxoni 六、相似之等积式类型综合 25. 已知如图，CD是RtA ABC斜边AB上的高，E为BC的中点, 于F。 求证：匸匸匸 26如图，在 RtA ABC中，CD是斜边 AB上的高，点 M在CD上， 与AC的延长线交于点 E.求证：(AEA CBM； 2)上三 27. 如图， ABC是直角三角形

11、， / ACB=90, CD丄AB于D, E是AC的中点, 线交于点F. (1) 求证： (2) 若G是BC的中点，连接 GD, GD与EF垂直吗？并说明理由 28. 如图，四边形ABCD DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M , CG与AD相交于点N 求 证： 29. 如图，BD CE分别是 ABC的两边上的高，过 D作 DG丄BC于G,分别交CE及BA的延长线于 2 F、H。求证：(1) DG= BG- CG (2) BG- CG= GF- GH 七、相似基本模型应用 30. ABC和厶DEF是两个等腰直角三角形，/ A=Z D=90 DEF的顶点E位于 边BC的中点上

12、. (1) 如图1 ,设DE与AB交于点 M , EF与AC交于点N,求证： BEMsCNE; (2) 如图2，将 DEF绕点E旋转，使得 DE与BA的延长线交于点 M , EF与AC 交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形 并证明你的结论. 31. 如图，四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点 R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、 Q. (1) 请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)； (2) 求 BP: PQ: QR. 9 40t）1135 个性化辅导精品一对一讲义学生 三 AE _ AC AFAB /wrtwxqvinc EDfTi

13、 32. 如图，在 ABC中，AD丄BC于D, DE丄AB于E, DF丄AC于F。求证: 答案：1答案：解：（1）/ ACB=90 , AC=3, BC=4 / AB=5 又/ AD=AB, AD=5t 二 t=1，此时 CE=3 DE=3+3-5=1 11 如图当点D在点E左侧，即：0 W t W 时，DE=3t+3-5t=3-2t . 若厶DEG与厶ACB相似，有两种情况: DE3A ACB,此时 DE _ EG 3-2i 23 即： _ 一 ，求得：t=； 344 DE EG DE3A BCA,此时. 占U CA 3-2i21 即：4，求得：t=； BD C 3 如图，当点 D在点E右侧

14、，即：t 时，DE=5t-(3t+3)=2t-3 . 2 若厶DEG与厶ACB相似，有两种情况： DE EG DE3AACB,此时丁., too on ms 12 个性化辅导精品一对一讲义 学生 即：二-I,求得：h; DE _ EG 1CCA 1? t=. 344 DE3A BCA,此时 2-32 即：，求得： 43 3 1 9 17 综上，t的值为或或或. 4 6 46 3答案：解：(1)证明：/ AD=CD / A=Z ACD DE平分亠CDB交边BC于点E / CDE=Z BDE / / CDBCDB的一个外角 / CDB=Z A+Z ACD=2/ ACD / Z CDB=Z CDE+

15、Z BDE=2Z CDE Z ACD=Z CDE DE/ AC (2) Z NCE=Z MBE / EM 丄 BD, EN丄 CD, BMEscne,如图 / Z NCE=Z MBE BD=CD 又/ Z NCE+Z ACD=Z MBE+Z A=90 Z ACD=Z A AD=CD 1 AD=BD= AB 2 在 RtAABC中，X ACB= 90 AC= 6, BC= 8 AB=10 AD=5 Z NCE=/ MEB / EM 丄 BD, EN丄 CD, BMEs enc,如图 / Z NCE=Z MEB EM / CD CD 丄 AB 在 RtAABC中，X ACB= 90 AC= 6,

16、BC= 8 J/Jf 三msg才 htt /vwww.cqfIUC 0in 个性化辅导精品一对一讲义 学生 AB=10 / Z A=Z A, / ADC=Z ACB ACM ABC AD _ AC 仆 AC2*18 、-； AB W 5 i g 综上：AD=5或一时， BME与厶CNE相似. 5 4答案：解（1）由题意：AP=4x, AP _ AQ 当 PQ/ BC时，即： 10 兀 解得：- 40 CQ=3x AQ=30-3x, ：- 纸 30-3x 2030 （2）能，AP= cm 或 AP=20cm AP AQ = APQsA CBQ 贝U - - 解得：或（舍） 此时：AP=- cm

17、4_30-3x ，即一、 二 AP AQ APQsACQB,贝U - - 一 10 解得：（符合题意） 40 此时：AP= ： cm 40 4z_30-3x ，即- 故AP=cm或20cm时， APQ与厶CQB能相似. 5答案：解：设运动时间为 t，贝U DQ=t, AQ=6-t, AP=2t, BP=12-2t. （1）若厶QAP为等腰直角三角形，则 AQ=AP,即：6-t=2t , t=2 （符合题意） t=2时， QAP为等腰直角三角形. （2） Z B=Z QAP=90 AQ AP 当厶QAQA ABC时， 亠二-，即： 12 -6 6 t 解得：（符合题意） ; AP AQ 21 _

18、 6-1 当厶PAQ ABC时， 営二，即： 12 6 解得：（符合题意） 6 = 当 1或P时以点Q、A、P为顶点的三角形与 ABC相似. 6答案：解：分两种情况 第一种情况，图象经过第一、三象限 14 400 OJi-USf 三ID英才 http 个性化辅导精品一对一讲义 学生 15 B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD丄AC 则由上可知：= 90 由双垂直模型知： OCZ ADB 0C _ AC _ 0A .亠丄二 / A （2, 1）,曲。月=45 OC= 2, AC= 1, A0= AB AD= 0C= 2, BD= AC= 1 D点坐标为（2, 3） B点坐标为（

19、1, 3） 此时正比例函数表达式为：y = 3x 第二种情况，图象经过第二、四象限 过点A作AB丄0A,交待求直线于点 B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD丄AC 则由上可知：=90 由双垂直模型知： OCW ADB 0C _ AC _ 0A .亠丄二 / A （2, 1） , = 45 0C= 1, AC= 2, A0= AB AD= 0C= 1 , BD= AC= 2 D点坐标为（3, 1） B点坐标为（3,- 1） 此时正比例函数表达式为：y = ： x 7答案：解：情形一: 个性化辅导精品一对一讲义学生 tf -too U3S 三m英才 htt /wwwxqt过点Q柞

20、AC边上的高线DEt交CA的逛長 线于点E- /购=亦，乂4占02 XV DEICE，二MBD为等喪育佬三角形* ADAB， ACB=ilEr= 90 EDAEL4D= 90s . .且uc1-丄丘彳口= 90 - R i= FJy - /.二 EHD 湼丄 CR* .-aE=BC=1 D=AC=4 二 在 Rt _Z?FC 中CD= 4LD - CE- =2 Jl 3 卫圏亠ADn剜时：. 17 Q D 讦渎g 乜厅D隼BC L的简W DF2 CB府去垛号卢F ：M沁灵、.W BC-2 :* JC -5C:- - 一垃沪艸 丈;DF亠CFMED为薛誓方無三甬形. SD=AS.，J磁-_Fm

21、_mc-5C9Qi : XCF3D ADR2 一 CEA a PF-flr-2. rf-ac-a. :、itRlAPFC 中* CZ= Jn:-CF: =2Jl5 情形三: 抑0 OJi liii = U57f hit护 个性化辅导精品一对一讲义 学生 18 工蔭* x_W=50 B.t + 连接CD,过点。作AC边上罚高线DP-交匚苗妁 延长壤于点，卩 过占卫年直爰PD边上的罢寒菽0 交PQ于申Q T 丽=饭 * AC=4 杼02” /* .4CBC AST f . ACB QO = * X. DE亠CE*厶討HD沖寿霍亘毛三.隹干. /- ADBD 一 Z*-s 旷 90- 1 90=-加

22、7购戸=90 a /. 一少亠亠BDP :、Q兰厶P阳 代 AQ=DP. DQ=PP 8答案：证明：方法 连接PC,过点P作PD丄AC于D,贝U PD/BC 根据折叠可知MN丄CP / 2+ / PCN=90 , / PCN+Z CNM=90 / 2= / CNM / CDP=Z NCM=90 PD3 MCN MC: CN=PD DC PD=DA MC: CN=DA DC PD/BC DA： DC=PA PB MC: CN=PA PB 方法二：如图, 过M作MD丄AB于D,过N作NE丄AB于E 由双垂直模型，可以推知 PMDs NPE,贝U MD _PD PM 耳_旋_而 MC： CN=PA

23、PB MDrPD PM 根据等比性质可知一 二-；Z77,而 MD=DA, NE=EB PM=CM, PN=CN, PR+UR PN 9答案：A 个性化辅导精品一对一讲义学生 y if c B 7 解题思路：如图 1 !| ( 1 S 0 三血範才 http /WrtWjCi(l,IIUC3iliri 过点D作AB的平行线交BC的延长线于点 M，交x轴于点N, 由于折叠，可以得到 ABGA ADC, 又由B (1 , 3) 贝U Z M= Z DNA=90 , 22 BC=DC=1, AB=AD=MN=3, / CDA=Z B=90 / 1+Z 2=90 / / DNA=90 / 3+Z 2=

24、90 / 仁/ 3 DMCs AND, .CM _DM _CD I?.：-丄厂二 _ : 1你 设 CM=x,贝U DN=3x, AN=1 + x, DM =_ -3x+ 1-h- 过点C作x轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴的平行线交 x轴于F,交GC的延长线于E。 直线y=- 2x+ 2与坐标轴交于 A、B两点 A (1,0), B (0,2) OA=1, 0B=2, AB=./r / AB： BC=1:2 BC=AD= L / / ABO+Z CBG=90 , / ABO+Z BAO=90 Z CBG=Z BAO 又/ Z CGB=/ BOA=90 OABs GBC OA GB 1 .

25、二二 1 GB=2, GC=4 GO=4 二 C (4,4) 同理可得 ADFs BAO,得 QA DB 1 - DF=2, AF=4. OF=5. D (5,2) 。占肿 2 11.答案：证明：（方法一）如图 1 延长AE到M使得EM=AE，连接CM / BE=CE / AEB=Z MEC BEA CEM CM=AB, / 仁/ B AB / CM / M= / MAD, / MCF=Z ADF MCFs ADF CF CM / CM=AB, AD=AC GF CM AB .aBJc (方法二)月E 过D作DG/ BC交AE于G 则厶 ABEA ADG, CEFS DGF AB _ BE C

26、F _ CE 葢施丽茴 , / AD=AC, BE=CE CF _BH _ AB EGAC JR 12答案：证明：门U 过点D作DF/ AB交AC的延长线于点 F,则/ 2=Z 3 / AC 平分 / DAB / 1 = / 2 / 1 = / 3 AD=DF / DEF=Z BEA / 2=Z 3 BEA DEF BE DE AB / AD=DF BE _ AB 二-一 / AC为AB、AD的比例中项 AD _ AC 即J-厶 又/ /仁/2 ACM ABC AD _ AC _ CD AC ABC BC1 _A5-AC_ AB CLP AC- AD1W BC2 _ BE cr? _鉅 解：-

27、 上十1 过点E作PQ/ BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q / AB / CD, PQ/ BC 四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 PB= EF= CQ, 又 T AB= b, CD= a AP= PB-A吐 EF-b, DQ= DC-QC= a-EF a EF 口 i. TZF .tf40i） llJi 个性化辅导精品一对一讲义学生 24 个性化辅导精品一对一讲义 学生 14.答案：解: 连接MF / M是AC的中点，EF= FC MF / AE 且 MF = AE.A BEINA BFM. BN: BM = BE: BF= NE: MFv BE= EF. BN: BM= NE

28、: MF 2 =1:2 BN: NM = 1:1 设 NE= x,贝U MF = 2x, AE= 4x. AN= 3x： MF / AEa NAQs MFQ NQ: QM =AN : MF= 3:2 / BN: NM = 1:1 , NQ: QM = 3:2. BN: NQ: QM = 5:3:2 B 15答案：证明：（1） 如图1, AD、BEABC的中线，且 AD BE交于点 过点C作CF/ BE,交AD的延长线于点 F CF/ BE且E为AC中点 Z AEO= Z ACF, Z OBD= Z FCD, AC= 2AE / Z EAO= Z CAF AEOs ACF EQ CF AE AC

29、2 BC的中点，/ ODB= Z FDC / D为 BODA CFD BO= CF 丄 2 3 EQ .匚 BQ .匸匸 同理，可证另外两条中线 三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 如图2, AD为厶ABC的角平分线 过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E 则 / BAD=Z E AD ABC的角平分线 / BAD=Z CAD / E=Z CAD AC= CE / CE/ AB BA CED AB _ BD .二 二 AB _ BD 匚二二 16答案：证明: 如图，作 DP/ AB, DQ/ AC 则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且 DPQ是等边三角形 BP+CQ

30、= MN , DP= DQ= PQ / M、N分别是边AB, AC的中点 MN = - BC= PQ / DP/ AB, DQ / AC CDP CFB BDQ BEC DP _ CP DQ_ BQ .口 A ,匸 二 DP DQ CP BQ BC + PQ .27 i i DP= DQ= PQ=BC=二 AB 1113 V AB（ -一 一 - ）= 400 021 USS 三m楚才 hMp /WkVw.cqflUC CoiTi 17. 答案：证明：/ EF/AB, AB/DC EF/DC AOE ACD, DOEA DBA EQ _AE EO _ DE .五_T5, abad EQ EQ

31、AE DE、 J. JL 1 .二丄一匸二 丄+丄二丄 匚匚二二匸二 18. 答案：证明：/ EF/ CD, EH/ AB 恥丄血U,丄CE4ZA “二厶 SCHiCA ? AFEA ADC, CEHA CAB AE _ EF CE _ EH 二 ? / EF= EH EH EF EF EF CE AE , 十 + 二 1 1 1 += .AB CD EF 19. 答案：证明：/ EF/ AC, DE/ BC . ? BFEA BCA, AEDA ABC BE _ EF DE _AE .j二丄二，二 上二 EF DEBE AE _ 4E+ SS _ / EF= DE= a 20. 答案：（1）

32、证明：在平行四边形 ABCD中，AD/ BC, / DRP=Z S, / RDB=/ DBS DRP BSP PR _ DP 同理由AB/ CD可证 PTAPQB FT DP PR _ PT PQPK = PS-PT (2)证明：成立，理由如下: 三 学生 http个性化辅导精品一对一讲义 在平行四边形 ABCD中，AD/ BC, / PRD=Z S, / RDP=/ DBS DRP BSP PR _ DP .二；匸 同理由AB/ CD可证 PTAPQB FT DP PQ BP FR PT PS PQ PQPR = PS-PT B D C 21. 答案：证明： / AB= AC, AD 是中线

33、， AD丄 BC,BP=CP / 1 = / 2 又/ / ABC=/ ACB / 3= / 4 / CF/ AB / 3= / F/ 4=/ F 又/ / EPC玄 CPF EP3A CPF - BP= PE PF 即证所求 22. 答案：证明：/ DE丄AB =90 _三汇+匚二上=90 二三 .二V三二=匚二三 ADEs DBE AE _ DE 匸匸二匸 DE2=- / BF丄 AC N用GF+NH = 90 . AOH+/E阳=90 且ZSGEZHGF 二 m .二V三二=匚二三 BE3A HEA 26 个性化辅导精品一对一讲义学生 个性化辅导精品一对一讲义 学生 BE _ EG 3

34、匸三=H 三弓 DE2=EGEH c 28 23. 答案：证明： 四边形ABCD为平行四边形 AB/ CD, AD/ BC / 1 = / 2, / G=Z H, / 5=Z 6 PAIHA PCG PR PA 又 / 3=Z 4 APEA CPF FE FA .TF - rc PE PH . ；? = 2 24. 答案：证明：如图，连接 BH交AC于点E, T H为垂心 BEX AC / EBC+Z BCA=90 / AD丄 BC于 D / DAC+Z BCA=90 Z EBC=Z DAC 又 Z BDH=Z ADC=90 BDHs ADC BD _ AD 丄丄丄 丄-，即丄一 一i- 一

35、丄亠丄/ Z BPC 为直角，ADX BC. PD2= BDDC PD2= ADDH 25. 答案：证明：/ CD是RtA ABC斜边AB上的高，E为BC的中点 CE=EB=DE 三msg：才 http* /wwwjcqvxyc.coiri / B=Z BDE=/ FDA / / B+Z CAB=90 , / ACD+Z CAB=90 Z B=Z ACD Z FDA=Z ACD / Z F=Z F FDAs FCD FD _ AD 二 二 / Z ADC=Z CDB=90 ； Z B=Z ACD ACM CBD AD _ AC 二-二 FD _ AC 工-A 即丄m -汇上 26. 答案：证明

36、：（1） / Z ACB= Z ADC= 90 Z A+ Z ACD= 90 Z BCM+ Z ACD= 90 Z A= Z BCM 同理可得： Z MDH = Z MBD / Z CMB= Z CDB+ Z MBD = 90 Z MBD Z ADE= Z ADC+ Z MDH = 90 + Z MDH Z ADE= Z CMB AEA CBM AS AD （2）由上问可知：亡必，即-OM=AD- CB 故只需证明 二丁 工即可 / Z A= Z A, Z ACD= Z ABC ACM ABC 卫C BD,即 ACCDADBC 一工 FD _ FB 27. 答案：（1 ）将结论写成比例的形式，厂 丁匚，可以考虑证明