2018线性代数考前冲刺(学生用)

1、进行计算一般地，f（A）f（B），其中f（A）为矩阵A的多项式。2018线性代数考前冲刺复习要点:、行列式的计算1、数字型行列式（根据性质）2、抽象型行列式 爪型行列式（例1、例2）对于低阶（4阶（含）以下）行列式，标准爪形利用对角线元素把第一行（列）化为只有 一个非零元素，非标准的爪形按照非零行（列）展开；高阶的利用递推法或数学归纳法。 三条对角线型（例 3）对于三对角线行列式，通过行列式性质可以利用对角线元素把对角线下方的元素划为0,把行列式化成上三角行列式；或者利用递推和数学归纳法来证明。 每行（列）元素和相等的行列式对于行（列）和相等的行列式，把所有行（列）加到第 1行（列），提取公因

2、子，然后 通过第1列（行）把行列式变成下（上）三角行列式进行计算。 范德蒙型行列式通过行列式性质进行变形，把行列式变成范德蒙行列式进行计算。 拉普拉斯型行列式（例 4）此行列式适合比较多的类型，通过行列互换，把原行列式化成拉普拉斯型行列式。3、矩阵行列式（例 7）结合矩阵的运算，以及初等变换，来求行列式4、已知特征值的矩阵行列式（例 6）nAi，相似矩阵行列式相等i 1若A与B相似，则AB，故可将A的行列式的计算转化为与其相似矩阵的行列式75、拉普拉斯矩阵的行列式AB其中A,B分别是两个方阵.OAm mBn nOOAm mBn n(1)mn Ab、矩阵1、矩阵的加法、数乘、乘法运算法则，方阵行

3、列式的计算注：对于n阶矩阵 A, kA knA乘法不满足交换律abia2b22、特殊向量的乘法，MManbnaaba1b2LaibnTa2bi b2,-92a2b2La2bnTLbnLLR( ) 1MLLananbanb2LanbnTTa?b2 L anbntr(T)若T，T的一个非零特征值为；個(T)(T ) )特别的:T的唯一个非零特征值T，又因为TT是对称矩阵，因此相似对角矩阵，且R( T)R( )1，故T的特征值为 T和 0( n 1 重)；单位矩阵E的特征值为(n重)，因此若 为单位向量，则ET的特征值为0,1( n 1重)；ET的特征值为2，1( n 1重)，r(e T) n3、转

4、置、可逆、伴随矩阵的性质(AT)T 代(AB)T BTAT, (kA)T kAT, (A B)T AT BT(A1)1 A, (AB) 1 B 1A 1, (kA) 1 丄 A1, (A 1)T (AT ) 1k* * * 1 1 * 1AA A A AE, (A) (A )|AA，(A*)t (At )* , (AB)* B*A*4、矩阵的初等变换经过有限步初等变换得到的矩阵是等价的。R(A) R(B) A B熟悉行阶梯形矩阵、行最简形矩阵的特点，主要用于解方程组、求极大无关组、求秩5、矩阵的秩R(A)r存在r阶子式不等于 0,对于所有的(若存在)r 1阶子式等于R(A)r存在r阶子式不等于

5、0；R(A)r对于所有的r阶子式等于0；R(A)A列秩 A的行秩6、矩阵秩的性质 0 R(Amn) min m, n R(AT) R(A)，R(ATA) R(A)(方程组同解) 为n维非零列向量，R( T ) 1 若 A B，则 R(A) R(B)若P,Q为可逆矩阵，则R(PA) R(PAQ) R(A) max R(A), R(B) R(代 B) R(A) R(B) R(A B) R(A) R(B) R(AB) min R( A), R( B)若 AmnBnl O，则 R(A) R(B) nnR(A) nA为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，贝U R(A*)1 R(A) n 10 R(A) n 1

6、7、初等矩阵初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵；初等矩阵是可逆的，其逆矩阵仍然是初等矩阵；可逆矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积；矩阵左乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的初等行变换，右乘初等矩阵，相当于对矩 阵实施一次相应的列变换;利用初等变换求逆矩阵;三、线性方程组r n 只有零解1齐次线性方程组AmnX 0解的判定：R(A) r r n有非零解2、齐次线性方程组解的性质：仆2是Am nx 0的解，贝U k, , k2 2也是Am nx 0的解;会求基础解系；若R(A) r，则基础解系解向量的个数为n r3、非齐次线性方程组AmnX b的解的判定:R(A|b) R(A)=r 有

7、解R(A|b) R(A)无解r n无穷多解 r n 唯一解4、非齐次线性方程组解的性质及结构若1, 2, 3是Am nXb的解，则当k,k2 k3 0 时，k, 1 k2 2 k3 3 是 Am nX 0 的k3 3是Am nX b的解解，当 k, k2 k3 1 时，k, , k2 2非齐次方程Am nX b的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解构成。5、矩阵方程AX O X的列向量就是Ax 0的基础解系矩阵方程 AX B A( , 2,L s) (b,b2丄,bs)，即 A i bi(i h2,L s)6、公共解问题求两个方程组的公共解，也就是要找到一个解既是方程组(1)的解，也是

8、方程组(2)的解，因此对于这类题目就是联立两个方程组，组成一个新的方程组求通解四、向量1、线性表示向量b可以由向量组 1, 2,L , r线性表示b k! ! k2 2 L kr r Ax b有解R(A) R(A|b)向量组B : 1, 2,L , s可以由向量组 A： 1, 2丄,r线性表示，即向量组B中每个向量都可以由向量组 A线性表示 R(A) R(A| B) R(A) R(B)向量组等价：向量组 A与向量组B可以相互线性表示 R(A) R(B) R(A|B)若AB C，则C的列向量可以由 A的列向量线性表示；C的行向量可以由 B的行向量线 性表示2、线性相(无)关对于向量组A:1, 2

9、丄，r，若存在一组不全为0的数k1,k2,L ,kr，使得k1 1 k2 2Lkr r0成立，则线性相关，否则线性无关线性相关Ax0有非零解R(A) r线性无关Ax0只有零解R(A) r若向量组A:1,2,L , r线性无关，向量组1,2,L , r,线性相关，则向量可以由向量组A:1,2丄,r线性表示，且表示唯一3、极大无关组极大无关组的定义，求法向量组的秩的定义4、向量空间向量空间、基、维数的定义基变换和坐标变换标准正交基(施密特正交化)正交矩阵AAt E A 1 AtA的行(列)向量是单位正交的向量组五、特征值与特征向量1、定义:A(0)，是特征值，是特征值 对应的特征向量2、求法：AE

10、0，解出n个(含重根)特征值1, 2,L , n解(AiE)x 0得i的基础解系注：若i是k重根，则R(A iE) n k，即特征向量的个数小于等于 k个; 若R(A iE) n k，矩阵A可以相似对角化，否则不能。13、相似的定义：P AP B，则A相似于B相似对角化充要条件 A存在n个线性无关的特征向量。对任意对称矩阵存在正交矩阵P，使得P 1AP相似矩阵的特征值、行列式、秩、对角线元素和均相等，反之不成立。等,则必相似。4、特征值的性质不同特征值对应的特征向量线性无关；特殊地，对称矩阵不同特征值对应的特征向量正nn对于n阶矩阵A，Ai，aHi 1i 1有特征值不为0若是矩阵A的特征值对应

11、的特征向量，则AAmmAkk(kmAm 1m 1km 1Ak1AE)(km mkm 1若 kmAmkm 1Am1 k1AE 0 ,则 kmm若矩阵A可逆，则AA11对称矩阵A非零特征值的个数等于 R( A)，i;特殊地，若矩阵A可逆，则矩阵A的所m 1.八k11)km 1 m 1k110A* AT的唯一的非零特征值为丁5、对称矩阵的相似对角化步骤求出A的特征值、特征向量:1, 2丄n ;1,2丄对于任意一个k重特征值i，其特征向量为i1,L , ik 先正交化ii丄ik，得丄，ik ；再把所有特征向量单位化，得存在正交矩阵P ( 1, 2丄,n)，使得A P PT，其中六、二次型1、二次型矩阵

12、对称矩阵2、把二次型利用正交变换化为标准型也就是对称矩阵相似对角化的过程3、 正惯性指数 二次型对任意可逆变换，其正惯性指数的个数不变， 即大于0的特征值的个 数不变。4、 正定矩阵的判定：顺序主子式大于0;特征值大于05、矩阵的等价、相似、合同两个n阶矩阵A, B存在常见的几个关系：等价、相似和合同.(1) A与B等价A经过一系列初等变换得到 B A PBQ，其中P,Q都是可 逆矩阵 R(A) R(B)(2) A,B相似存在可逆矩阵P，使得P AP B (3) A,B合同 若存在可逆矩阵C，使得CTAC B 二次型xtAx与xT Bx有相 同的正、负惯性指数.对于对称矩阵而言，相似必合同，合同必等价； 对于一般矩阵，相似必等价，合同必等价，相似与合同没有必然联系.0011冲刺题型:1 00 1 例10 0432X10000X100例2证明Dn00X00nn 1x a1x000X1anan 1an 2a2x a1答案：432