2018年高考天津卷理科数学真题及答案

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第H卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并 在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题 卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2 .本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件A, B互斥，那么P(AUB)

2、 P(A) P(B).如果事件A, B相互独立，那么P(AB) P(A)P(B).棱柱的体积公式V Sh ,其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱 的高棱锥的体积公式V Ish，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱3锥的高.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R,集合A x0x 2，B xx 1，则 AI (eRB)(A) x0x1(B) x0 x 1(C) x1 x 2(D) x0 x 2x y 5,(2)设变量x，y满足约束条件2x y 4,则目标函数zx y 1,3x 5y的最大y 0,值为(A) 6(B) 19(C) 21(D)45阅读如图的程序框图，

3、运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4Gf始)/愉入歼/r =2f T= 0r= Fi-1设x R，则“X 1| 1 ”是x 1 ”的2 2(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件1(5) 已知a log 2 e , b In 2 , c log 1 -,则a, b , C的大小关系为2 3(A) a b c(B) b a c(C) c b a(D) cab(6) 将函数y sin(2x 5)的图象向右平移 和个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间-,-上单调递增(B)在区间-,上单调4

4、44递减(C)在区间 吟,为上单调递增(D)在区间 吟,2 上单调递减2 2已知双曲线务占1(a 0, b 0)的离心率为2,过右焦点且垂直于a bx轴的直线与双曲线交于 A，B两点.设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且a d2 6，则双曲线的方程为2L 1122 2(B) 12 二2 2(CG 眷1(8)如图，在平面四边形 ABCD中，AB BC , ADuurCD， BAD 120 ，uurBE的最小值为21(A) W(D) 3AB AD 1.若点E为边CD上的动点，贝S AE注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上2. 本卷共12小题，共110分。二.

5、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。(9) i是虚数单位复数刖(10) 在(XL)5的展开式中，X2的系数为.2x/x(11) 已知正方体ABCD A.BQD1的棱长为1 ,除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E, F, G, H , M(如图)，则四棱锥M EFGH的体积为.第(11)-x 1刍(12) 已知圆x2 y2 2x 0的圆心为C,直线2 (t为参数)与该y 3 t2圆相交于A, B两点，则 ABC的面积为.1(13) 已知a, b R，且a 3b 6 0，则2a =的最小值为.82(14) 已知a 0,函数f(x) X 2 2aX a，% 0,若关于x的方程f

6、(x) axx 2ax 2a, x 0.恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是.三解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)在厶ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A acos(B ).(I) 求角B的大小；(II) 设 a=2，c=3，求 b 和 sin(2A B)的值.(16) (本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24, 16, 16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7人，进行睡眠时间的调查.(I) 应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(II) 若抽出的7人中有

7、4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望；(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也 有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.(17) (本小题满分13分)如图，AD / BC 且 AD=2BC, AD CD, EG/ AD 且 EG=AD, CD/ FG 且 CD=2FG, DG 平面ABCD , DA= DC= DG=2.(I) 若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN /平面CDE ;(II) 求二面角E BC F的正弦值；(III) 若点P在线段DG上，且

8、直线BP与平面ADGE所成的角 为60,求线段DP的长.(18) (本小题满分13分)设务是等比数列，公比大于0,其前n项和为Sn(n N ) , bn是等差数列.已知 ai 1 , a3 a2 2 , R b5 ,2b6.(I) 求an和bn的通项公式；(II) 设数列Sn的前n项和为Tn(n N ),(i )求 Tn ；(ii)证明(Tkbk 2)bkk i (k 1)(k2)2n 2厂 2(n N).(19) (本小题满分14分)2 2设椭圆冷 笃1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的a b离心率为亟，点A的坐标为(b,o)，且|fb| |ab q42 .3(I) 求椭圆的方程

9、；(II) 设直线I: y kx(k 0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且I与 直线AB交于点Q.若|A Blsin AOQ (O为原点)，求k的值.|PQ|4(20) (本小题满分14分)已知函数 f(x) ax，g(x) logaX，其中 a1.(I) 求函数h(x) f (x) x In a的单调区间；(II) 若曲线y f(x)在点(x1,f(xj)处的切线与曲线y g(x)在点区旳区)处的切线平行，证明 g(X2)2ln In aIn a1(III) 证明当a ee时，存在直线I，使I是曲线y f(x)的切线，也是曲线y g(x)的切线.参考答案：一、 选择题：本题考查基本知识和基本

10、运算.每小题5分，满分40 分.(1) B(2) C(3) B(4) A(5) D(6) A(7) C(8) A二、 填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.(9) 4 - i1(12)-(10) 51(13) 4(14) (4,8)三、解答题(15) 本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式， 以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力.满分 13分.(I)解：在厶ABC中，由正弦定理 b ,可得bsin A asinB , sin A sin B又由 bs in A acos(B -n)，得 asi nB a cos

11、(B n)，即 sin B cos(B6 6tanB 3 .又因为 B (0 , n，可得 B= n .3(U)解：在 ABC中，由余弦定理及a=2 , c=3 ,n，可得6汀有b a c 2accosB 7 , 故 b= 7 .由 bsin AaC0S(B n，可得 SinA :.因为ac,故 cosA.因此4/32sin2A 2sin AcosA, cos2 A 2cos A711 . 7所以，si n(2A B) sin 2 A cos B cos2 Asi nB_3 3.3214(16) 本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运

12、用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.(I)解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 : 2 :2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(H)( i)解：随机变量X的所有可能取值为0, 1, 2, 3.P (X=k)二 C4C汇(k=0 , 1, 2, 3).C7所以，随机变量X的分布列为X123D112184P35353535随机变量x的数学期望e(x)占135 2 35 3 35号.(ii) 解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人， 睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的 员工有

13、2人，睡眠不足的员工有1人”，贝A=BU C,且B与C互 斥，由(i)知，P(B)= P(X=2) , P(C)=P(X=1),故 P(A)= P(B U C)=P(X=2)+ P(X=1)= 7 .所以，事件A发生的概率为6 .(17) 本小题主要考查直线与平面平行、 二面角、直线与平面所成的 角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.依题意，可以建立以D为原点，分别以DA , Dc , Dg的方向为x 轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得 D (, ,),A (2, , ), B (1, 2,), C (,

14、2, ), E(2,2),F (, 1, 2), G (, ,2), M (,3 , 1), N(1, 2).(I)证明：依题意 DC= (0,2,0), DE =uur n DC 0,uultn DE 0,y, z)为平面CDE的法向量，则(2, 0,即2y2).设 n=(x.z= - 1,可得 no=( 1,0, - 1)uuur3uuuu.又 MN = ( 1,- , 1),可得 MN n 0 ,又因为直线MN平面CDE所以MN /平面CDE(H)解：依题意，可得BC= ( - 1 , 0,0),uuuBE (1,2，2),uuu CF =(0, - 1, 2).设n= (x, y, z

15、)为平面BCE的法向量，则uurBCuuuBE0,0,x 0,2y2z 0,不妨令z=1，可得 n= (0, 1, 1).设m=(x, y, z)为平面BCF的法向量,uuu m BCuuur m BF0即0,0,2z 0,不妨令z=1，可得 m= (0, 2, 1).因此有m n3 亓0 -r 曰.cos=丽 百，于疋 sin=.10所以，二面角E- BC- F的正弦值为彳00 .(皿)解：设线段DP的长为h (h0, 2),则点P的坐标为(0, 0, h),可得 BP ( 1, 2, h).易知，DC= (0, 2, 0)为平面ADGE的一个法向量，故iuu uuir cos BP DCu

16、iu UULTBP DC2IUU UUTBP DC 尸丐由题意可得=妣 f 解得山=譽5 ，2.所以线段dp的长为手(18) 本小题主要考查等差数列的通项公式， 等比数列的通项公式及 前n项和公式等基础知识考查等差数列求和的基本方法和运算 求解能力满分13分.(I)解：设等比数列an的公比为q.由ai 1忌a? 2,可得q2 q 20.因为q ，可得q 2，故an 2n1.设等差数列bn的公差为d，由a4 b3 b5，可得b, 3d 4.由a5 b4 2b6，可得 3bi 13d16,从而 D 1,d1,故 bn n.所以数列an的通项公式为an 2n1，数列bn的通项公式为b n.49W (

17、i 由，有Sn ?!2n 1，故nTn(2kk 1八n/2(12n)1)2 nk 112(ii)证明:因为(Tk +b k+2 )bkk 1(2k 2 k 2)k(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)n2n1n2 . 1k21k 222(k1)(k2)k2k 1，2423、2n22* 1n 2)L().43n2n 1n :n (Tk bk 2屁 2 k1 (k 1)(k 2) ( 3 2(19) 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.2(I)解：设椭圆的焦距为2c,由已知知冷，

18、又由a2=b2+c2, 可得2a=3b.由已知可得，FB a , AB . 2b，由FB| | AB 62，可 得 ab=6，从而 a=3 , b=2 .2 2所以，椭圆的方程为手吕1.94(H) 解:设点P的坐标为(xi, yi)，点Q的坐标为(X2, y2).由 已知有 yiy20,故 PQsin aoq yi y2.又因为 AQ,而/sin OABOAB=n，故 AQ 2y2 .由 AQ 晋sin AOQ，可得 5yi=9y2.y kx, 6k由方程组X2 y2 4消去X,可得yi 二.易知直线AB的方程i ,9k 494为x+y- 2=0，由方程组y kx,x y 20,消去x,可得y

19、2右冷.由5yi=9y2，可得5 (k+1 ) = 3.9k2 4，两1 ii边平方，整理得56k2 50k 11 0,解得k -，或k -.2 28所以，k的值为1或18.(20) 本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法考查函数与方程思想、化归思想考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题 的能力满分14分.(I)解：由已知，h(x) ax xln a，有 h (x) ax ln a In a .令 h (x) 0 ,解得 x=0.由a1，可知当x变化时，h(x) , h(x)的变化情况如下表:X(,0)0(0,)h(x)0+h(x)极小

20、值Z所以函数h(x)的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,).(II)证明：由f (x) ax ln a，可得曲线y f (x)在点(禺，f(xj)处的切 线斜率为a51 In a.由g (x)-，可得曲线y g(x)在点(X2,g(X2)处的切线斜率为xln a11 ，即 X2aX1(In a)21 .x2 In a因为这两条切线平行，故有aS nax2 In a两边取以a为底的对数，得Iog a X2 X! 2Iog 2 In a 0，2In In aIn a证明：曲线y f(x)在点(X1,ax1)x-gg)(III)的切线I-:xiaxi In a (x x1).曲线yg(x)在点(X2,IogaX2)处的切线 I2： y log1 (xx21 n aX2).-要证明当a ee时，存在直线I,使I是曲线y1e；时，存在f(x)的切线,也是曲线y g(x)的切线，只需证明当aXi1X2(0,)，使得I1和|2重合.1aX11 n a