浅谈开放探索性试题的编制方法

1、浅谈开放、探索性试题的编制方法 吉安一中朝宗学校 杨杰 培养创新精神和实践能力是当前全面推进新课程改革的重点. 开 放性、探究性的试题是考查这种能力的一种新题型，这类试题早在 1990年高考试题中出现过 . 通过实践和体验证实了这类题涉及知识面 宽，综合性强，要求学生有扎实的基础知识和熟练的基本技能 . 近年 来全国各地的中考数学命题都十分重视这类试题的设计， 那么这类试 题有何特点？有何功能？题目是如何编制的呢？下面浅谈我对这个 问题的一些实践与思考 . 一开放性试题特点与功能 开放性试题是相对于封闭题而言的， 所谓“封闭题”，是指试题的 条件与结论都是明确的， 解题者要做的工作就是寻求一个

2、由已知条件 出发到达结论的逻辑链接， 当然这种链接可以是多种多样的， 即一题 可能存在多种解法 . 这类题目，因为已知和结论都是明确的，因而思 维的目标性很强， 它反映了现实生活与数学自身中的一种存在、 一种 关系，是一种常见的题型结构 . 但是在现实条件下，存在着构成命题 的条件或结论不完全确定的现象， 在探讨条件或结论不完全确定的这 些问题时，其思维方式就与解决封闭性问题的思考方式有较大差别， 因而也就在思维能力的培养上有许多不同于原来的、独特的地方. 同 时，题目形式也十分活泼，所以，这类题一登场，就受到广大数学教 育工作者的青睐，人们通常把它称为“开放性试题” . 1. 开放性试题的特

3、点 （1）条件或结论中至少有一个是不确定的； 第 1 页 共 21 页 (2) 解决问题的策略常常是多样的，思考问题的方向常常是多向的; (3) 问题的答案不是唯一的； (4) 一个开放性问题常常可以把它分解为若干个封闭性问题； (5) 个开放性问题的解答常常表现出不同层次的结果 开放性试题若按照条件与结论的开放性，可分为如下三种类型: (1) 条件开放性试题.这类题中，往往已知部分已知条件和一个完整的结论，要求解 题者根据这部分条件与问题结论，将所缺少的条件找出来当然这 些缺少的条件通常不是唯一的，因而构成条件开放性试题 如：【2007宁德中考】如图，已知AB丄CF , DE丄CF ,垂足

4、分别为B, E A B D.E请添加一个适当条件，使 ABCA D E F并予以证明. 添加条件：. (2) 结论开放性试题.这类题中，已知条件已经完全地给定， 但结论没有给出，要求解题者 由这些已知条件，通过推理的方式，得出若干种正确的结果这些结果往往有多个甚至无穷 多个，因而构成结论开放性试题 . 如：(2009年江西省)写出一个大于1且小于4的无理数 . (3) 条件与结论双开放性试题(即：综合开放性试题)这类题中，给出了部分已知条 件，同时也允许解题者按照要求添加若干条件，并根据题目中已经给出的条件和添加的条件， 推导出带有个性色彩的结论 因为每个人添加的条件可能是不同的，思考问题的方

5、式与推理 能力是有差异的，因而结论也就往往丰富多彩，这就构成了条件与结论的双开放性试题. 女口：在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以 是. 当然，开放性试题也可以按照其他标准分类，如：若按有无标准答案来分，开放性试 题可分为两类： 没有标准答案的开放题(如数学作文题)： 如：(2008年青海省)对单项式“ 5x ”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了 x 千克，共付款5x元.请你对“ 5x ”再给出另一个实际生活方面的合理解 释：. 有标准答案的开放题： 一 2 如：若方程x - m = 0有整数根，则下面对于 m的取值说法不正确的是() A .可以是0，

6、B.可以是4C 任何一完全平方数D.任何一个正数 若按照答案的多少来分，开放性试题又可分为： 有限个答案的开放题： 2 2 2 如：(20 08年益 阳市)在下列三个不为零的式子x -4，x -2x, x -4x 4中, 任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果 是. 无限个答案的开放题： 如：已知a(a = h3)能与3合并为一个二次根式,则a可以是 L 只写一个) 2 .开放性试题的功能： (1) 从形式上来说，弥补了封闭性试题的不足，使试题形式更加活泼； (2) 从思维方式上说，开放性试题往往需要经历较宽广的发散思维过程，在思维上与 同一层次的封闭性试题相比，有更多的

7、不确定性和探索性，对培养与考查学生的创新思维能 力有不可忽视的作用； (3) 开放性试题让学生更多地体会到做数学的过程，有利于增进学生对数学的认识和 理解，增进对数学的喜爱； (4) 由开放性试题所衍生出来的开放性教学将大大改变教学的面貌 为了更好地发挥开放性试题的功能，就需要编制开放性试题. 二. 开放性试题编制方法 1、用“删去法”编制条件开放性试题 封闭性试题是编制开放性试题的重要来源，对于一道适宜的封闭性试题，去掉它的一 个条件，或去掉它的结论，往往就可得到一个开放性试题，不过对原有试题要作适当的修改， 在表达方式上要有所调整 例1原题：抛物线y = 3x2 - bx 4的顶点在x轴上

8、，求b的值 若将“在x轴上”去掉，就变成了一道开放性试题 新题1 :有一道题目，其一部分文字是这样的： “抛物线y = 3x2 - bx 4的顶点, 求b的值.”其中“”部分是一段被墨水污染了的无法辨认的文字请你把题补充完整， 并进行解答 编法说明：简单的将“在 x轴上”几个字一删，就变成了一道活泼的开放性试题，把 原来的思维空间大大扩展了 这补充的部分可以是原来的 “在x轴上”，还可以是在其他的某 直线y二kx b上，也可以是某一几何图形的特殊位置上.这“污染”的描述，只是更合 乎情理的一种形式，当然也可以其他的形式给出.若用“”代替的仅仅是 y =3x2 -bx 4，那么编制出来的试题又是

9、另一番景象了. 新题2.有一道题目只有如下信息：“抛物线的顶点在 x轴上，求b的值.”请将此 题补充完整，并进行解答 编法说明：这时，b可以出现二次项或一次项或常数项上，项数也可以是三项， 或两项， 甚至一项.不过，此时的思维性不一定大 .可见，不同的编制方式，对思维的考查是不同的, 这要根据预设的蓝图来确定 2将图形特殊化构造多结论的开放性试题 我们知道等边三角形、正方形、圆都是特殊图形，它们特点突出、性质多一般与它们 有关试题大多数结论丰富，如果它们位置也进行特殊化（如：成轴对称或中心对称），其结 论更是广泛，思维空间更大，因此这是一条编制结论开放题的有效途径 F四点坐标，请写出一 例2

10、:已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是 y2 =ax2 -ax -1 （其中a为常数，且a 0 ）. （1）请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结 论； 1 （2）当a =-时，设yy = -ax2 -ax 1与x轴分别交 2 于M , N两点（M在N的左边）,y2 = ax2 - ax -1与x轴 分别交于E, F两点（E在F的左边），观察M , N, E, 个你所得到的正确结论，并说明理由; 编法说明：由于抛物线是特殊的函数图象，而题中又把两抛物线摆放成关于原点中心对 称的位置，因此势必出现既丰富而又有价值的结论，于是乎一道结论开放性试题便自然而生 3. 用“添加推演法”构造综合开放

11、性试题 采用添加推演法是构造开放性试题的一条重要途径当你在探索性地构造数学问题时, 在某种设想下，先构想一个基本图形，然后添加一个条件，看能推导出哪些结论，再添加另 一个条件，或改换一个条件，看能得出哪些结论，于是乎，一道适意的开放性试题就可能产 生出来 例3 如图，AB是O O的直径，O 0过AC的中点D, DEL BC,垂足为E. （1）由这些条件，你能推出哪些结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中 第25页共21页 所连辅助线不能在结论中，不写推理过程，写出 4个结论即可） （2）若/ ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外, 你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形要求：写出6

12、 个结论即可，其他要求同（1） 编法说明：如图，当图中仅仅勾画出一个圆和三角形 ABC时，几乎得不出什么结论；增加一个条件：AB是O O的 直径，或AC与圆的交点是 AC的中点时，也得不出什么有价 值的结论；当同时增加这两个条件时，就开始出现有意义的 结论了，但结论个数较少；当再增加一个条件：过点D作DE 丄BC时，结论就丰富，就可以构造开放性试题了；当再增加一个条件：BC是圆0的切线时, .当 结论更加丰富而有不同的层次，本题就是这样以后两个“增加”来完成试题的命制的 然，本题也可以看作是由已知试题改变而来 以上是开放性试题编制的三种基本方法，其实在开放题的编的过程中，不可能有完 全一样的模

13、式可套，还需要在不同情景或不同素材情况下灵活机动，敢于创新下列再介绍 些其它方法 4 通过图案或方案设计等手段构造开放性试题 利用图案或方案的设计来编制开放性试题是大有作为的，其情景常常优美可餐， 其解答 往往丰富多彩，它对于考查有关概念，特别是考查空间想象力，激发学生的解题愿望，促进 学生创新意识和审美意识的发展，增强对数学学习的兴趣是很有作用的 例4.如图，在4X 3的网格上，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照 此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：不得与原图案相同；黑、 白方块的个数要相同） 是轴对称图瑕 乂是中彷对称團飛 ：】虚轴对称團老：但 不是中心对称團

14、形 是中右对称图形一 旧不是轴对称閣形 例4图 计出如下，符合要求（1）的两种图案，符合要 解:（1）8051;（2）根据题中要求，可设 求的三种图案，符合要求 的三种图案 (1) (2 编法说明：用设计图案的方式来编制试题, 通常应先给出一个样例，以使学生更好地 边、花坛、地板上的图案、布上的花纹等等 理解题目所要表达式内容图案设计的范围很广，可以是花 例5.小琴和小霞在玩转盘游戏时，把转盘A、B都分成 份，并在每一份内标上如图所示的数字 并规定：转动两个转盘, 停止后指针所指的两个数字之积为奇数时，小琴获胜；当两个 ，小 数字之积为偶数时（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一

15、份为止） 霞获胜你认为这个游戏规则对双方公平吗？若不公平，应作怎样修改. 编法说明：在一类概率问题中，常常有判断游戏规则是否公平的问题， 当不公平时，就 需要对游戏规则作修改， 怎样进行修改呢？各人有自己的思考与主张， 从而就产生多个修改 方案，编制出以概率计算为主要内容的开放性试题 . 5、通过类比联想构造开放性试题 类比与联想是激活思维的火石，利用它常能激发出耀眼的火花来例如，从三角形面积 的两等分、三等分、四等分等的类比中，我们就可能联想到对于其他图形进行等分的问题了 例6 如图，已知点P处于矩形ABCD寸角线的交点的位置，请你用几条射线将这个矩 形分成面积相等的三个部分，并都以点P作为

16、射线的一个端点 编法说明：对矩形进行两等分、四等分常常见到，也容易做到，- 那么三等分呢？这是一个具有思考性、开放性的问题从学生的解 答情况看，相当一些学生难以解决， 主要原因是难以摆脱定势思维 的影响，从而可见本题的思维价值一一对于创新思维的意义了 对对称图形或不对称图形的等分，既可以是面积，还可以是周长推而广之，从分割的角 度（不要求等分，而只是要求分成几个部分，如用若干条线将圆、平面、球面等分成几个部 分）进行思考，就可以编造出其他的问题来 例7.在一次上数学实践活动课时，老师布置了如下活动内容：“学校准备在校园内的一 块空地上建一个半径为 6米的圆形花坛，为便于管理和美观，打算种上三种

17、颜色的花，相同颜 色的花集中种植，且所占的面积相同、整个花坛成轴对称图形或中心对称图形，要求全班每 个同学设计一个符合要求的种植方案（图案） 下面是三位同学设计的种植方案 代号a （图案）： b 说明 A / AOB* BOCM AOC =120 二个同心圆三等分花坛 小圆0为三分一花坛，BA、 CD与小圆0相切且平行. 种 （1） 请问以上三个图案中是轴对称图形的有 .是中心对称图形的有 .（分别填上图案的代号）； （2）求出图b或c中的r、R、AB的长（结果可保留根号），并由此推断、证明：当花坛半 径为a （a 0）时,a、r、R三者之间的数量关系； （3）如果你也是此次活动的参与者，请你

18、设计二个种植方案（图案）（要求不能与上面图 案重复，画图工具不限，不写作法和证明，但要简要说明） （3 ）答： 例7答案图 说明： 如图1：以图a中三条半径为直径向同一方向作半圆来三等分花坛； 如图2：将图b中三个圆平移至内 切一点； 如图3:小圆O为三分一花坛，环形分割线：AB DC与圆心O在同一直径上 编法说明：本题整体的编制构想是观察 实验 发现 归纳 验证 解决 问题，由此形成典型开放探究性试题，第三问突出了开放性的特点，也就是类比把三角形、 矩形分成等积三部分， 其问题设置的本质与例 6是一致的，所不同的是所用知识不同， 思维 空间更广泛，层次更深而已 笑(1-a+b ) (1+a+

19、b). 它们的一个共同特点是 2 2 (2)对于反比例函数 y与二次函数y - _x2 3， x 它们的两个相同点： : 两个不同点：: 编法说明：对代数式，乃至各种各样的式子进行观察，异中见同，寻找共性，是一种概 括，是矛盾普遍性的反映，是灵活运用的基础；同中见异，寻找差别，是一种识别，是矛盾 特殊性的反映，需要具体问题具体分析，可见此类试题的立意是有个人价值的，有特色的 7、利用编题的方式编制开放性试题 提供一个模型(图形、代数关系式等)，让学生编制出符合要求的试题，对于考查学生 对数学逻辑关系的理解、推理能力的水平以及学生的表达水平等有一定的作用 例9.编一道联系实际的应用题，使所列方程

20、是：3x+4(45-x)=150 (要求：试 题背景要贴近学生生活) 编法说明：选择合适的数学模型是编制这类试题的基础，只有基础选择好了， 才有可 能编制优美而又难度适当的试题.在编制这类试题时，模型应当简单，编制要求应当明确， 同时，应对评分标准作细致的考虑 同的情况，请指出并说明其理由；若都相同，那就从图、中选一个为例给予证明 图 圏 岸 5)0 图 例24图 编法说明：图是一个很常见的图形，由这个常见的图形出发， 将其中的一条线段通过 平移，就构造出了不同的图形， 这几个不同的图形中有什么不变的东西吗？于是乎， 就编成 了一道试题这种将线段或直线平移的方法是构造一类问题的常用手段在不同的

21、基本图形 下，采用同一手段往往可以编制出不同的试题. 6 禾I用已知图形或适当改变已知图形编制探索性试题 将已知试题加以改编是快速产生新题的重要手段，是非常实用的方法之一.中考中，大 量的试题都是通过陈题改造而来的.重要的是，在这一改造过程中，应有根本性的变革，甚 至达到脱胎换骨的地步 例25. 原题：如图，正五边形的对角线AC和BE相交于点M,求证：（1） ME=AB (2) ME2 二 BELJBM . 1 例西图 借助这个图形，我们可以编出下面的试题： 新题1:如图1，正五边形的对角线 AC和 BE相交于点 M问四边形EMCD是怎样的四边 形？试证明你的结论 编法说明：这是简单的探索题，

22、只要经过几步推理，便可获解，但有些只能得出是平 行四边形，而得不出是菱形的结论， 可见，此种改法还是有一定思维价值的，因为改成探索 性问题后，最终目标是不明确的，这就看你能够走多远，当然，借助这个图形，还可提出其 他的问题，看来，借用已有图形不变，对问题用适当改变，也是一种命题试题的方法 根据这个图形的对称性，我们知道，直线DM平分AB,因为作直线只用直尺就可以了， 于是，就可以编出下面的试题： 新题2:如图1,正五边形ABCDE现给你一把无刻度的直尺，你能用它找出线段AB的 中点来吗？（要求：保留作图痕迹） 编法说明：将推理过程中的“桥”一一图形中的对角线，进行拆除，这样就提高了思 维的难度

23、，同时，也加宽了思维的渠道，是构造探索性试题的有利武器 再进一步，利用直尺，我们可以作出这个正五边形的内切圆的圆心，于是，又可以编 出下面的试题： 新题3:如图2,是正五边形，现给你一把无刻度的直尺，你能用它确定这个正五边形 的内切圆的圆心吗？(要求：保留作图痕迹) R A 编法说明：利用推理方法，进一步前进，以构 造更有价值的问题，是构造探索题的有效思路 例26 原题：已知：如图 1,在厶ABC中， / ACB=90，/ B=25,以C为圆心，CA为半径的 圆交AB于D,求：弧AD所对圆心角的度数. 利用此图的基本情景，将其适当改造，让特殊的直角一般化，并将所求适当改变，就 得到如下试题:

24、新题：如图2,以C为圆心，CA为半径的O C交AB于点D,交BC于点E,试探索/ BDE 与/ CAB的关系. 编法说明：将特殊的图形一般化，并适当改造问题的条件与结论，是编制证明题、求 解题乃至探索题的方式之一 一般化是一个思想方法，在很多情形中非常有用 7 通过“静态”图形中的关系、形状等探索编制探索性试题 世界有两面性： 动态的一面与静态的一面，动态展现出激情与活力，静态表现出稳重与 庄严.数学命题也一样，动态问题翩翩起舞，“静态”问题亦婀娜多姿，一个好的静态数学问 题常常表现出美妙的数学结构，是现实生活中稳定状态下的一 咱结构反映在静态问题中，重要的是要构造出适当的图形以备 编题之用 例27. 如图，已知ABCD是正方形，11 / 12 / 13，点A, 点B,点C分别在l1 , l2和l3上, AB=a , l1与l2之间的