上海工程技术大学概率论第一章答案

1、习题一2 .设 A, B 为随机事件，且 P (A) =0.7 , P(A B)=0.3，求 P ( AB )。解：P ( AB )=1 P (AB) =1 P(A) P(A B)=1 0.7 0.3=0.6。3.设 A, B, C 为三事件，且 P (A) =P ( B) =1/4 , P ( C) =1/3 且 P (AB) =P ( BC) =0, P (AC) =1/12，求A, B, C至少有一事件发生的概率。解：因为 ABC AB,所以 0 P(ABC) P(AB)，又 P (AB) =0，则 P(ABC) 0 ,P (A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C) P(AB)

2、 P(BC) P(AC)+P(ABC)11113=+ + =。4431244将3个不同的球随机地放入 4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1 , 2, 3的概率。解：设A=杯中球的最大个数为i, i=1 , 2, 3。将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为 1时，每个杯中最多放一球，故P(A)C：3! 3438而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故p(aj爭，因此P(A2) 1 P(A) P(A) 13 -或 P(A)8 16 16c4c3 c；91636.从1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0这10个数字中任取五个数按先后

3、顺序组成多位数， 求下列事件的概率：(1)这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起解(1) P59876487641A5)90(2) p7.对一个五人学习小组考虑生日可题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.解：基本事件总数为75 ,(1 )设A1=五个人的生日都在星期日，所求事件包含基本事件的个数为1个，故1,1 5P (A1) = 75 = (7)；(2)设A2=五个人生日都不在星期日，所求事件包含样本点的个数为65, 故P( A2)=务=(6)5；(3 )设A3=五个人的生日不都在星期日

4、，利用对立事件的性质，可得P( A)=1 P(Ai)=1&某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求:(1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率。解:设A=下雨, B=下雪。P (AB) 0.1(1) p(B A)0.2 ,P(A) 0.5(2) p(AUB) P(A) P(B) P(AB) 0.3 0.5 0.1 0.7。9. 设A, B为随机事件，且 P ( B) 0, P(A|B)=1，试比较 P(A U B)与P(A )的大小。 解：由加法公式，P(AUB) P(A) P(B) P(AB)，再根据乘法定理，有P(AB) P(B) P(

5、A B) P(B)所以P(AUB) P(A) P(B) P(B) P(A)。10. 袋中有红球和白球共 30个，其中白球有10个。每次从袋中任取一球不放回，求第三次才取到白球的概率。20 19 1030 29 280.16 .11. 一盒子中装有10个零件，其中8只是正品, 只不放回，求：(1)两次都取得正品的概率； (2)第一次取得次品, 一次取得次品，另一次取得正品的概率；(4)(1)P87=2810945(2)PP82= _8_109=45(3)旦22P+ -10910(4)872P+ -10910解或PC2 28一 210452只是次品，从中抽取两次，每次任取一一第二次取得正品的概率;

6、第二次取得正品的概率.或9 458=0.8 .P3弩/p0.36.C104510 912.某种动物由出生活到 30岁的概率为0.9,活到40岁的概率为0.5 .问现年30岁的这种动物活到40岁的概率是多少？活到30岁，P(B|A)B 活到40岁，则P(AB)P(A)P(B)PGA)0.56 .13.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02, 一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求(1) 一产品检查为合格品的概率(2)在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率。解：设A=产品确为合格品 , B=产品被认为是合格品(1 )由全概率公式得P(B

7、) P(A)P(B A) P(A)P(B A)0.96 0.98 0.04 0.05 0.9428(2 )由贝叶斯公式得f、 P(AB)P(A B) _-P(B)P(A)P(B A)P(A) P(B A) P(A)P(B A)0.96 0.980.96 0.98 0.04 0.050.99814.甲、乙、丙三厂生产同一型号产品，设三个厂生产的产品的次品率分别是0.3 , 0.2 ,0.1，他们的产品的数量比为5:3:2。现随机抽取一件该型号的产品,(1)求该产品为次品的概率；(2)现知所取产品是次品，求该次品是乙厂生产的概率。解：设A=该产品为次品, B1=该产品是甲厂生产 , B2=该产品是

8、乙厂生产 , B3=该产 品是丙三厂生产，则由全概率公式得(1)P(A) P(BJP(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)0.3 0.2 0.110 10 1023100(2) P(B2 A)P(B2)P(A B2)13)。2P(B)P(A|BJ P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)232310015某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15 和0.30 ;如果“谨慎的”被保险人占20% “一般的”占50% “冒失的”占30%试求(1)年内被保险人出事故的 概率；(2

9、)现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？解：设A=该客户是“谨慎的” , B=该客户是“一般的” , C=该客户是“冒失的” ,D=该客户在一年内出了事故，则由全概率公式得(1) P(A) P(A)P(D|A) P(B)P(D|B) P(C)P(D|C)0.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.340(2)由贝叶斯公式得P(A | D)P(AD)P(A)P(D |A)厂1 u)P(D)P(A)P(D | A)P(B)P(D | B) P(C)P(D |C)0.2 0.0520.2 0.050.5 0.15 0.30.33511116 三人独立地破译一个密码，他们能

10、破译的概率分别为丿,丿,丄，求将此密码破译出534的概率。解设Ai=第i人能破译 (i=1,2,3)，则密码被破译的概率为3 _p(ua)1 p(AA2A3)1 p(A)p(A)p(A)0.617.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4, 0.5和0.6,是否命中，相互独立，求下列概率：(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。解：(1)设恰好命中一次为 A事件，则P(A) 0.4 0.5 0.4 0.6 0.5 0.40.6 0.5 0.60.38(2)设至少命中一次为B事件，则P(B) 1 P(B) 1 0.6 0.5 0.40.8819. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停

11、止.(1) 问正好在第6次停止的概率；(2) 问正好在第6次停止的情况下，第 5次也是出现正面的概率解(1)1 2 1 3 1(2) (2 232(2) P220. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?解：设必须进行n次独立射击，则至少击中一次的概率为1 0.8n，由题意1 0.8n 0.9即为(0.8)n 0.1，故n logo.8 0.1, n 10.3,，即至少必须进行11次独立射击21. 为了提高抗菌素生产的产量和质量，需要对生产菌种进行诱变处理，然后从一大批经过处理的变异菌株中抽取一小部分来培养、测定，从中找出优良的菌株.如果某菌种的优良变异率为0.03，试问从一大批经诱变处理的菌株中，采取多少只来培养、测定，才能以95%的 把握从中至少可以选到一只优良菌株?解 设采取n只来培养满足条件，则该问题是一个n重贝努利概型，利用对立事件的概率求解较简单，即1 R 1 C： 0.03 0.970.95 ,即 n logOa,解得 n 98.35,即至少培养99只菌株才能以95%的把握从中至少可以选到一只优良菌株22. 某仪器有三个独立工作的元件，损坏的概率都是0.1,当一个元件损坏时，机器发生故障的概率是0.25，当两