一元二次方程知识点总结和例题——复习

1、4ac0)因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易知识点总结：一元二次方程知识框架知识点、概念总结1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2 ；(3) 是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为ax 2+bx+c=0(a丰0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。(4 )将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a丰0)3. 一元二次

2、方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，？都能化成如下形式 ax2+bx+c=0 (0)。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0 (a丰0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。4. 一元二次方程的解法(1) 直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如(x a)2 b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a b , x a . b，当 b 0，方程的根是x=-pVq；如果qv 0,方程无实根.(3) 公式法公式法是用求

3、根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。元二次方程ax2 bx c 0(a0)的求根公式:2b - b 4ac “ 2 x(b2a(4) 因式分解法 行，是解一兀二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程ax2 bx c 0(a0)中，b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根的判别式，通常用“”来表示，即b2 4ac6. 一元二次方程根与系数的关系如果方程ax2 bx c 0(a 0)的两个实数根是花，化，那么bcx1 x2 , x1x2 _。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方aa程，两根之和等于方程的一次项系

4、数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。7. 分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。8.分式方程的一般解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是:(1) 去分母，方程两边都乘以最简公分母(2) 解所得的整式方程(3) 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去； 若不等于零，就是原方程的根。(参考教材：初中数学九年级人教版)知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：ax2 bx c 0 a 0，其中ax2是二次项，a知识点1只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程

5、。例题：1、判别下列方程是不是一元1次方程，是的打“2” ,不是的打“X”，并说明理由.(1)2x 2 -x-3=0.-y 2 =0.4(3) t2=0. x 3-x 2 =1.(5) x2-2y-1=0.1冷x-3=0.(7) . x2 3x =2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)224(9)3x 2 +6=0.x(10)3x 2= -3.41、若关于x的方程a(x- 1)2=2x2- 2是一兀二次方程，则a的值是()(A) 2( B)-2(C) 0(D)不等于22、已知关于x的方程m 1 x22n 3 x p 0 ,当时，方程为一叫二次项系数；bx是一次项，b叫一次项系数，c是常数项

6、。特别警示：(1) “ a 0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；(2)二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。例题：1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项2 2(2)5x 10x 2.2 0(3)2x15 0(4)x2 3x 0(5) (x 2)232、关于x的方程3x2-.2x60中a是； b是； c知识点三.一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。 例题：21、已知方程3x 9x2、设a是一元二次方程 那么a b的值是(A) -4( B) -30的一个根是1

7、,则m的值是5x0的较大根,(C) 12b 是 x 3x( )(D)20较小根,次方程；当 时，两根中有一个为零 a。3、已知关于x的方程m 2 xm 2 x m 0:3、已知关于x的一元二次方程x2kx 2 0x 1的一个解与方程3的解x 1(1) m为何值时方程为一元一次方程;(2) m为何值时方程为一元二次方程。相同。(1) 求k的值;2(2)求方程x kx 2 0的另一个解。知识点四.一元二次方程的解法 一元二次方程的四种解法：2 2(6) (x 3) 2x 5 3y2 6 y 22(1)直接开平方法：如果x2k k 0，则x ,k(2)配方法：要先把二次项系数化为1,然后方程两变同时

8、加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然 后用直接开平方法求解；(3)公式法：一元二次方程ax2bx c 0 a 0的求根公式是b .b2 4ac2ab2 4ac(4)因式分解法：如果x0 则 x 1 a,x2b 。知识点五 对于-（1）（2）（3）元二次方程根的判别式 兀二次方程当b2当b2当b22ax4ac 0 时,4ac 0 时,4ac 0 时,温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要， 率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。 例题：解方程：尤其是因式分解法，它使用的频温馨提示：若方程有实数根, 例题：bx c 0 a 0的根的判别式是 方程有两个

9、不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程无实数根。2则有 b 4ac 0。b2 4ac :1、方程x2x 0的解是:A. x 1 x21 B. x 11,x23 C. x 1 2, x20D. x 12, X2程.5 1 x21. 5 x的较简便的解21、已知方程x 3x k 0有两个不相等的实数根，则22、当m满足何条件时，方程mx 2 m 1 x 9m 1有两个相等实根？有实根?k=0有两个不相等实根?用3、解下列方程:。解为(1) x2 3 3 x 12(2) 2x x 30(3) X22x23、关于x的方程mx 2 m 2 x m 50无实根，试解关于 x的方程1(5)-322

10、4、已知关于x的一元二次方程 x 4 m 1 x 2m 10,求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。25、设Xi, X2是关于X的一元二次方程 xpx q 0的两个根，Xi 1,X2 1是关于x的一元二次方程x2 qx p0的两个根，则p,q的值分别等于多少?若一元二次方程ax2bx c 0 a知识点六一元二次方程根与系数的关系bcx-i x2, x-i x2aa温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。 例题：知识点七一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。在检验时，应从

11、方程本身和实际问题两个方面进行检验。1、有一个两位数，十位数字比个位数字大3,而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数。30的两个实数根分别是2 21、关于x的一元二次方程 x kx 4 k3 十（C）（ D）不存在422m 3 x m0的两个不相等2 24、两个不相 等的实数 m,n满足m 6m 4, n 6n 4，贝U mn的值为。且满足x1 x2 x/2，则k的值为:3（A）1或一（B）1422、已知，是关于x的一元二次方程x1 1的实数根，且满足1，则m的值是（A）3 或-1（ B）3（ C）1（ D） -3 或 12 23、方程x 3x 6 0与方程x 6x 3 0的所有根

12、的乘积是 2、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过 连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百 分率是多少？3、将一条长20m的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正 方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17平方米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？两个正方形的面积之和可能等于12平方米吗？若能，求出两段铁丝的长度;若不能，请说明理由。一元二次方程综合复习1下列方程中，关于 x的一元二次方程是2 1 1 2 2 2A. 3 x 12 x 1 B.2 0 C. ax bx c 0 D. x 2x x 1x x3、若

13、x1是一元二次方程2 axbx20的一个根，则a b。K4、实数b2 4ac是方程的根( )2a(A) ax2bx c 02(B) axbxc0(C) ax2bx c 0(D) ax2 bxc025、方程x25 0的解是：( )A. x 1x25 B. x 1 x225C. x 15x5D. x 125, x225是()(A) m 1( B) m 0( C) | m| 丰 1(D) m= 126、关于x的一兀二次方程 kx2x 10两个不相等的实数根，则k的取值范围是()(A ) k1(B) k1(C) k0(d ) k1且k 07、在下列方程中，有实数根的是( )x12A) x 3x 10

14、B) 4x1 1C) x22x3 0 D)x 1 x 128、关于x的一元二次方程 2x 2x 3m 1 0有两个实数根 捲公2，且3 x2 -5x+6=0 (因式分解法)4. 2x2 7x 30 (公式法)2、方程(m2 1) x2 + mx 5 = 0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件12、 当x=时，代数式x2 3x比代数式2x2 x 1的值大2 .13、 某商品原价每件25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件16元, 则该玩具平均每次降价的百分率是 。14、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，方程为 15、 参加一次聚会的

15、没两个人都握了一次手，所有人共握手36次，设有x人参加聚会，方程为16、解下列方程：217、设X1,X2是关于x的方程x0的两个根，且满足x-i x2x1X24，贝U m的取值范围是()51551(A) m(B) m(C) m(D)m323329.若(x+y)(1x y) +6=0，贝U x+y 的值是()A. 2B . 3C. 2 或 3D.2或一310、若(m+1)m(m 2) 1x+2mx 仁0是关于 x的一兀二次方程，则m的值是11、填上适当的数，使等式成立：x2 5x = (x )2.，求m的值。31. (x 2)2250直接开平方法 2. x2 4x 50 (配方法)18、求证：二

16、次三项式 x2+4x 5的值恒小于0并求出它的最大值。22、一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形， 制成高是5 cm,容积是5 0 0 cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。219、已知关于x的一元二次方程 x kx 10 o23、如图，有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18 m),(1)求证：方程有两个不相等的实数根;另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米?(2)设的方程有两根分别为X1,X2，且满足 X1 X2X1 X2求k的值。20、已知 ，X的兀二次方程2 2x 2m 3 x m0的两个不相是天于等的实数根，且满足1 11,则m的值是( )(A ) 3 或-1(B)3(C) 1(D) -3 或 124、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价，经调查发现，这 种小西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出 40千克，另外，每天的房租等固 定成本共24元，该经营户要想每天盈利2