一元二次方程培优提高例题

1、考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是.2,这样的整式方 程就是一元二次方程。(2) 般表达式：ax2 bx c 0(a 0)难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2 ”： 该项系数不为“ 0” ； 未知数指数为“ 2” ; 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以 讨论。典型例题：例1、卜列方程中是关于x的一兀1次方程的是()21 1A3 x 12x1B22 0xxCax2 bxc0Dx2 2xx21变式：当k时,关于x的方程kx22x x23是一元二次方程。例2、方程 m 2 x冋 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则 m的值为针对练

2、习：2 1、方程8x 7的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程m 2 x m10是关于x的一元一次方程,求m的值；写出关于 x的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x2. m ?x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是 4、若方程nx m+xn -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是(A.m=n=2B.m=2, n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解概念：应用：典型例题：例1、使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 利用根的概念求代数式的值；已知2y2y 3的值为2，贝U 4y22 y 1的值为关于x的2元二次方程 a 2 x xa240的一个根为0 ,

3、则a的值为说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制b，则此方程2已知关于x的一元二次方程ax bx c 0 a 0的系数满足a c必有一根为说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1 ”巧解代数式的值。例4、已知a, b是方程x2 4x m 0的两个根，b,c是方程y2 8y 5m 0的两个根,贝U m的值为针对练习： 1、已知方程x2kx100的一根是2，贝U k为，另根疋 2、已知关于x的方程2 xxkx 20的一个解与方程-13的解相同。x1求k的值；方程的另一个解。 3、已知m是方程x2x10的一个根，则代数式 m2m 42、已知a是x3x 120

4、的根，贝U 2a 6a。 5、方程 a b2xbc x c a 0的一个根为（)A1B1C b cDa 6、若 2x 5y 30,则 4x?32y 。考点三、解法 方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点：降次类型一、直接开方法：x2mm 0 , x m2 2 2对于x a m， ax m bx n等形式均适用直接开方法典型例题：OO2例 1、解方程：1 2x2 8 0;2 25 16x2=0;3 1 x 9 0;例2、解关于x的方程：ax2 b 02 2例3、若9 x 116 x 2 ，则x的值为。针对练习：下列方程无解的是（）2 2 2 2A. x 3 2x 1 B. x 20

5、 C. 2x 3 1 x D. x 90类型二、因式分解法：X X1 X X20x x1,或x x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0 ”,方程形式：如2ax m, 2bx n ， x a x bx22ax a20典型例题：例 1、2x x35 x 3的根为()5x 352A xBCx1,X23D x -225例2、若4xy23 4xy 40，则 4x+y的值为0变式1 :2 ab22a2 b260,则a2b20变式2 :若x2xy y 14,2yxy x28，则x+y的值为。2例3、方程xx60的解为()A. x13,x2 B. x13,X22C. x13,x23 D. x

6、12,x22例4、解方程：2 x2 3 1x2 .34 0o变式：已知2x23xy2y20,且 xo,y0,则x的值为y针对练习： 1、下列说法中：2方程xpxq0的二根为捲,X2，则2x pxq(x Xj(X X2)例5、已知2x2 3xy 2y20,则-y的值为x y X2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2y2(x y)(、x . y)(、x . y) 方程(3x 1)270可变形为(3x 1- 7)(3x 1 、一 7)0正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 2、以17与1. 7为根的一元二次方程是()A.x22x60B.x2

7、2x 60c . y22y60D .y2 2y 60 3、写出-个一元一次方程，要求1次项系数不为1，且两根互为倒数：写出一个一元-一次方程,要求二:次项系数不为1，且两根互为相反数 4、若实数x、y满足x y 3 x y 20，则x+y的值为(B、-1 或 2C、1 或-2A、-1 或-22 15、方程：x2冷 2的解是x类型三、配方法2ax bx c 0 a 02ab2 4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。例2、已知x、y为实数，求代数式2x 4y 7的最小值。例 3、已知 x2

8、y2 4x 6y 130,y为实数，求xy的值。例4、分解因式：4x212x 31、试用配方法说明210x 7x 4的值恒小于0。 2、已知 x2xx1x40,则 x 1.x3、若 t 2.3x212x 9，则t的最大值为，最小值为。21、关于x的方程xpxq0的两根同为负数，则()A. p0 且 q0b. p0且q0C. p0D . p0且q 00 V m 10 m v 1 D、类型四、公式法条件：a 0,且 b2 4ac 0公式：x b Vb2 4aC, a 0,且b2 4ac 02a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 31 x 26. x 3 x 68. x2 4x 102 3x

9、4x 10 3 x 1 3x 1x 1 2x 5说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式 法；一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式：(1)x2 2.2x 3 ；( 2)4x2 8x 1. 2x2 4xy 5y2说明：对于二次三项式ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2 bx c=0,求出两根，再写成2ax bx c = a(x x1)(x x2).例2、如果x x 10，那么代数式x2x2 7的值。2例3、已知a是一元二次方程 x 3x 10的一根，求2a2 5aa211的值。分解结果是否把二

10、次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去类型五、“降次思想”的应用求代数式的值；解二兀二次方程组。典型例题：例1、已知x 1 3x21x2 3x 20，求代数式的值。x1说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进 行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幕化为低次 幕，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组2x y 6,(1)x2 5xy 6y20.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.考点四、根的判别式 b

11、2 4ac根的判别式的作用: 定根的个数； 求待定系数的值; 应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程x22、kx 10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是例2、关于x的方程m 1 x2 2mxm 0有实数根，则 m的取值范围是(A. m0且m1B. m 0C. m 1D. m 1例3、已知关于x的方程x2k 2 x 2k 0(1) 求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式9x (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式即：若b2 4ac

12、0，则二次三项式ax2bx c (a 0)为完全平方式；反之，若4ac 0.2 2ax bx c (a 0)为完全平方式，则 bx有两组相等的实数解，并求此解; 有两组不相等的实数解； 没有实数解 2y26,例5、m为何值时，方程组mx y 3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?针对练习： 1、当 k时，关 2、当k取何值时，多项式2 3、已知方程mxmx 4、k为何值时，方程组x的二次三项式3x2 4x 2k 是2x kx 9是完全平方式。个完全平方式？这个完全平方式是什么?2 0有两个不相等的实数根，则m的值是y kx 2, y2 4x 2y 10.(1)(2)(3) 5、当k取何值

13、时,方程2 2x 4mx 4x 3m 2m 4k 0的根与 m均为有理数?考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：1、关于x的方程m1 x22mx 30有两个实数根，则 只有一个根，则 m为2、不解方程，判断关于x的方程x2 2 x k2k3根的情况。3、如果关于x的方程x kx 20及方程xx 2k 0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、根与系数的关系前提：对于ax2bx c 0而言，当满足a 0、0时,才能用韦达定理。22x 8x 70的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.、3B.3C.6主要内容：x1 x2 ,x1x2a

14、应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握a b、a b、 ab、 ab2之间的运算关系.2、解方程组:(1) % y 10, xy 24;10,2.2说明：一些含有y、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外,往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题 有时，后者显得更为简便.例3、已知关于X的方程k X 2k 1 X 10有两个不相等的实数根 XX2，（1 ）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不 存在，请说明理由。例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1 ）时，小明因看错常数项，而得到解为 8和