胡不归问题模型

1、胡不归问题模型及其应用原噩重现；（来源；高邮市鳞化学校独立练习（6 ） 如即所示r抛物线y32 - 2x 7与x轴交于a、b两点,过日的侬交抛物线于e , htanzeb a =4/3 ,有一只蚂蚁从a出发，先以1单位人的速度睫到浅段be上的点d处，再以l25单位a的 速度沿着de腰到e点处觅食，则蚂蚁从a到e的最短时间臬 5 .图1要想解决这个所谓”难题，不得不提起tb蓍名的、大名师鼎的、古老的“胡不归”问题.一，模型典故（“胡不归”问题）,下文来源于网翳有一则古老的历史故事：说的是一个身在他多的啾子常题父亲病危的消息后便日夜赶路回 家.然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了.

2、人们告诉他，在弥留之际，老 人在不断嘀哺地叨念：“胡不归1胡不归？皿”里期的科学家冒为这则古老传说中的小伙子设想了一条路线：如图1-1所示.a是出发他，b是 目的堆；ac是一条驿道r而驿道靠目的地的一侧全是沙土地帚,为了恿切回家,小伙子选择了 直例程ab.但是r他忽略了在驿道上行走要比在砂土把带行走快的这一因素.如果他育维 条合适的速线（尽管这条路境长一些，但是速度却可以加ft ）,是可以提前抵达家二的.图1“那么，他应读选择那条路线呷?显然，根需两种路面的状况和在其上彳亍走的速度值，可以在a c上选定一点d,小伙子从a走到。.然后从d折往b r可望最早到达目的地b.用现代的数学谱言袅达出来就

3、是：已知在驿道印砂城上行走的速度分别为vi和v2 .在ac上找一定点d ,使从a至d,再从d至b 的行走时间屋短.于是，问题在于如何去找出d点.这个古老的“胡不归”问题风成了t多年，一直到十七世纪 中叶.才由法国著名科学家莞尔马里开了它的面纱.第得,这里二、模型解决第一步（谩出时间t,将假学同箱丁门化h设总.时间为h则t=+ 要求的救是t的最小值，这是一个系效不为1的值i可黑，而且有两个系散均不为h第二步（提取x大系效，化为只有一个系数不为】的曷值间割）；一般情况下.遇 到两个系数不为1加最值问题j首克呼符及樗化为里个系蚊不为1的晶值间堰，这个转化 还是比较好实现的，只熏提取一个系数出来即可？

4、间是，读提取哪个系融比较好电？一锻情况下，提取蓟僖比较大的那个系融：基本例来说，由匚工知h的表达式中两个系毂 ,因而应该拼眼l出耒，即l 匕k-可编辑修改-* ad + ds)*2匕;如何求解匕 0+ db注意这里叫与场均为常翻,这样要求i的最小值，只要求addb 值即可j从而问题徒转化为单个系数不为1的最值句题，第三步（构造三的由il化为系静均为1的常燃星值同成）的最小僖问题呢？还是要想办法处理不为1的系整i，将系热都化为l 但是问题来了，此时明显不能再用提取系数的办点了！那咋办？ 融学是门神奇的科学，只有你理不到，没有蛆鲍不到的！联想到初中阶段学到的税角三甬函数，可以构造一个直甬三角形，将

5、不为1的系数无 形中化为1,这也是解决所谓胡不归问题的核心与难点所在，昌体操作如下工由匕1联想到三角画数露 如图i所示，过定点a在直线ac的下方构造锐角/ 匕caez=ttf 使其洒足 sinu -/-rf*1y dgv再过动点d作dg1 ae于点g,则sin a =，从而有dg= ad j匕 ad匕图17荽求也nd-de的最小值间题，就披顺利精化为普g +05的最小值向薮变成了一个系数均为1的常规最值问题需要特别提醒大家的是，这里的关键角。是依托于哪些考虑作出来的呢？注意到最原始的“胡不归”问题是一个.两定一就型”最值问题，只不过半数不为1 了而已： 如量1-2，点a和点b星两个定点，点d5

6、t动点，且定点a与动点d在同一条定直线ac上; 上面的角坦实就是依托于这里的定点a及定直线ac做出的r即过定点a作一条射线与定直统 ac所交锐良为隽口即可！说到底就是“抓不变量”的解题策睹,依托于定点a及定直式ac作 角口 r便jti靖足sinci =v2/v1 r即可顺利将所谓胡不归 嚼st转化为系数均为1的常规 曷值问题!第四步（科用垂线段最短埠理”，解决系麴均为1的常规最侑问题）：注意到构造 的ae也是一条定射线，要求qg + de的最小值问题，其实就是在商定直线ac. ae ! 分别找点d g,且dg1ae,使dg + de最小.先利用“网点之间线段最短易知dg+ds 3,当且仅当8、

7、d. g三点共线时取等与如图1-3所示,再利用“垂练段最矩”只需过点b作bg_la于点g,此时bg蠹小, 则bg与ac的交点即为所要寻找的点diad + db) = (dgdb)之 1%二!1 j sin jlbag ,其中匚、ab及乙&wg均为鬲值，故所求时阍的聂小值为工760n乙r4g.匕至此,“胡不归”模型得到完芙解决！如果建章一息的父亲能够坚持到j_yb 5出/hg这个时间，那么就能第见他的儿子最后一面了！三，原题解决,回到秽们最初的离is上.设蚂貌从点a到点e所需的时间为t,如图it,则t=些+匹=4d +生里，要求的就是t的最小值，即.4)+蝮的馥小值$11.2555很明显，这就是

8、一个曲型的“胡不归”同魅，可按骐上述解决横型的步骤进行操作图7图1-6-可编辑修改-第一步（构三角融数，化系数为1）；由系数联想到三鱼的数值,如图卜5所示,4过定直线eb上的定点e在直线eb的上方构造银用/eef=*使苴满足,奥=:，4 dg4再过动点d作dg1ef于点、g,则sina =1=3/ r从而有dg=- de *这样t=jd+ 4n-=ad+dg,传化为了常规的系数均为1的最值问题步 5第二步（寻踵目特殊性，重新调整图形）：但先不要忙于计宜，我们还饕敏锐地意识1a到此熟肓个房很特殊j那就是tsneea=- j由此易知式必eea=-,因而刚刚找们所作 35的/bef=-eea,从而发

9、现此药的特殊性，即即“工轴，接下来我|j把图形调整成图1-63第三步（利用“率线再修语原理”，解决系数均为1的常规是值问题）注黄到构造 的ef也是一条定射线，要求aadg的最小信问照，且实就是在两定直线eb. ef上分别找 点 d、gj 且 dg_lef,使 ad+dg 品小.先利用“两点之阍线段是短易知hd + dg之hg ,当且仅当灭、d、心三点.共线时 取等号,加图h7所示，再利用“垂线殴最矩”只需过点儿作ag，ef于点g,此时ag最小, 则ag与ef的交点即为所要寻我的点d因而t= ad - =ad+dgag,故所求时间t的偎小值即为ag的长，即点e的纵坐粽的值，下面求比豆e的坐标即可

10、j第四步（求定点e的坐标）：这里提供两种方法求点e的坐标：方法一（求交点坐悚）：设直线eb与y相交于点,如图14所示，由距易加点b的坐标为（3, 0）,在riamob中由如0n=4,则点j坐标为0, 4）j3由b 3, 0）及富0, 4可得直线eb的解析式为y=-g 4联立直线ee与抛物线的解析式得：e ，4-即32厂3=工+ 4 ,即 3-可编辑修改-3昼日小解之得c舍去）,故点h的坐稔为; 3339因此，所求时间t=.0+3 的品小值为包. 59此照搞定，所谓的“难js”看来也不是太难啊，玩的都是“套路”！解题后反思：平时套躇”积累多了，真的遇到了所谓的套路题.同学们就能立于不败之 把了

11、！砂也给我们的教学一定的启发性，即应该重视模型教学这一块！有人说“成也模型， 败也模型”，但我想说如黑真的不讲模型或者说不先经历模型过程，真的想跳出模型达到更高 境界也是痴心妄想！初中阶段学生还是应该审视模型三语景与应用过程,可以这样说.每一节 新课.每一道题目可能都能称之为一个侬其实名称都是回事,或者说叫某某侬也无所 谓之所以起名称.更主要的还是希望学生能撤到“顾名思义”之效，信燃达到熟能生巧之目 的！【来龙】川有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙孑得知父亲病危的消息后便日夜赶路回 家4然而，当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他,在弥留之际, 老人还在不断1南喃的叨念

12、；蠲胡不归？胡不归？ ”早期的科学家曾为这则古老的传说中的d啾子设想了一条路线（见图工是出发地, 3是目的地1hc罡一条骁道醐道靠目的地而睚息眇土地带。为了急切回家，小伙 子选择了直线路程押但是他忽了在骚道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他熊选择一条合适 的路线c尽置这条路线长一丝，但是速度可以加快，是可以提前抵达冢门的一那之这应该是哪条路线呢？显然艮据两种路面白徽况和在其上面行走的速度值.可以在we上选定一点。，小伙子从/走到。，需后从a折住心可望最早到达用h代的科学语言表达就是：“已知在骚道矛呦地上行走的速度分别为n和i、在c上求一个定点d,使得ta8的行走时间最短4 于是问题在

13、于如何去找出d点* ,【建模】a起点t和终点5固定，在过尺点的定直线上取一点q,使得了=曳十竺的信最小， vi 的可以转化为求（旧二之或。/型的最值问题* rarmmm【解模】/县体例干：如图，一条笔直的公路/穿过草原，公路边营一消防站a,距离公路5千米 的地方有一居民点& 4 b的添施离是13千米.一天，居民点e着火，消防员受命欲前 往救火，若消防车在公路卜的最快伸度是即千米m对，而在草地上的最快速度是8千米/ 小时，则消防车在出发后最快经过一小时可到达居民点民（友情提解:消防车可从公路 的任意位置进入草地行襄.）解析】设消防车从公路上点d进入草地行则楣是加含十黑 的最小值，问题立即转化为求

14、:da +db的最小值。接下来就是“套路” ；构造一条线段等干:井籽新线段与色钻殳3接起来3在 初中数学中我|详习过三个“一半内定理：w直角三角形中30锐角所对直龟边等于斜边 一半口瓶300-g f三角形中位线平ft董三边回班第三边长的一半j直角三角形斜油二的中线等于斜边的一半,它fffi好字线速倍分关系的利器。我f出庄居一,决任务：在直线1的下方作/以必与0，过点q作del.f于点“，则d隹-da v2再往下来就太容易了一问!fi转为求折线段05mh的最小值.你会解决了吗？直接上图算了 .由“垂线留最矩” 的基本数学事实出发，可以过点e作药lu/干点尸，交hc于点。则点。即为所求，此时 lt

15、f=-dx、2由对贮角形显然有/cffd .tqig而acbd可解,求比cd和ed的长后，就能求 出此题的最终答案了*，zcbd =30, cd105m、【归纳】-胡不归问题模里的解题方案：*中叩l将所求线段和转换为。必tm的形式（以上题为例，mm在直线i的轩ab的一侧作n%使其正弦值为 mw3:过点3向上口的另一边上引垂线段，其与直线1的交点很（1为所嵬一的翎；轲下的就是计算了，可借助e角函数、相似形、勾股定理等知识完成。【用模】重点感受一下中考里面是如何考查“胡不归问题”的. +例h如图,在7ce中,g4=cef /04卬 00经过点例目图的直径如在线段越 上./（1）试说明比是。的切线，

16、+，（3）若（?甲.延边上的离为瓦试用含h的代数式表示00的直径.空孑，o）谀点,d是残段总c上任意一点（不含端点）,连接8,当2c2。0的最小值为6时, 求o。的直径期的长.a3lca-ce, zc45=30 ?.ze=zc4s=3o zjcoe-2za- f ,zoce-3o，是0。的怩妇/(2过点c作改l15于h,连接0c,如图2/由题可得ctfm,在取10hc中，ch咚w退8h，的3$指8=返8,2,oc=&-2f,，d3=2oc=g心 */3 33(3)作of平分zlaoc,交。干尸，连接.里 cf、df,机s3则zuo产二nc(istf1-,) =60d. .oa=of=ocf /.zl4o7, zicof 是等边三角形j七uoofg /，四边修“cf是薨孙，根据对称t生可得而肛?.小过点。作连h1oc于