浙江专用高考数学新增分大一轮复习第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.9函数模型及其应用讲义含解析

1、 3.9函数模型及其应用取新考纲考情考向分析1. 了解指数函数、对数函数以及幕函数的变 化特征.2. 能将一些简单的实际问题转化为相应的函 数问题，并给予解决.考查根据实际问题建立函数模型解决问题的 能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、 不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高 档难度.基础知识自主学习 回扣早础知识 训练皐砒题目 知识梳理1 几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x) = ax+ b (a, b为常数，a*0)反比例函数模型kf (x) = 一 + b ( k, b 为常数且 k* 0) x二次函数模型f (x) = ax2 + bx+ c( a, b, c 为常数

2、，a*0)指数函数模型f (x) = bax+ c(a, b, c 为常数，b*0, a0 且 a* 1)对数函数模型f (x) = blog ax+ c( a, b, c 为常数，b*0, a0且 a* 1)i幕函数模型f(x) = ax + b (a, b为常数，a*0)2 三种函数模型的性质、函数 性质xy= a (al)y = log ax(al)ny= x (n0)在(0,+)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐 渐表现为与y 轴平行随x的增大逐渐表现为与X轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个 xo,当xxo时，有lognxa

3、XX a【概念方法微思考丨请用框图概括解函数应用题的一般步骤.提示解函数应用题的步骤基础自测题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“ X”） 某种商品进价为每件 100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售， 则每件还能获利.（X ） 函数y = 2x的函数值比y = X2的函数值大.（X ）不存在 xo,使 eX） x01）的增长速度会超过并远远大于y = xa（a0）的增长速度.（V ）“指数爆炸”是指数型函数y = a bx+ c（a0, b0,1）增长速度越来越快的形象比喻.（X ）题组二教材改编2. P102例3某工厂一年中各月份的收入、支出情

4、况的统计图如图所示，则下列说法中错误 的是（）（注;结余二收人-支出）A. 收入最高值与收入最低值的比是3 ：1B. 结余最高的月份是 7月C. 1至2月份的收入的变化率与 4至5月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为 40万元答案 D解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3 ： 1,故A正确； 由题图可知，7月份的结余最高，为 80 20 = 60（万元），故B正确；由题图可知，1至2月 份的收入的变化率与 4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前 6个月的1平均收入为6X （40 + 60 + 30+ 30 + 50+ 60） = 45

5、（万元），故D错误.3. P104例5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x1 2万件时的生产成本为qx）= 2X2 + 2x + 20（万元）一万件售价为 20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件.答案 181 2解析 利润 L（x） = 20x C（x） = 2（x 18） + 142,当x = 18时，L（x）有最大值.4. P112A组T7 枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h= 130t 5t2,则该函数的定义域是.答案 0,26解析 令h0,解得0W t 26,故所求定义域为0,26.题组三易错自纠5 .国家规定个人

6、稿费纳税办法：不超过 800元的不纳税；超过 800元而不超过4000元的按 超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书， 共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为（）A. 2800 元B. 3000 元C. 3800 元D. 3818 元答案 C解析 由题意，知纳税额 y（单位：元）与稿费（扣税前）x（单位：元）之间的函数关系式为0, x 800,y = 0.14 x 800 , 8004000.由于此人纳税420元，所以 8004000 时，令 0.112X = 420,解得 x= 3750（舍去），故这个人应得稿费（扣税前）为3800

7、元.6 .某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为 q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 .答案 .p+ 1 q+ 1 1解析 设年平均增长率为 x，则（1 + x）2= （1 + p）（1 + q）, x =马1 + p 1 + q 1.7.已知某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y= alog3（x+ 1），设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 只.答案 200解析由题意知 100 = alog 3（2 + 1） , a= 100, y = 100log 3（x+ 1）.当 x= 8 时，y= 100log 39= 200.题型分类深度剖析再

8、砸典题尿度刮析还点难点爭唯探究题型一 用函数图象刻画变化过程口；褒近1.高为H,满缸水量为 V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流 出，若鱼缸水深为 h时水的体积为v,则函数v = f（h）的大致图象是（）答案 B解析 v = f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的19路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A, C.又

9、因为小王在乙地休息10分钟，故排除B,故选D.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程. 下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶 5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C. 甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 根据图象所给数据，逐个验证选项.根据图象知，当行驶速度大于 40千米/时时，消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于 5千米， 故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，

10、因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为 10千米/升，行 驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项 C错；最高限速80千米/时，丙车的燃油 效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2) 验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.题型二 已知函数模型的实际问题”厅灯以汁

11、例1(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p= at2+ bt + c(a, b, c是常 数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为分钟.0.7答案 3.75解析根据图表，把(t , p)的三组数据(3,0.7) , (4,0.8), (5,0.5)分别代入函数关系式,0.7 = 9a + 3b+ c,联立方程组得0.8 = 16a + 4b+ c,0.5 = 25a + 5b+ c,7a + b= 0.1 ,a = 0.2 ,消去c化简得i解得丿b =

12、 1.5 ,9a + b= 0.3 ,& = 2.21 (15225、451(15 1315所以p=- o.2t + 1.5t - 2=-5严-R +而丿+届2= 5兀f+届，所以当t =匸=3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.(2)某商场从生产厂家以每件 20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量 Q单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q= 8300 170p- p2,则 最大毛利润为(毛利润=销售收入进货支出 )()B. 60 元A. 30 元C. 28000 元D. 23000 元答案 D解析 设毛利润为L( p)元，则由题意知L

13、(p) = pQ- 20Q= Qp 20)2=(8300 170p p)( p 20)32=p 150p + 11700p 166000,2所以 L(p) =- 3p - 300P+ 11700.令 L(p) = 0，解得 p= 30 或 p=- 130(舍去).当 p (0,30)时，L(p)0，当 p (30,+)时，L(p)0, m是不超过 m的最大整数(如3 = 3, 3.7 = 3, 3.1 = 3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为 元.答案 4.24解析 / m= 6.5 , m = 6,则 f (6.5) = 1.06 X (0.5 X 6+ 1) = 4.24.(2)西北

14、某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L= 51- l，X+i(x0)，则2 匕 X/当年广告费投入 万元时，该公司的年利润最大.答案 4x 8 I-解析T 2+ 一2 4= 4(x0),2 xIx 8、当且仅当x= 4时，了+一 min = 4,幺x7.当题型三 构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费 y元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案 19解析 由图象可求得一

15、次函数的解析式为y = 30x 570,令30x 570= 0,解得x= 19.(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A. y = 2x 2B. y = (x2- 1)C. y= log 2x答案 B解析 由题中表可知函数在(0,+)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快, 分析选项可知B符合，故选B.命题点2构造指数函数、对数函数模型例3 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相

16、等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的；(1) 求每年砍伐面积的百分比；(2) 到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x4a，即(1 x) -7，n3（1迈（1苹n 3 -I:，即,解得 nW 15.12 丿12 丿10 2故今后最多还能砍伐 15年.a命题点3构造y = x+ -（a0）型函数X例4（1）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大， 每辆客车营

17、运年数为.答案 5解析 根据图象求得y= （x 6）2+ 11,y年平均利润-=12 x当且仅当x= 5时等号成立.25 x + 10,x要使平均利润最大，客车营运年数为5. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60 （如图），考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素， 设计其横断面要求面积为 93平方米，且高度不低于.3米.记 防洪堤横断面的腰长为 x米，外周长（梯形的上底线段 BC与两腰长的和）为y米.要使防洪堤 的上面与两侧面的水泥用料最省 （即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长x=米.答案 2 ,318 x解析由题意可得BO -(2 W x6),x 2183x18当且仅

18、当x x6),即x = 2 3时等号成立.命题点4构造分段函数模型例5已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为 R(x)万美元，x x2400 6x, 040.(1) 写出年利润 W万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年 利润.解 (1)当 040时，W xR(x) (16 x+ 40)=40000x16x + 7360.6x2 + 384x 40 , 0x40.x当 040 时，厝16x+ 736

19、0 ,x由于40000x+ 16x240000x 16x= 1600当且仅当4000016x,即 x = 50 (40,+s)时，取等号所以W取最大值5760.综合，当年产量 x= 32万只时，W取最大值6104万美元.思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的 限制.跟踪训练2(1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%1每过滤一次可使杂质含量减少3，至少应过滤 次才能达到市场要求.(参考数据：Ig2 0.301 0, Ig3 0.4771

20、)答案 81 云 n 0.1%,3解析设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%1 所以nlg |- 1-lg2，所以心7.39，所以n= 8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店， 经过预算，该门面需要装修费为 20000元，每天需 要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响， 专卖店销售总收益 R(元)C1则当总利润最大时，该门400x -x2, 0x400,面经营的天数是.答案 300解析由题意，总利润1400x -x2 100x 20000, 0 x400,1 2当 OW x w 400 时，y =-2(x - 300) + 25000,所以当 x= 300 时，ym

21、ax= 25000;当 x400 时，y= 60000 - 100x20000.综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为 25000元.核贮素养之数学抽象用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量，图形关系中抽象出数学概念，并且用数学符号和术语予以表征.例(1)调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL,在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过 小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时)

22、答案 4解析 设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1 - 0.5) n 15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车. 已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用 )，求公司获得最大利润时，每套房月租金应定为多少元？解 设利润为 y 元，租金定为 3000+ 50x(0 w xw 70，x “ 元.贝U y= (3000 + 50x)(70 -x) 阳8 + x

23、+ 70 x -100(70 - x) = (2900 + 50x)(70 - x) = 50(58 + x)(70 - x) w 50，当且仅当 58+ x = 70-x，即x = 6时，等号成立，故每月租金定为3000 + 300= 3300(元)时，公司获得最大利润.素养提升例题中通过用字母表示变量，将酒后驾车时间抽象为不等式问题，将租房最大利润抽象为函数的最值问题.课时件业N基础保分练1 .某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快， 后3年年产量保持不变，则该厂 6年来这种产品的总产量C与时间t （年）的函数关系图象正确的是（ABO 36 iC答案 A解析 前3

24、年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选 A.2 . （2018 温州质检）某种型号的电脑自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的5000元降到2560元，则平均每次降价的百分率是（）A. 10%B. 15%C. 16%D. 20%答案 D3解析 设平均每次降价的百分率为X,则由题意得 5000（1 X） = 2560，解得x = 0.2，即平均每次降价的百分率为20%故选D.3.将进货单价为 80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价 1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为（）B. 90

25、 元A. 85 元C. 95 元D. 100 元答案 C2解析 设每个售价定为 X元，则利润 y = (X 80)400 - (x 90) 20 = 20 ( x 95) 225 ,当 x = 95 时，y 最大.4 .国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为 p%超过280万元的部分按（p+ 2）%征税，有一公司的实际缴税比例为（p+ 0.25）%，则该公司的年收入是（）A. 560万元B. 420万元C. 350万元D. 320万元答案 D解析 设该公司的年收入为x万元（x280），则有280 X p% x 280 p+ 2 %=（p+ 0.25）% ,解得x= 320.故

26、该公司的年收入为 320万元.5 .某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：Ig1.12疋0.05 , Ig1.3疋0.11:Ig2 0.30）（）A. 2017 年B. 2018 年C. 2019 年D. 2020 年答案 D200 万元，贝U 130X (1解析 设从2016年起，过了 n（n N）年该民企全年投入的研发资金超过20lgn= 4，贝U n+ 2016 = 2020.故选n130.30 0.11+ 12%) 20

27、0,贝U n沁=3.8，由题意取lg1.120.05D.6 .某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10卅的，按每立方米m元收费；用水超过10m的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费 16m元，则该职 工这个月实际用水为（）A. 13niB. 14m5C. 18m5D. 26nfmx 0x10, 则 10计（x-10） -2 m= 16m 解得 x = 13.7 .某种病毒经30分钟繁殖为原来的 2倍，且知病毒的繁殖规律为y= e* （其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），贝y k=，经过5小时，1个病毒能繁殖为个.答案 2ln2 1024Ik解析当

28、 t = 0.5 时，y = 2,. 2= e2 ,2t ln210ln210k = 2ln2 ,. y= e ，当 t = 5 时，y= e = 2 = 1024.8. 某人根据经验绘制了 2018年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y（千克）随时间x（天）变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿千克.答案19094002310= k + b,解析式得130= 10k + b,解析 前10天满足一次函数关系，设为y= kx + b（kz0）,将点（1,10）和点（10,30）代入函数20702070解得 k = 9, b=6，所以 y= 6x+,

29、则当x= 6时，y=罟.9. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为ym则由相似三角形性质可得x 40 y40_ 40解得 y= 40 x,所以面积 S= x(40 x) = x + 40x2=(x 20) + 400(0x0)，贝U A=t2,D= at 12= t *a 2 + 4a2,当t = 2a,即A= 1a2时，D取得最大值.v 2可2km,那么这批物资全部11. 某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以vkm/h的速度直达灾区，已知某市到 灾区公路线长400km,为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于到达灾区的最少时间是 h.（车身长度不计）答案 12解析设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了36 X+ 400 km所用的时间，因此,当且仅当36v400，即v=響时取“=v3200故这些汽车以-km/h的速度匀速行驶时，所需时间最