期中复习3推理和证明(20210428034329)

1、期中复习 3 推理与证明 、知识点梳理 1、合情推理：归纳推理和类比推理 归纳推理： 根据一类事物的部分对象具有某种性质， 推出这类事物的所有对象都具有这 种性质的推理，叫做归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 归纳推理的一般步骤： 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。 类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有 与另一类事物类似（或相同）的性质的推理，叫做类比推理（简称类比） 。类比推理是一种 从特殊到特殊的推理。 类比推理的一般步骤： （ 1）找出两类事物之间的相似性或一致性； （ 2）用一

2、类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）； （ 3 ）一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两 个事物在某些性质上相同或类似， 那么它们在另一些性质上也可能相同或类似， 类比的结论 可能是真的； （ 4）在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关， 那么类比得出的命题就越可靠。 合情推理所得的结论只是一种猜测， 它可能是正确的， 可能是错误的。 若有反例则猜测 错误，若正确则需逻辑证明。 2、演绎推理： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、定理、公理等） ，按照严格的逻辑法 则得到新结论的过程 .,演绎推

3、理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式 “三段论 ” 大前提 - 已知的一般原理，因为， M 是 P 小前提-所研究的特殊情况，因为， S是M 结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断所以，S是P 演绎推理所得到的结论必是正确的。 3、数学证明大法： （1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证， 最后推导出所要证明的结论成立的一种证法 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，禾U用已知的数学定理、性质和公 式，推出结论。 （2 ）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件

4、、定理、定义、公理等）为止. 分析法的思维特点是： 执果索因，一步一步寻求结论成立的充分条件，其逻辑特征是步 步逆推； （3）反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错 误，从而证明了原命题成立一种证明方法。 反证法的步骤：1）假设命题的结论不成立， 即假设结论的反面成立；2）从这个假设出发， 通过推理论证，得出矛盾；3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 （4）数学归纳法：对一个与正自然数有关的数学命题 （1）证明：当n取第一个值no结论正确； （2） 假设当n =k（k N*，且kno）时结论正确，证明当 n=k+1时结论也正确. 由，可知，命题对于

5、从 no开始的所有正整数 n都正确 常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。 4、其它数学证法： （1）放缩法（ 2）函数单调性法（3）构造法：构造函数、构造方程、构造二项式、构造几 何图形等（4 ） “A”法（5 ）数形结合法（6）换元法：代数换元、三角换元（7）分类讨 论法（8）导数法法。（9 ）先猜后证法。等等. 、典例讨论： 例1 : （1 ）下面给出了关于复数的四种类比推理： 复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则； 由向量a的性质|a|2= a2类比得到复数z的性质|z|2=z2； - 2 2 方程axbx c 0 （a, b, c R）有两个不同实数根的条件是b

6、 4ac 0可以类 2 2 比得到：方程az bz c 0 （a, b, c C）有两个不同复数根的条件是b 4ac 0 ; 由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 其中类比错误的是 A.B.C. D. 答案：D 。解析：由复数的性质可知。 （2）定义A B, B C, C D, D A的运算分别对应下图中的 （1）、（2）、（3）、（4），那 A ）、（ B）所对应的运算结果可能是 （1）（ 2）（ 3）（ 4）（ A）（ B） A. B D, A D B. B D, A C C. B C, A D D. C D, A D 答案：B。 （3） 在平面几何里，可以得出正确结论：正三

7、角形的切圆半径等于这正三角形的高的 1 -”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的切球半径等于这个正四面体的 3 高的。 1 答案：r -h。解析：采用解法类比。 4 （4）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数 函数中可抽象出f （X1 X2）f（X1）f（X2）的性质；从对数函数中可抽象出 f（X1 X2） f（X1） f（X2）的性质。那么从函数 （写出一个具体函数即可） 可抽象出f （X1 X2）f（X1） f（X2）的性质。 答案：y=2x。解析：形如函数 y=kx （k工0）即可，答案不惟 （5）利用数学归纳法证明 n* (n 1)( n

8、 2) (n n) 21 3(2n1), n N ”时，从“ n k” 变到 n k T时，左边应增乘的因式是() 2k 1 厂(2k1)(2k2) 2k 3 A 2k 1 B CD k 1 k 1 k 1 答案：c。 (6)命题“关于 x的方程ax 0(a0)的解是唯一的”的结论的否定是 () A、无解 B、两解 C、至少两解D、无解或至少两解 答案：D。解析：“否定”必须包括所有的反面情形。 例2 :(分析法)KBC 的三个角A、B、C成等差数列，求证: 1 答案：证明：要证 a b 3 ，即需证u a c a b ca b 3。即证 又需证c(b c) a(a b) (a b)(b c)

9、，需证 c2 a2 ac b2 念BC三个角A、B、C成等差数列。 B=60 。 由余弦定理，有 b2 c2 a2 2cacos 60，即 b2 c2 a2 ac。 c2 a2 ac b2成立，命题得证。 例3: 33 已知：sin 30 sin 90 sin150 -; sin5 sin 65 sin 1253 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的正确的命题并给出证明。 2223 答案：一般形式：sin sin (60 ) sin (120 )- 2 证明：左边 1 cos 2 1 cos(2 120 )1 cos(2 240 ) 2 2 2 3 1cos2 2 2 1 cos2 2

10、cos(2 120 ) cos(2 cos2 cosl20 sin2 sin 120 240 ) cos2cos240 sin 2 sin240 3 11 cos 2 cos 2 2 22 2in2 2 1 cos2 2 .3 3 s2 = 2右边 2 (将一般形式写成sin ( 60、) 2 sin sin2(60) 2 2 sin (240 ) sin ( 120) .2 sin 3等均正确。) 2 例4 :请你把不等式“若 2 a1 a1, a2是正实数，则有 a2 2 a2 a1 ai a2”推广到一般情形，并 证明你的结论。 答案: 推广的结论: 右 a1, a2, ,an都是正数, 2 a1 a2 2 as 2 an an 1 a1 2 an -a1 a2an 证明：va1,a2, ,an都是正数 2 a2 a2 2a1 2 a1 a1 2a2 2 an 1 an ，an 2a 2 an 1 a1 ai 2an 22 aa? a2a3 2 an an 1 2 an a1 ai a2 an 例5:已知函数f(n)(n N )，满足条件：f (2)2 : f(x y) f(x) f(y)； f(n) N y时，有 f(x) f(y). (1)求 f (1)， f (3)的值; (2)由 f (1)， f (2)，f (3)的值，猜想f(n)的解析式