(完整word)MIMO非线性系统的反馈线性化初步理论

1、非线性系统控制理论 第五章 MIMO非线性系统的反馈线性化初步理论 引言: 对于多输入多输出系统仍可以用下列紧缩的形式的方程来描述: 108 x f(x) g(x)u y h(x) (*)x Rn 若输入的个数与输出的个数的数目相同时，可令 uCol(U|,.,um)(m1) yCol(yi,.,ym)(m1) g(x)gi(x),gm(x)(nm) f (x)Colfi(x),.,fn(x)(n1) h(x)Colhi(x),.,hm(x)(m 1) f (x), g1 (x),., gm(x)均是光滑的向量场，h1(x)，,hm(x)是光滑的函数 均定义在Rn的某个开集上 5.1向量相对阶

2、和总相对阶： 一个多变量非线性系统(*)，在x处有向量相对阶r1,., rm是指: 1 j m (i) LgjLfhi (x) 0 对所有： 1 i mx x的邻域 k ri 1 (ii) m m矩阵 L Lf gx) Lg 1h1(x) Lg A(x)g1 L： 1 h2(x). Lgm 口 h(x) Lg Lrf hm(X) Lg m Lrfm 1hm(x) 在x x处是非奇异的 即行向量不是零向量，否则矩阵A(x )就是奇异的了。所以对某个yi来 说至少有一个Uj，对这样的单输入单输出系统说来，它在x处的相对 阶就是ri，而对于其他可以选择的Uk说来，其在x处相应的相对阶如 果存在的话，

3、一定大于或等于这个 * (3) ri也是在t t0时刻，从yi(t)的微分中得到至少u(t)中一个分量 的显式表示时所需要微分的次数。 (4) 若系统在x x0处有向量相对阶口,.,肯，则行向量 dhi(x0),dLf hi(x0),dLf gx0) dh2(x0),dLfh2(x0),.,dL； %&0) dhm(x0),dLfhm(x0dLf h(x0) 是线性无关的。 证明该性质可以仿照单输入单输出的思路： 若riri， 2 im，构造两个矩阵： Q Col(dh1(x),.,dLr； 1h1 (x), dh2 (x),.,dLrf整数r1,.,rm中的某个斤是与系统第i个输出hi(x)

4、有关的。行向 :Lg1Lrf 1 2hi (x),.,Lgm Lrf1 hi (x)，至少有一个元素是非零的， 1h2 (x),.,dhm(x),.,dLrfn 1hm(x) P Col(gi(x),.,gm(x),.,ad；1 1gi(x),.,adf1 1gm(x) 然后将QP相乘，再对它的行重新排列后，矩阵就呈现一个块三角的 结构，其对角线上的块组成A(x)矩阵的行。由A(x)的非奇异性即可证 明QP的行是线性无关的，因而Q的行也是线性无关的。 (5) 当系统的输入数目大于输出数目时，向量相对阶定义中的条件 (ii),A(x0)阵的非奇异性用该矩阵的秩等于它的行数(也就是输出通 道的个数

5、)来代替。实际多输入多输出系统关键的是输入的数目。所 谓输出是看效果的地方，所以采集某个量、观察某个量都可以看作是 输出。 (6) rri 2 . rm称为总相对阶，且有r n。 5.2局部坐标变换和标准形 若系统在x0处有向量相对阶ri,., rm，称r ria . rm为总相 对阶，则r n。设1 i m ,贝U对于某一指定的i，取下列映射: 1(x) hi(x) 2(x) Lfhi(x) r(x)Lf1h(x) 当r严格小于n时，总可以找到另外n r个函数r i(x). n(x)，使得 z (x) Col：(x), i2(x),，im(x),，m(X),，r 1(X),，n(x) 在x0

6、处的雅可比矩阵是非奇异的，则(X)就有资格作坐标变换。一般 来说，附加的变换函数r l(x),., n(x)是可以任选的，但是当分布 Spangi ,.,gm在x0处是对合的, 则与SISO情况相似，总可以找 到 r i(x)，n(x)，使 Lgji(X)0 r 1 i n 1 j m 1 1 x x0的邻域 1 1r1 则利用上述坐标变换后, n r 新坐标表示的系统方程可以分成 (m+1 )组: d 11 dt d 2 1 2(t) dt 3(t) ? nL；h1(X) m LgjLr； 1h1(x) Uj j 1 m d(z)a1j(z) Uj j 1 1 y11 其中 d(z) d(,

7、 )Lr； h1 (1(,) an(z) a1 j( ,)LgjLfh1(1( ,) 1 n1 M) 注意前式Uj中所乘的系数Lgj Lr； 1h1(x)正是A(x)阵中的第(1, j)项 第i组： ? i 1 2(t) ? i 2 3(t) i ri 1 i ri yi m Lr；hi(x)LgjLrf 1hi(x) Uj j 1 J i 1 m bi(z)aj(z) Uj j 1 再令 1r 1(X) nrn 对一般情况下： ?m q( , )Pj( , ) Uj q( , ) P( , )u j i 若分布GSpangi,.,gm是对合的，又由此可得i (x)满足: Lgj i (x)0

8、 则该方程可简化成 ? q(,) 将以上各组合并起来就得到多输入多输出系统的标准形。 5.3零动态 由输出零化的概念同样可以定义零动态。 由于输出及其各阶导数为零，可得： m(x) Lfhx) . Lr； 1m(x)0 hm(x) Lf hm(x) . Lrfm 1hm(x) 0 m 及 y(ri)(t) bi(0, )aj(0, ) Uj 0(共 m个) j i 写成矩阵和向量的形式则有： b(0, )A(0, )u 0 其中 Lr1 h (x) b(x) 1( 1(0,) r Lmhm(x) A(x)其中就是以前定义向量相对阶时的矩阵，所以: 1 u(t) A(0,)b(0,) 是 qo(

9、0, (t)在(0)0下的解 对一般情况： 1 q( , ) P( , )A( , ) b(,) 对零动态，则在 (0) 0, (0)0下求解。 5.4参考输出复制问题 若参考输出 yR(t)Col(yiR(t),.,ymR(t) 其中 R(t) R(t) yiR)(t) yip(t) R(t)i；R(t)1 R(t) (U yiR i) m(t) r(0),而内动态 (0) 0可以任取 则类似推导后可得： (i)初始时刻对准，即(0) (ii)取 u(t) A1( R(t),(t)( b( R(t),(t).) 其中为下列方程的解: ymrR)(t) ylR) (t) q( R(t), )

10、p( R(t), ) A1( R(t), )( b( R(t),).) ymrR) (t) (0) 同样可以将 yR u(t) . u(t) 解释为原系统的逆实现。 5.5反馈线性化： 当ri 2. rm r n时，可以实现状态反馈精确线性化(此时没有 内部动态)。即取： 1 u(t) (x)(x) A (x) b(x) 当ri r2. rm r n时，可以实现输入输出精确线性化(此时有内 部动态)，但解的式子与上面的表达式一样。 5.6输入输出解耦控制(或互不影响的控制) 问题的提法： 给定一个非线性系统 m x f(x) gi(x)Ui i 1 yihi( x) ym hm(x) 给定初始

11、状态x0及x0的邻域U。，找一个静态状态反馈控制律 m Uii(x) j(x) j j 1 使闭环系统 x m f(x) gi(x) i 1 m m i(x)( gi(x) ij(x) j j 1 i 1 y1g(x) Ym hm(x) 的每一输出Yi，1 i m，只受相应的输入i的影响，而与其他 j(i j)无关。 这个问题当用标准形来研究时是很简单的，因为： i i 1 2 i i ri 1ri m ribi( , )aj( , )Uj j 1 q( , ) p( , ) u 则取: U1 u . A1( , ) b(,) U2 时，其中为下列方程的解: q( , ) p( , )A1( , )b( , ) p( (0) 则上述式子中 i