(完整版)解三角形专题题型归纳

1、 6 解三角形知识点、题型与方法归纳 、知识点归纳(注重细节，熟记考点) 1正弦定理及其变形 a sin A 变式： bc 2R (R为三角形外接圆半径) sin B sin C (1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式) (2) si nA,si nB,si nC(角化边公式) 2R2R2R (3 a: b: c sin A:si nB:si nC 一、a sin A a sin A b sin B b sin B c sin C c sin C 2 正弦定理适用情况： (1) 已知两角及任一边； (2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) b2

2、 2 c 2 a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 .2 2 a b c cos A cosB cosC 2ab (2)已知三边. 3 余弦定理及其推论 2 22 ab c 2bccosA b a c 2accosB 222 cab 2abcosC 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; 注.解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作 用)，统一成边的形式或角的形式 5. 常用的三角形面积公式 1 (1 ) S ABC 底 2 1 (2) S二一 absi nC 2 6. 三角形中常用结论 1 1 acsin Bbcsin A 2 4cR为

3、ABC外接圆半径 (两边夹一角)； (1) a b c, b c (2) 在 ABC中, A (3) 在 ABC 中，A B a, a tan A B tanC ； b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边) ，所以 sin A B sinC : cos A B cosC ； A B CAB. C sincos , cossin 2 2 2 2 7. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图 ） （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B

4、点的方位角为a （如图） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的, 而方位角是相对于正北方向而言的。 （3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图） 如：北偏东即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向; “东北方向”表示北偏东（或东偏北）45 . （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角B为坡角） 、题型示例（注重基础，熟记方法） 考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用 1 在 VABC 中，若/ A= 60 / B= 45 BC = 32,则 AC=() A. 4 3B. 2 3C.3D.于 2.在 VABC 中，a2 b2 c23bc，则 A

5、等于() A. 60B. 45C. 120D. 150 考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 3.设VABC的内角 代B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC ccosB asi nA,则VABC的形 状为（） A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定 4 .若厶 ABC 的三个内角满足 sin A : sinB :sinC 3:5:7，则 ABC（） A . 一定是锐角三角形B . 一定是直角三角形 C . 一定是钝角三角形D .可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5. cos A b 在ABC中，若歸二a， 则厶ABC是（ A .等腰三角形B .等边三角

6、形C.直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积 6. 在 ABC 中，AB . 3 , AC 1, A 30，贝U ABC 面积为（） A .迈B .乜C.乜或、3 D . 1!或二 24242 7. 已知ABC的三边长a 3,b 5,c 6，贝U ABC的面积为（） A . 币 B. 2.14C.、15D. 2T5 考点四：利用正余弦定理求角 8. 在锐角中 ABC,角A,B所对的边长分别为a,b.若2a s in B3b,则角A等于（） A.B.C.D. 12643 9. 在厶ABC中，若a= 18，b = 24，A= 45则此三角形有 （） A .无

7、解B .两解C. 一解D .解的个数不确定 1 10. 在 ABC ,内角 A, B,C 所对的边长分别为 a,b, c. a si n BcosC cs in B cos A b,且 a b, 2 则 B () 2 5 A. B. C. D. 6 3 3 6 考点五： 正余弦定理实际应用问题 11. 如图: A，B是海面上位于东西方向相距 5 3 73海里的两个观测点，现位于 A点北偏东45，B点 北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20.3海里的C点的救援 船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达 D点需要多长时间？ tan A tanB

8、cosB cosA 三、高考真题赏析 1. （2016年山东）在厶ABC中，角A，B，C的对边分别为a, b，c，已知2（tanA tanB） (I)证明：a+b=2c; （n）求cosC的最小值. cos A cos B sin C 2. (2016年四川)在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 a b c (I)证明：sin AsinB sinC ； (ll )若 b2 c2 a26be，求 tan B . 5 3. (2016年全国I) ABC的内角a, B, C的对边分别为a, b, c,已知2cosC(acosB+b cosA) c. (I)求 C； (II )若c 7, ABC的面积为3，求 ABC的周长. 2 4. （2015高考新课标2） ABC中，D是BC上的点，AD平分 BAC , ABD面积是 ADC面积的2倍 sin B2 （I ）求；（II ）若 AD 1 , DC ，求 BD 和 AC 的长. sin C2 5. (2015高考四川，理19)如图，A, B, C, D为平面四边 形ABCD的四个内角. A 1 cosA (1) 证明：tan; 2si nA ABCD 的值. (2) 若 A C 180o,AB 6,BC 3,CD 4,AD 5,求tan tan tan tan 2 2 2 2 6. (2013级绵阳一诊，19)已