从高考真题到课本原型

1、从高考真题到课本原型对 2014 年的向量高考真题进行简要分析，我们就会 发现其中以考查平面向量的线性运算、模、夹角、垂直与平 行、基底、数量积这些基础知识的居多，大约有十多个省市 把对向量内容的考查作为高考试卷上的低中档题 .而从知识 交汇点考查思维能力和创新意识的试题有天津卷、陕西卷、 湖南卷和安徽卷，这些试题对考生的要求比较高 .对于高考备考， 我们一向强调夯实基础， 回归课本 .能力 的提高不可能是空中楼阁，也必须从扎实的基本功中提炼升 华而来 .细看向量高考题， 不难在课本中找到它们的 “影子” .考查平面向量的线性运算、垂直或平行例1(全国新课标卷)设D , E, F分别为 ABC

2、的三边BC , CA , AB的中点，贝U EB+FC=()A. BC B. 12ADC. AD D. 12BC解析 EB+FC= (EC+CB) +(FB+BC) =12AC+CB+12AB+BC=12(AC+AB ) =AD.原型 这道题直接考查平面向量的线性运算，解题思路 中涉及相反向量及平行四边形加法法贝，平行四边形两条对 角线互相平分等内容 .与此题最接近的是必修 4 课本第 89 面的例 7：?ABCD 的两条对角线相交于点M，且AB=a t, AD=b宀，你能用 a, bT表示MA , MB , MC和MD吗？关于平面向量的线性运算， 必修 4 课本第 92面习题 2.2A 组第

3、 11、12 题,第 118面复习参考题 A 组第 4 题都进行了 相关训练 .例2 （北京卷）已知向量a, b满足a=1, b=2 , 1, 且入a+b=0入 R，贝H入=.解析 此题的设问是入=?,而题目条件支持我们轻松 求出向量a和b的模，因此应该先将条件中的等式变形得 到b=-入a入 R，再运用数乘运算的概念来解决问题：入=|b|a|=51=5.原型 关于数乘的概念,必修 4 课本第 118 面复习参考 题 A 组第 2 题的第（ 4）小题以选择题的形式专门进行了考 查.在 2014 年高考试题中还多次出现对向量垂直的考查, 涉及的试卷有湖北卷、重庆卷和全国大纲卷 .例 3 （湖北卷）

4、设向量 a=（3, 3） , b=（1, -1） , 若（a+入b）（ a-入b）,则实数入.解析T a + 入 b = （3+ 入，3-入）， a-入 b = （3-入，由（a+ 入 b）（ a-入 b）知，（3+ X ） （3-入）+ （3- X ） （ 3+ 入）=0 , X = 3.原型 课本原型是必修 4课本第 118面复习参考题 A 组 第 12 题.通过向量垂直的已知条件，得到向量的数量积为零 的等式，再依据向量数量积的坐标运算或是由向量的模与数 量积的关系a- ?a-=a- 2=|a|2求解出答案.考查向量的模和数量积 山东卷比较单纯地考查了数量积的概念以及其坐标表 示.例 4

5、 （山东卷） 已知向量 a-=（1， 3）， b-=（3， m） .若向量a-, b-的夹角为n 6，则实数m=（）A. 23 B. 3 C. 0 D. -3解析 由 a ?b- =a ?b- cos n 6 得，cos n 6=32=a?b -a-?b-=3+3m2?9+m2 ，解得 m=3.原型 难度与必修 4课本 107面的例 6相当.属于基本难 度的考题 .江西卷的文科第 12 题则重点考查了向量的模与数量积 的关系 （ a-+b-） 2=a-2+2a-?b-+b-2=a-+b-2.例5 （江西卷）已知单位向量e1 ,e2的夹角为a ,且 cos a =13，若向量 a=3e1 -2e

6、2,则 |a|=.解析a2=a2=3e1 -2e22=3e12+2e22-12e1?e2=9+4-12cos a =9，解 得a=3.原型 它的原型来自必修 4 课本 108 面习题 2.4 的 A 组第 1 题 .对向量数量积进行考查的还有江苏卷的第 12题.例 6 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB=8 ， AD=5 ， CP=3PD ， AP?BP=2 ，则 AB?AD 的值是 .解析 这道题属于中档题，已知条件是数量积，求解的 也是数量积 . 因此要分析条件和求解向量之间的关系 .于是 我们产生这样的想法，以 AB 和 AD 为基底，表示 AP 和BP ，再由已知 AP?BP

7、=2 得到关于 AB?AD 的等式，从而求 出结果 .原型 向量的数量积是把向量的长度和三角函数联系 了起来，为解决相关的几何问题提供了方便，是一种重要的 思想方法 . 因此同学们在复习中应该熟练掌握.比如在必修 5正余弦定理的证明中就用到了向量数量积的方法，使得证明 过程简洁明了 .考查平面向量的夹角例 7 （四川卷）平面向量 a=（1， 2）， b=（4， 2）， c=ma+b （m R）,且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m= ()A.-2B.-1C.1D.2解法 1 c= (m+4, 2m+2), 又 cosc， a=c?a|c|?|a|， cosc， b=c?b|c|?|b|， c?

8、a|c|?|a|=c?b|c|?|b|.又|b|=2|a|, 2c?a=c?b.即2 (m+4) +2(2m+2) =4(m+4) +2(2m+2)， m=2.解法 2 由 a =5, b =25, a ?b=8 可得，c?a = (ma +b) ?a=ma2+b?a =5m+8.c?b=( ma+b) ?b=ma?b+b2=8m+20. 5m+85=8m+2025 ,. m=2.解法 3 对于某些向量问题， 如果能够发现其几何意义， 并依据几何意义解题会使求解过程非常轻松 .以这道题目为 例.因为c=ma+b，且c与a的夹角等于c与b的夹角，由 平行四边形法则可知，以ma 和b为邻边，c为对

9、角线 的平行四边形是菱形，所以ma =b，又因为a =5, b =25， 所以 m=2.原型 用数形结合思想可以回避不少运算，体现了“多 想少算”的解题策略 .在课本上也设计了几道与向量相关的几 何意义的训练题，它们分别是必修4课本第108面B组第4 题，第118面复习参考题A组第11题、B组第2和第3题. 向量复习时可以重点练习、体会 .考查平面向量的基本定理 平面向量基本定理是平面向量正交分解和坐标表示的 基础，但有些同学在平时的学习中不够重视，因此在复习中 强化对定理的充分认识和理解是很有必要的 .例 8 （福建卷）在下列向量组中，可以把向量 a=（ 3， 2）表示出来的是（）A. e1

10、=（0， 0）， e2=（1， 2）B. e1=（-1， 2）， e2=（5， -2）C. e1=（3， 5）， e2=（6， 10）D. e1=（2， -3）， e2=（-2， 3）原型 这道题目单纯考查平面向量的基本定理中“基 底”的概念，它的原型是必修 4课本第 118面复习参考题 A 组第 2 题的第（ 6）小题，只是把课本原题的选项中向量的 坐标稍作修改 .考查平面向量与其他知识的交汇 数学的系统性决定了数学知识之间必然会存在联系 .向 量与高中数学一些主干知识， 如三角、 立体几何、 解析几何、 不等式等都存在着深刻的联系 .它们之间容易形成知识的综 合或交汇 .因此，向量与其它知

11、识交汇自然受到高考命题者的 青睐，应该引起重视 .1. 平面向量与二次函数交汇例9(浙江卷)设9 为两个非零向量a, b的夹角，已知对任意实数t , |b+ta|的最小值为1,()A. 若9 确定，惟|a|惟一确定B. 若9 确定，惟|b|惟一确定C. 若|a|确定，惟9 惟一确定D. 若|b|确定，惟9 惟一确定解析 令二次函数 f (t) =|b+ta|2=|a|2t2+2a?bt+|b|2， |a产 0,|b产 0,则当t=-a?b|a|2=-|b|cos9 |a|时，(t)有最小值为|b|2sin29 , |b|2sin2 9 =1.因此，当9 确定时，|b|惟一确定.2. 平面向量与

12、三角函数或解析几何交汇例10 (湖南卷)在平面直角坐标系中，0为原点，A (-1, 0), B (0, 3), C (3, 0),动点D满足|CD|=1 , 则|0A|+0B+0D的最大值是解法1由CD=1知，点D在圆心为C (3, 0)，半径为 1 的圆上，可设D (3+cos 9 , sin 9 ),9 R. OA+OB+OD= (2+cos 9 , 3+sin 9), OA+OB+OD=8+23sin 9 +4cos 9 =8+27sin ( 9 + ),利用三角函数知识可知，当且仅当sin ( 9 + $) =1时，OA+OB+OD 有最大值 7+1.解法 2 由解析几何知识知， 因为

13、动点 D 的轨迹是以 C 为圆心的单位圆，所以D点的轨迹方程为：(x-3) 2+y2=1.又OA+OB+OD= (x-1 , y+3),OA+OB+OD= (x-1 ) 2+ (y+3) 2,于是问题转化为求圆C : (x-3) 2+y2=1上的点到点M (1， -3) 距离的最大值，最大值为 CM+1=7+1.3. 平面向量与线性规划交汇例 11 (陕西卷) 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1， 1), B (2, 3), C (3, 2)，点P (x, y)在 ABC三边 围成的区域(含边界)上.设OP=mAB+nAC (m ,n R), 用x , y表示m-n，并求m-n的最大值.解析T OP=mAB+nAC , (x, y) = ( m+2n , 2m+n),即 x=m+2n , y=2m+n. 两式相减得： y-x=m-n.于是将问题转化为求y-x在 ABC内部及边界求最大 值的问题.令y-x=t ,由线性规划知识可知,当直线 y=x+t 过点B (2 , 3)时，t取得最大值1,所以m-n的最大值为 1.原型 与其它数学知识交汇的平面向量试题在课本的很多地方都可以见到 复习的时候要注意 . 如人教版必修 4课本第108面习题2.4B组第2题就是利用平面向量数