人口指数增长模型和Logistic模型

1、根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长 模型和Logistic 模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合 效果的图形。表1美国人口统计数据年份11790180018101820 |1830 j18401850人口 ( X :3.95.37.29.6 12.9 17.123.2106)i:i:年份1860187018801890：1900 j19101920人口 ( X :31.438.650.262.9 f76.0 92.0106.106):115年份1930194019501960 !1970 !1980 .UB.人口（ X 1123.

2、131.150.179. j204. j226.106)2773：0! 5提示:指数增长模型：x（t） xeLogistic 模型：x tm1 心 1 e X0解：模型一：指数增长模型Malthus模型的基本假设下,人口的增长率为常数,Word文档记为r，记时刻t的人口为x（t），（即x（t）为模型的状态变量）且初始时刻的人dxrx口为x0，因为dt由假设可知x(t) x0ert经拟合得到：x(0)X。x(t)x0ertIn x(t) In x0 rt y a1t a2y In x(t), ai r,a2 In x()r 印，冷 ea2程序：t=1790:10:1980;x(t)=3.95.3

3、 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ;y=log(x(t);a=polyfit(t,y,1)r=a(1),x0=exp(a(2)x1=x0.*exp(r.*t);plot(t,x(t),r,t,x1,b)结果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为：x(t) xe0.0214t，其中x0 = 1.2480e-016 ，输入：t=2010;x0 = 1.2480e-01

4、6; x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529 。即在此模型下到 2010年人口大约为598.3529106模型二：阻滞增长模型(或Logistic 模型)由于资源、环境等因素对人口 增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设r(x) r(1 x/xm),其中r为固有增长率(x很小时)，Xm于是得到如下微分方程:为人口容量(资源、环境能容纳的最大数量)，dxx、rx(1 )dtXmx(0) x建立函数文件curvefit_fun2.mfun ctio n f=curvefit_f un2 (a,t) f=a(1)./

5、(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-a (2) *(t-1790);在命令文件 main.m中调用函数文件 curvefit_fun2.m%定义向量(数组)x=1790:10:1990;y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 .92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 251.4; plot(x,y,*,x,y); %画点，并且画一直线把各点连起来hold on;a0=0.001,1; % 初值%最重要的函数，第1个参数是函数名(一个同名的 m文件定义)，第2个参 数是初值

6、，第3、4个参数是已知数据点a=lsqcurvefit(curvefit_fu n2,a0,x,y);disp(a= nu m2str(a); %显示结果%画图检验结果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_f un 2(a,xi);plot(xi,yi,r);%预测2010年的数据x仁 2010;y1=curvefit_fu n2(a,x1)hold off运行结果：a=311.95310.02798178其中a(1)、a(2)分别表示x ty1 =267.1947m 中的Xm和r，y1则是对美国美1xm1 ert国2010年的人口的估计第二题：问题重述：一垂钓俱乐部鼓励垂钓者

7、将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给与鼓 励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量 的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长）：身长(cm)36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）76548211627374821389652454胸围(cm)24.821.327.924.821.631.822.921.6问题分析:鲈鱼的体重主要与鱼的身长、胸围有关系。一般来说，鲈鱼的胸围越大，鱼 的体重会越重，身长越长，体重也越重。但鱼的胸围与身长之间又有些必然的联 系，共同影响鱼的体重。建模的目的是寻

8、求鲈鱼体重与身长、 胸围之间的数量规 律模型假设：1、鲈鱼的身长越长体重越重，体重与身长存在正相关关系；2、鲈鱼的胸围越大体重也越重，体重与胸围存在正相关的关系；3、鲈鱼的胸围、身长互相影响，共同作用鲈鱼的体重；4、鲈鱼的形态近似为与胸围等周长与身长等高的圆柱体。 符号说明：L鲈鱼的身长C鲈鱼的胸围W鲈鱼的体重模型的建立及求解：（一）、鲈鱼体重与身长模型的确立为了研究鲈鱼身长与体重的关系，我们利用已测量的数据，取出身长及体重 的数据，利用MATLAB件画出散点图，如下：身长与体重散点图从图形上看，鲈鱼的体重与身长可能是二次函数关系，我们利用多项式拟合的方法，得到：2W 1.6247*L -59

9、.3124*L +709.7392身长与体重拟合图根据拟合的函数，我们画出拟合图：2000180016001400120010008006004002003032343638404244464850从拟合图上看，大部分原始数据在拟合函数附近，说明用二次函数拟合的效果较 好，下面利用得出的函数对鱼的体重进行估计， 用相对误差检验拟合度，得到下表：表一、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表身长（cm）31.832.132.135.936.836.843.845.1重量（g）48248245465273776511621389拟合值（g）466.6479.9479.9674.4727.3727.312

10、28.81339.4相对误差（%3.20.445.73.444.935.753.570.86从表中的数据，我们可以得出鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大, 说明用二次函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。（二）、鲈鱼体重与胸围的模型确立仅仅考虑鲈鱼胸围对体重的影响，我们采用与模型一相同的方法，先画出鲈 鱼体重与胸围的散点图：从图形上看，鲈鱼体重与胸围可能成线性关系，利用多项式拟合的方法，我们得 到鲈鱼体重与胸围的函数表达式：W 92*C-1497.5（2）根据拟合函数（2），画出胸围与体重关系的拟合图：2200200018001600140012001000800600400200胸围与体

11、重拟合图2022242628303234363840利用拟合函数及实际数据，求出实际值与拟合值得相对误差表:表二、鲈鱼体重实际值与估计值对比及误差表胸围（cm）21.321.621.622.924.824.827.931.8重量（g）48248245465273776511621389拟合值（cm）462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相对误差（%4.131.607.866.556.392.507.982.81从鲈鱼胸围与体重的拟合图，及表二中的数据，我们可以得出用线性函数拟合胸围与体重的关系拟合程度高，鲈鱼体重的实际值与估计值的相对误差不大， 说

12、明用线性函数拟合鲈鱼身长与体重的关系式可行的。（三八 建立体重与身长、胸围相互影响的模型实际情况下，鲈鱼的体重不可能只由身长、胸围单方面影响，因此考虑建立 身长、胸围共同作用体重的模型。此模型的建立是基于假设，（4），即：鲈鱼的体态用与胸围等周长，与身 长等高的圆柱形来近似。因为圆柱体的体积等于底面积乘高，底面积可以用周长C22表示：.因此可以分析得出 W LC2.又物体质量等于密度与体积的乘积，因 4此只需根据数据求出密度即可。于是身长、胸围与体重的关系可以表示为：W LC2，问题转化为对系数 的求解。根据已知数据，利用MATLAB件求解,得到:0.0327(3)因此，W 0.0327LC2(4)利用得出的函数对鱼的体重进行估测并列如下表:表三