北京市通州区2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析

1、通州区2019- 2020学年第一学期高三年级期末考试数学试卷第一部分（选择题共40分）一?选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1已知集合 A x2x1,B x1x3,则 AUB （）A. x 2 x 3B. x 1 x 1C. x 1 x 3D.x 2 x 1【答案】A【解析】【分析】根据并集运算法则求解即可.【详解】由题：集合 A x 2 X 1 , B x 1 x 3 ,则 AU B x 2 x 3 .故选：A【点睛】此题考查根据描述法表示的集合，并求两个集合的并集1 i2.在复平面内，复数（其中i是虚数单位）对应的点位于（

2、）iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，得出其在复平面内的点，即可判定位置【详解】由题：复数1 i i1 1 i，i i1在复平面内对应的点为1,1 ，位于第一象限.故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算和复数对应复平面内的点的辨析，关键在于准确计算，熟 练掌握几何意义3.已知点A( 2, a)为抛物线y 4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则AF等于()A. 4B. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】写出焦点坐标，根据抛物线上点到焦点距离公式即可求解【详解】由题：点 A(2,a)为抛物线y24x图象上一点，点F为抛物线的焦点，所以F 1,0，

3、InIny ,所以D正确.【详解】由题:y 0 ,根据反比例函数性质3?y ,tanX tany，所以B错;若Xy0 ,根据指数函数性质（2）x（2）y所以C错；若Xy0 ,根据对数函数性质In XIn y ,所以D正确故选：D【点睛】此题考查不等式的基本性质，结合不等关系和函数单调性进行判断，也可考虑特值 法推翻命题.5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的长度为 （）止视團側视图册视图A. 2、7B. 4 2C. 2.11D. 4、3【答案】C【解析】【分析】 根据三视图还原几何体，即可求解【详解】根据三视图还原几何体如图所示：其中AB AC , PC 平面ABC ,由图可得：CP

4、 AC 4, AB 2,3 ,所以 BC 2、,7, AP 4、2 2：J，BP . PC2 BC2.44 2.11 4 2，所以最长的棱长2,11.故选：C【点睛】此题考查根据三视图还原几何体，计算几何体中的棱长，关键在于正确认识三视图，准确还原6甲？乙?丙?丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A. 24B. 12C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】根据特殊元素优先考虑原则，先排乙，再排甲，结合左右对称原则求解【详解】由题：老师站中间，第一步：排乙，乙与老师相邻，2种排法；第二步：排甲，此时甲有两个位置可以站，

5、2种排法；第三步：排剩下两位同学，2种排法，所以共8种.故选：C【点睛】此题考查计数原理，关键在于弄清计数方法，根据分步和分类计数原理解决实际问7对于向量a , b ,”是“0 ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算法则:rr raa b”不能推出“0”能够推出rr rraa b”是“b0”的必要不充分条件rr raa barrrrrr【详解】当b2a0时，满足aabrrrrrrr若b0，则aba ,所以aab5所以“,不能推出故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的关系判断，关键在于弄清向量间的关系，正确辨

6、析 即可2X 18关于函数f （x） X ax 1 e有以下三个判断 函数恒有两个零点且两个零点之积为-1 ； 函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1 ； 若X2是函数的一个极值点，则函数极小值为-1.其中正确判断的个数有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】函数的零点个数即 X2 ax 1 0的根的个数，利用判别式求解；对函数求导讨论导函数的零点问题即可得极值关系【详解】因为ex1 0 ,方程X2 ax 1 0， =a2 4 0，所以关于X的方程x2 ax 1 0一定有两个实根，且两根之积为 -1,所以f () (X ax 1)ex恒有两个零点且两个零点之

7、积为-1,即正确；f x x2 a 2 x a 1 ex 1 ， ex 1 0 ，对于 x2 a 2 x a 1 0，2 2 2a 24 a 1 a2 8 0 ,所以 x a 2 x a 1 0 恒有两个不等实根, 且导函数在这两个实根附近左右异号,两根之积为 a 1,函数恒有两个极值点且两个极值点之积 为a 1 ,所以错误；若 x 2是函数的一个极值点 , f 2 4 2a 4 a 1 0,则 a 1,2x1f x x x 1 e ,2x1x1f x x x 2 e x 2 x 1 e ,x , 2 U 1, , f x 0, x 2,1 ,f x 0,所以函数的增区间为2 , 1, ,减区

8、间为 2,1 ,所以函数的极小值为11 ,所以正确故选：C【点睛】此题考查函数零点问题,利用导函数导论单调性和极值问题,综合性比较强第二部分(非选择题 共110分)二?填空题:本大题共 6小题,每小题 5分,共30分.a若m19.已知向量 a【答案】 5【解析】【分析】根据向量垂直,数量积为 0 列方程求解即可详解】由题：a (a b),所以 a (a b)20，a a b 0所以 9 43 2m 0 ，解得： m 5.故答案为： 5【点睛】此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直， 数量积为O建立方程计算求解10.在公差不为零的等差数列 an中，a=2,且a1,a3, a7依次成等比数

9、列,那么数列an的前n项和Sn等于.1 3【答案】n2n2 2【解析】【分析】根据a,a3,a7依次成等比数列，求出公差，即可求解.【详解】在公差不为零的等差数列an中,a=2,设公差为d,d Ort2且a, a3, a7依次成等比数列，即2 2d 2 2 6d ，d2 d O，d 0,所以 d 1，n n 113所以数列an的前n项和Sn 2n1- n2- n.2 22故答案为：1 n23 n2 2【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，根据等比中项的关系列出方程解出公差，根据公式进行数列求和.11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为C-2, 0),且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程

10、为.【答案】2 y21【解析】【分析】根据两条渐近线互相垂直得出渐近线方程，即求出b的值，结合焦点坐标即可求解 .a2 2【详解】由题双曲线焦点在X轴，设双曲线方程 笃每 1, a 0,b 0，a b 两条渐近线互相垂直，即1 ,得a b，a a又因为右焦点坐标为 (2, 0),所以a2 b22，解得a b 1 ,所以双曲线的标准方程为：X2 y2 1.故答案为：2 y21【点睛】此题考查根据渐近线的关系结合焦点坐标求双曲线的基本量，进而得出双曲线的标 准方程，考查通式通法和基本计算12在 ABC 中,a 3, b 2.6, B 2 A,则 COSB .1【答案】-3【解析】【分析】根据正弦定

11、理建立等量关系求解即可【详解】在 ABC中,由正弦定理得：- SnE，a Sin A2 .6 sin 2A3 Sin A2、. 6 2sin AcosA C A2cos A3 Sin A所以cos A 32 6 1cosB cos2A 2cos A 121.931故答案为：-3【点睛】此题考查正弦定理的应用，结合三角恒等变换二倍角公式，求三角函数值，关键在 于准确掌握基本计算方法正确求解13.已知a,b,a m均为大于0的实数，给出下列五个论,余下的论断:a b,a b,m 0,m 0,-m -.以其中的两个论断为条件a m a断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题 .【答案】推出（答案不

12、唯一还可以推出等）【解析】【分析】 选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一【详解】已知a,b,a m均为大于O的实数，选择推出.a b ,m O ,b m b ab am ab bm am bm a b m则O,a m aa a ma a m a a mb m b所以a m a故答案为：推出【点睛】此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高14.如图，某城市中心花园的边界是圆心为O,直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公路 I,花园中间有一条公路 AB（AB是圆O的直径）,规划在公路I上选两个点P,Q,并修

13、建两段直线型 道路PB, QA.规划要求：道路PB, QA不穿过花园.已知OC I , BD l（ C?D为垂足）,测得 OC=0.9, BD=1.2（单位:千米）.已知修建道路费用为 m元/千米.在规划要求下，修建道路总费 用的最小值为元.【答案】2.1m【解析】【分析】根据几何关系考虑道路不穿过花园，求解最小距离，即可得到最小费用尸D2C C【详解】 L.Bi-*i* I J；* - 一 K如图：过点 B作直线BP AB交I于P ,取BD与圆的交点 M，连接 MA, MB ,贝U MA MB , 过点A作直线AQ AB交I于Q ,过点A作直线AC I交I于C ,根据图象关系可得，直线上，点

14、P左侧的点与B连成线段不经过圆内部,点Q右侧的点与A连成的线段不经过圆的内部，最短距离之和即 PB AC，3 根据几何关系： PBD BAM QAC，Sin BAM -，5所以 GQS PBD GQS BAMGQS QAC45，所以BP1.5，BDAC2OC ,所以AC0.6，最小距离为2.1千米.修建道路总费用的最小值为2.1m元故答案为：2.1m【点睛】此题考查与圆相关的几何性质，根据几何性质解决实际问题，需要注意合理地将实 际问题抽象成纯几何问题求解 .三?解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数f(X)2cos(x )Sin X .(1)求

15、f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,才上的最大值和最小值【答案】(1)；(2)最小值0;最大值-32【解析】【分析】(1)对函数进行三角恒等变换得即可得最小正周期;2 整体考虑2X 3孑的取值范围，求出最大值和最小值【详解】解：1f (x) 2cos(x 3)SinX 2(空COSX品i in 2X)Sin X1Sin 2x23(1 cos2x) sin(2x )23(1) f(x)最小正周期T=；2(2)因为X0,所以 2x所以当23,即X当2x 3f(0)0 ；0时,f()取得最小值1 ,2所以f(x)在区间0,【点睛】此题考查利刃区间上的值域，关键在于利用公式准确16为了解某

16、地区初中交学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，表2,即X过40 %的学校为先进校.各1 .512(X)取得最大值f上的最小值角恒等变换对的体质健康情子,及格,不求最小正周期,统计了该.良好及其以上的比例之和比例学校等级学校A学校B学校C学校D学校F学校G学校H学校E优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%等级学生人数占该校学(1)从8所学校中随机选出一所学校 ，求该校为先进校的概率;(2) 从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中

17、不及格比例低于30%勺学校个数为X,求X的分布列；(3) 设8所学校优秀比例的方差为 Si2,良好及其以下比例之和的方差为S22,比较Si2与S22的大小.(只写出结果)1【答案】(1)； (2)见解析；(3) S2=S222【解析】【分析】(1) 统计出健康测试成绩达到良好及其以上的学校个数，即可得到先进校的概率；(2) 根据表格可得：学生不及格率低于30%勺学校有学校B?F?H三所，所以X的取值为0, 1,2, 分别计算出概率即可得到分布列；(3) 考虑优秀的比例为随机变量Y,则良好及以下的比例之和为Z=1-Y,根据方差关系可得两个方差相等【详解】解：(1)8所学校中有 ABEF四所学校学

18、生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ,1所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为 1 ；28所学校中，学生不及格率低于 30%勺学校有学校B?F?H三所，所以X的取值为0, 1, 2.P(X0)P(X1)P(X2)C525Cf14c；c315C8228C33Cf28所以随机变量X的分布列为:X0125153P142828(3)设优秀的比例为随机变量Y,则良好及以下的比例之和为Z=1-Y,所以：Si2=S22【点睛】此题考查简单几何概率模型求概率，求分布列，以及方差关系的辨析，关键在于熟练掌握分布列的求法和方差关系17如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直

19、角梯形，AD/ BC, SAD1.(1)求证:AB 平面SAD;(2)求平面SCD与平面(3)点E, F分别为线段【答案】(1)见解析;【解析】分析】(1)通过证明ABSAB所成的EF的体积.BC, SB 上的/平面SCD)1D得线面垂直;SA, AB(2)匹；13面棱锥= DAB =90 , SA=3, SB=5, AB 4, BC 2, AD(2)结合第一问结论，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，即可得二面角的余弦值;(3)根据面面平行关系得出点F的位置，即可得到体积所以AB SA.因为SAI AD【详解】(1)证明A 3,AB 4,SB 5,又因为 DAB =90所以AB AD

20、,所以AB 平面(2)解：因为SAA, AB AD，建立如图直角坐标系则 A(0,0, 0) B(O,4, O),所以有C(2,4,0), D(1, O, O), S( O, O, 3).平面SAB的法向量为 AD (1,O,O).设平面SDC的法向量为m (X) y, Z)r UiiV mCD O r Uiy m SD O即 X 4y Ox 3z Or11所以平面SDC的法向量为 m (1,)4 3r UUU所以CoSmgSD 12禍石(3)因为平面AEF/平面SCD,平面 AEF I平面 ABCD=AE,平面SCDI平面 ABCD=CD,所以AE PCD ,平面AEF I平面SBC=EF,

21、平面SCDI平面SBC=SC,所以FE Il SC由 AE P CD , AD/ BC得四边形AEDC为平行四边形所以E为BC中点.又 FE H SC,所以F为SB中点.3所以F到平面ABE的距离为一，2 ABE的面积为2,所以VB AEFVF ABE1【点睛】此题考查立体几何中的线面垂直的证明和求二面角的大小，根据面面平行的性质确 定点的位置求锥体体积2 218.已知椭圆C:笃爲a b1 （a0)的长轴长为4,离心率为点P在椭圆C上.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 已知点M (4, 0),点N(0, n),若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围2 2【答案】(I)-1

22、； ( 2)2.5 n 2.54 2【解析】【分析】(1) 根据长轴长和离心率求出标准方程；(2) 取PN的中点为Q,以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，所以 MQ丄NP,根据垂直关系建立等量关系，结合点P的坐标取值范围，即可得解【详解】解:(1)由椭圆的长轴长 2a=4,得a=2又离心率e C 辽，所以G Qa 2所以b22 2 a G 2.22所以椭圆C的方程为：H 1422 2法一：设点P(0, y。)，则况止14 2所以PN的中点Q（生，上）2 2UUUV XCVCn UuyMQ （寸 4,1）, NP （Xo，Vo n），因为以PM为直径的圆恰好经过线段 PN的中点IUIiy U

23、ay所以MQ丄NP,则MQNP 0 ,即(x0 4)xo (y0 n)(yo n) 0, 2 22 2 2又因为,所以型8xo 2 n20,4 222所以 n2 冬 8xo 2,Xo 2,2,22函数 f(x0) x 8x0 2 ,x0 2,2的值域为12,20 2所以0 n220所以 2-、5 n 252 2法二：设点P(X0 , y。)，则旦旦1.42设PN的中点为Q因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点所以MQ是线段PN的垂直平分线，所以MP MN即,(x0 4)2 y。216 n22所以 n28x0 2 ,22函数 f(x) d 8X0 2 ,x0 2,2的值域为12,202所以0

24、 n220,所以 2 .5 n 2,5【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据垂直关系建立等量关系，结合椭圆上的点的坐标特征求出取值范围19.已知函数 f (x) XSinX cosx.(1)求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程;1(2)求函数g() f()丄2零点的个数.4【答案】(1) y 1； (2)零点的个数为2.【解析】【分析】(1) 求出导函数，得出f (O)0 ,f(0)1即可得到切线方程；1 2(2) 根据g() f() X为偶函数，只需讨论在 X (0,)的零点个数，结合导函数分析4单调性即可讨论【详解】解：(1)因为f(X)XCOSX,所以f (0)0，又因

25、为f(0)1，所以曲线y f ()在点(0，f(0)处的切线方程为y 1 ；1 2因为g() f() X为偶函数,g(O)14所以要求g()在X R上零点个数，只需求g()在X (0,)上零点个数即可g () cos X (cosX), X 02 25令 g (X)0,得 X 2k -, X 2k - ，k N33所以g()在(0,)单调递增，在(一,乞)单调递减，在(,)单调递增，3 3 333在(2k-,2k)单调递减，在(2k-,2k-)单调递增k N3333列表得:X0(0,)33(T，5F)-K3(3，3)73711(O，)33113g()0+0-0+0-0g()1/极大值极小值/极大值极小值由上表可以看出g(x)在X 2k -(kN )处取得极大值,在X 2k5 ( k N)处取得极小值,g(S)-g(5T)16 25.3636120；25 2360.当k N*且k3 1时31g(2k-) (2k-)33 22-(2k43)2-(2k41(或 g(x) X 1 1X2, g(2k4-)(2k3E)11 -(2k4所以g(x)在X (0,)上只有-个零点1函数g(x) f (x)X2(X R)零点的个数为2.2S) O)【点睛】此题考查求函数在某点处的切线方程，求函数零点的个数，根据奇偶性分类讨论,结合单调