数值分析课后答案讲解

1、数值计算方法配套答案第一章 绪论本章的学习要求（ 1）会求有效数字。（2）会求函数的误差及误差限。（3）能根据要求进行误差分析。本章应掌握的重点公式1）绝对误差：设 x为精确值， x 为 x的一个近似值，称 e x x为 x 的绝对误差。e2）相对误差： er。x3）绝对误差限：e x x4）相对误差限：xxxx5）一元函数的绝对误差限：设一元函数f x 0, 则 fdfdxx。6）元函数的相对误差限：r ff1ddfxx。7）二元函数的绝对误差限：设一元函数 f x,y 0,则 f8）二元函数的相对误差限：1r ff1y。数值计算方法配套答案三 本章习题解析1. 下列各数都是经过四舍五入得到

2、的近似值， （ 1）试指出它们有几位有效数字， （2）分别X估计 A1 X1 X2 X3 及 A2 X2 的相对误差限。X4x1 1.1021, x2 0.031, x3 385.6,x4 56.430解：（1） x1 有 5 位有效数字， x2 有 2 位有效数字， x3 有 4位有效数字， x4 有 5 位有效 数字。（2）A1 x1x2x3, A1 x2x3, A1 x1x3, A1 x1 x2 ,由题可知： A1 为 A1的近似值，x1x2x3x1 ,x2 ,x3 分别为 x1,x2,x3近似值。所以A1所以 r A1 A1A1A1XA11x1A1X2x2A1X3x3111x1 x2

3、x3x2 x310 4 x1 x310 3 x1 x210 1 0.215A2X2,则有A21 ,A2x22,同理有A2为 A2的近似值，x2 ，x4为 x2，2X 4x2x4x4x4 正方形的边长大约为 100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过1cm 2?x4 的近似值，代入相对误差限公式：A2 r A2 AA2A21A2 XX2A2X4X41 1 10 3 X 2 2 1 10X2 X 4 2X4 2 2X43105解：设正方形的边长为x ，则面积为 S x2 ，dx 2 x ，在这里设 x 为边长的近似值，S为面积的近似值：由题可知：数值计算方法配套答案3.解：slsld相对误差限为：

4、rSS 0.07440.0055 。4.32 3.124.列公式如何计算才比较准确：(1) 当 x 的绝对值充分小时，计算2xe 1 ；2解：2)当 N 的绝对值充分大时，计算3)当 x 的绝对值充分大时，计算1)当 x0时，111 x2 dx ；x1x1x。x2x 2x 2xe2x 1 e2x 1 e2x 14xe1x 3x xe e e2x x x x x x x2 e 12e e e2e e e1即：2x x 1 推出： x 2100 0.005cm 。测得某房间长约 L =4.32m，宽约为 d =3.12m ，且长与宽的误差限均为 0.01m，试问房 间面积 S=Ld 的误差限和相对

5、误差限分别为多少？ss设 s ld 则有： s d， s l。在这里 l，d，S 分别为 l，d， s的近似值： lddd l l d 3.12 0.01 4.32 0.01 0.0744cm23x x x 2x 2xe e e e ex exx2ex ex2)当 N时，N 1 1N 1 X2dx=argtgxN1= argtg N 1 argtgN N= argtg11NN1(3)当 x时，数值计算方法配套答案=2。x x 1x15. 列 yn 满足递推关系 yn =10 yn 1 -1，n=1,2, ，若 y0 = 2 1.41 ，计算到 y10 时误差有多 大？这个计算数值稳定吗？解：已

6、知准确值 y02 ，近似值 y0 1.41，设他们的误差为0 y0 y 0 ，则有：1y1y110 y0110y01 =10 y0 y010 02y2y210y1110y11 =100 y0 y01000以此类推所以 10y10y1010y9110y91=1010 y0y01010010 10 1 2 1 8=1010 2 1.41 1010 2 10 2 2 1086. 计算 f2-1 6 ，取 2 1.4，直接计算和用 1 来计算，哪一个最好？3 2 25解：依题意构造函数 f x x 1 ，则 f I x 6 x 1 ，由绝对误差公式f f x x =6 1.4 1 5 2 1.4 6

7、0.0124 1 10 1 =0.00307227. 求二次方程 x -16x+1=0 的较小正根，要求有 3 位有效数字。解：由求根公式： x 16 16 4 。所以。 x1 8 63， x2 8 63 对比可知：2 1 2较小的根为 x2 8 63 ，由相近数相减原理则有：x28 638 63 8 638 6318 630.06278. 如果利用四位函数表计算 1 cos20，试用不同方法计算并比较结果的误差。解： 1 cos20 1 0.994 0.0062 0 21 cos206.092 10 4sin2 200.0349 21 cos201.9949. 设 x 的相对误差限为 ，求

8、x100 的相对误差限。解：由题意可知： 设 f x x100 ， 则有 f I x 100X 99 在这里设 x 为 X 的近似值， f 为 f数值计算方法配套答案的近似值，由已知 x 的相对误差限为 。110. 已知三角形面积 S= 12 absinc,其中 c 为弧度，满足 0c ，且 a,b,c,的误差分别为a, b ，c 。证明面积误差 s 满足解：由误差定义：ssas c，又因为：s 1bsinc， s 1asinca 2 b 2s1ab cosc ，代入上式可得：c21bsinca1asinc22sbab cosc2两边同除以 s 可得：bsinc s2 s 1 absin ca

9、bsin c 21asinc21 ab sin c2b约分可得：因为： 0cc0. ，2所以命题bbtgcc ，a af99f I x x 100 xxff x x 100所以： f100 x100x数值计算方法配套答案第二章 插值法本章的学习要求（1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。（ 2）会应用插值余项求节点数。（3）会应用均差的性质。本章应掌握的重点公式1）线性插值： L1 x l0 x y0 l1 x y1 。2）抛物插值： L1 x l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2 。n3） n 次插值： Ln x lk x yk 。 k0f n 14）拉格朗日插值余项：

10、Rn x f x Ln x f n 1 x 。5）牛顿插值公式：f xjN X fx0fx0,x1xx0fx0,x1xnxx0xx1x xn1 。6）nx0,x1, xn。j 1 xx0xx1xxj 1xxj1 xxn7）f x0,x1, xnfnn!8）牛顿插值余项： Rn x f x Nn x f x0,x1 xn n 1 x 。数值计算方法配套答案三 本章习题解析1. 给定 x, f x 的一系列离散点（ 1，0），（ 2， 5），（3， 6），（ 4， 3），试求 Lagrange 插值多项试。解：设所求插值多项式为p xL3 Xl 0 xy l1x y l2 x y ，且已知：x1x

11、3x4112x0 1，y0 0， x12，y15，x23，y2 6，x34，y3 3 ，代入插值基函数公式：可得：l x xx1xx2 x x3 =x 试用 Newton 插值公式求一个三次插值多项式 N3 X ，并由此求 f 0.5 的近似值。 x 解：（1） n 3，取 0.5 附近的 4 个点为宜。故取，x0 0，y0 7，x1 1，y1 4，x2 2,y2 5， xx3 3，y3 26。则 L3 X l0 x y0 l1 x y1 l2 x y2 ，按照习题 1 求出插值基l 0 xx0x1x0x2 x0 x3 = 1 2 31 x x x0 x x2 x x3 = x1 x0 x1

12、x2 x1 x32xx1x2x4x x0 x x1 x x3x2 x0 x2 x1 x2 x3化简代入 p x 得 : p x x3 4x2 32. 若 f x2x63x函数。代入 L3 X 。可得： L 3 X x3 2x 7 ，所以： f 0.5 1 2 1 7 5.875x31，求 f30,3136， f30,3137。解: 由 f 6 x 2 6! ，所以 : f 6 2 6! ， f 7 x f 70.由均差的性质 （三）可知: f 30,31 36f 2 6! 2 ， f 30,31 37f 0 06! 6! 7! 7!3. 给定函数表xi012345f x i-7-4526651

13、281） 试用 Lagrange 插值法求一个三次插值多项式 L3 X ，并由此求 f 0.5 的近似值。数值计算方法配套答案2）设牛顿插值多项式为N 3 x f x0 fx,0x1xx0fx, 0x, 1x2xx0 xx1f x0,x1,x2,x3 x x0 x x1 x x2 ，列差商表：xiyi一阶插商二阶插商三阶插商0-71-4325933262161所以： N3 X7 3 x 0 3 x 0 x 1 x 0 x 1 x 2 x3 2x 7 =-5.875n kk4. 设xj为互异节点（ j=0,1,2, ,n）求证：xjl j x x ， k =0,1,2, , n其中l j x 为

14、j0n 次插值基函数。kk证明：根据题意：设 f xxk ，所以有 y f xjxkj ，n n n结合上式所以有：xjl j x f xj l j x l j x yj =Ln xj ，j 0 j 0 j0由余项定理可知： f xj Ln xj Rn x j ，且由定理二可知，当 0 j n时， Rn xj 0所以就有 f xjLn xjxjk 。在这里令变量 xj x ，所以命题：j 0xkjlj x xk，成立。125. 设 f x c2 a,b 且 f a f b 0 ，求证： max f x b a max证明：由题可知： x 0 a,y0 0，x1 b, y1 0，故可构造线性插值

15、多项式即为下式：L1 X l0 x f x0 l1 x f x1 ，记为（ 1）式，因为 f x L1 X R1 x ，记为（ 2）式，其中 R1 x f x a x b ，记为（ 3） 式，将（ 1）（3）代入（ 2）整理：IIf x L1 X R1 x xa bb f a bx aa f b R1 f 2! x a x b数值计算方法配套答案所以：fx2!入，可推出：f fx6. 若 f xnanxn an 1xIIk xj InII fxaxb2baII2!max x a x b axb这里取 xab代212再放缩得 ma xaxb f x 8 b a ma xaxbf II x2! 4

16、1a1x a0有 n个不同实零点 x1,x2, xn,证明：0,0 k n 21xjan ,k n 1证明：由题可知：f x 有 n 个不同实零点，故 f x 还可以表示成根形式的多项式，即：j 1 ff x an x x1 x x2x xn ；=an x j x1 x jx2xj xj1 xj xj 1 xj xn在此设： xk x；nk xj I1n1xjj1f xjan j 1 x j x1xj xj 1xj xj 1 x jxnn1anx1, x2, xn，记为（ 1）式an n 1 !由导数的定义可知：f xIj lxim f xx xf xjx x j x xjfxlxim xlx

17、im an x x1 x x2x xj 1 x xj 1 x xnx xj x x j x xj当 k n 1 时，x n 1 ! ，则（ 1）变为 1 ；ax当 0 k n 2 ，则（ 1）式变为 0， 综上所述： n x j0,0 k n 2j 1 ,k n 1 j 1 f x an,k n 17. 给定函数表xi-2-10123f xj-5111725第 - 9 - 页数值计算方法配套答案已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。解：用牛顿法：N X fx0fx0,x1xx0fx0,x1,x2,x x0 xx1+f x0,x1,x2,x3,x4,x5xx0xx

18、1xx2xx3xx4，列插商表：xif xi一阶插商二阶插商三阶插商四阶插商五阶插商-2-5-116010-3110012763103251861003N X 5 6(x 2) 3(x 2)(x 1) (x 2)(x 1)(x 0) x3 x 1，为三次。8. 对函数 f x ， g x 及任意常数 a,b,证明：af x bg x x0,x1, xn af x0,x1, xn bg x0,x1, xn 。证明：由高等数学的知识，我们构造函数 F X af x bg x ，于是就有下式成立：af x bg x x0,x1, xnF x x0,x1, xnn F x jj 0 xj x0 xj

19、x1xj xj 1 xj x j 1x j xnn af x j bg x jj 0 xj x0 xj x1xj xj 1 xj x j 1x j xn由分式法则：an f xjbn g xjj 0 xjx0xjx1xj xj1 xjxj1xjxnj0xjx0xjx1xjxj 1 xj xj1 xjxn=af x0,x1 xn bg x0,x1, xn ，所以命题成立。10. 给定函数表xi0.00.20.40.60.8f xi1.000001.221401.491821.822122.22554试分别用 Newton 前插值公式和 Newton 后插值公式计算 f 0.05 的近似值。分析：

20、 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣第 - 10 - 页数值计算方法配套答案的同学可 自行解 答， 分别代 入 Newton 前插 值公 式和 Newton 后 插值公式可 得f 0.05 =1.05126.11. 若要给出f x cosx ，x 0, 的一张按等距步长h 分布的函数表，并按线性插值计算任何 x 0, 的 cosx 的值。问当 h 取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出 h 0.02 。12. 设 f x c2n 在

21、边界条件 f II 0 0.3， f II 3 3.3 下求三次样条插值函数 S X 。 a,b ，采用 Lagrange 插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项f 2n 2 2R x f x H 2n 1 x 2n 2 ! 2n 1 x 。分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，将定理 2 代入余项公式即可求得，在此不做说明。13. 求不超过 3次的多项式 H x ，使其满足 H 1 9，HI 1 15，H 1 1，H I 1 1。 分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自

22、行解答， 设所求多项式为： H x a0 a1x a3x2 a3x分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 ，代入条件， 即可求得：H x x3 4x2 4x 。14. 求不超过 4 次的多项式 P X ，使其满足 P 0 PI 0 0，P 1 PI 1 1，分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，设所求多项式为分析 p x a0 a1x a2x2 a3x3 a4x第 - 11 - 页 ， 代入条件，即可求得： p x 1x2 x 3 2 。15. 给定函数表xi0123f xi00.521

23、.51） 在边界条件 f I 0 0.2， f I 3 1下求三次样条插值函数 S X ；数值计算方法配套答案的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。0.48x3 0.18x2 0.2 x, x 0,1 结果为：（1） s x1.04 x 13 1.25 x 1 2 1.28 x 1 0.5,x 1,2320.68 x 2 1.86 x 2 0.68 x 2 2.0,x 2,30.5x3 0.15x2 0.15x, x 0,132（2） s x1.2 x 1 1.35 x 1 1.35 x 1 0.5,x 1,2321.3 x 2 2.25 x 2 0.45 x 2 2

24、,x 2,3第 - 12 - 页数值计算方法配套答案第三章 函数逼近及最小二乘法一 本章的学习要求（1）会用最小二乘法求拟合曲线。（2）会将非线性函数转化成线性函数。二 本章应掌握的重点公式线性曲线拟合公式： nn0, 0 i 0 ti 0 t i ， 0, 11, 0 i 0 ti 1 ti ，i 0 i 0n1, 1 i 1 ti 1 t i ，i0 nn0,fi 0 ti yi， 1,fi 1 ti yi。i 0 i 0三 本章习题解析1. 设 0 x , 1 x n 1 x 是区间 0,1上带权 x x 的最高项系数为 1的正交多1项式序列，其中 x =1，求 x x dx 及 x 和

25、 x 。分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣1的同学可自行解答， 在这里只给出结果。结果为：,k 020 x k x dx 2 ； 1 x x 判断函数 x =1， 1 x =x, ，3 ；0,k 035 101 ，在 1,1 上带权 x 1 正交，并求33 x 使其在-1， 1上带权x 1与 x ， x ， x 正交。分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：x3 3x。5第 - 13 - 页数值计算方法配套答案3. 证明：若函数组 0 x , 1 xn 1 x

26、 是在 a,b上带权x 正交的函数组，则0 x , 1 x n1 x 必然是线性无关的函数组。分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行证明。4. 已知点列 x0 2 ， x1 1， x2 0 ， x3 1 ， x4 2 及权函数 x0 0.5，x1x2x3 1， x4 1.5 ，利用公式（ 47）和（48）构造对应的正交多项式 p0 x ,p1 x ,p2 x 。分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣 的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为： p x 1， p x x 2 ， p2 xx 4

27、 x 2 46 。2 115 5 155. 已知数据表xi01234yi1.003.856.509.3512.05求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为： y a0 a1x ，这里 m 4，n 1， 0 x 1， 1 x x ，440, 0 i 0 xi 0 xi 5 ， 0, 1 1, 0 i 0 xi 1 xi 10， i 0 i0441, 1 i 1xi1xi30 ，0,fi 0xiyi32.75，i0 i 0f i xiy93.1 ，所以可得到以下方程组： 510a032.751, i 0 i 1 xii 1030a193.1解得： a0 1.03， a1 2.76，所以

28、所求方程为 y 1.03 2.76 x。6. 已知数据表xi12345678yi33455667求拟合这些数据的直线方程。解：设所要拟合的直线方程为： y a0 a1x ，这里 m 7 ，n 1 ， 0 x 1， 1 x x ，第 - 14 - 页数值计算方法配套答案770, 0 i 0 i 0 xi 0 xi 8 ， 0, 1 1, 0 i 0 i 0 xi 1 xi 36，778, 36 a04136, 285 a12161, 1 i0 i 1 xi 1 xi 285， 0,f i 0 i 0 xi yi 41，7f i xi y 216 ，所以可得到以下方程组： 1, i 0 1 iy

29、2.22 0.95x 。解得： a0 2.22 ， a1 0.95，所以所求方程为：7. 某发射源的发射强度公式为 I I0e t ，现测得 I 与t的一组数据如下表ti0.20.30.40.50.60.70.8Ii3.162.381.751.341.000.740.56试用最小二乘法根据以上数据确定参数I 0和 的值。解：先将 I I0e t 线性化，即两边取以 10为底的对数，变为 lgI lgI 0 algex，设 y lg ， A0 lgI0， A1 alg ，所以上式变为 y A0 A1x 。这里 m 7 ，n 1，70 x 1 ， 1 x x，代入公式得：0, 0 i 0 xi 0

30、 xi 8，i0770, 1 1, 0 i 0 xi1 xi 3.5， 1, 1 i 1 xi 1 xi2.03 ，i 0 i 0770, f i 0 xi yi 0.8638 ， 1,fi 1 xi yi 0.08062，0, i 0 0 i i 0所以可得到以下方程组 8, 3.5 A00.8638 ，解得： A0 0.08777 ，3.5,2.03 A10.08062 0A10.04618，相应的 I 0 5.64,a 2.89。8. 试用最小二乘法根据以下数据表xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46求 y aebx 的最小二乘拟合曲线。

31、解：先将 y aebx线性化，即两边取以 10为底的对数，变为lg y lg blgex，设 y lgy，A0 lg ，A1 blg e ，所以原式变为： y A0 A1 x 。这里 m 4 ，n 1， x 1，第 - 15 - 页数值计算方法配套答案41 x x，代入公式得 0, 0 i 0 xi 0 xi5 ，i0440, 1 1, 0 i 0 i 0xi1xi7.5，1, 1 i 0 i 1xi1xi11.875 ，470,f i 0 xi yi 33.33 ，1,fi 1 xi yi 51.2275，i 0 i 0所以可以得到以下方程组：A1 1.972 ，代回求得，5, 7.5A03

32、3.33 ，解得： A0 3.708 ，7.5,11.875 A151.2275a 3.071 , b 0.5056 ,故方程为 y 3.071e0.5056x 。9. 用最小二乘法求形如 y a bx2的经验公式，使它拟合以下数据。xi1925313844yi19.032.349.073.397.8解：先将 y a bx2线性化，设 X x2 ，则原式变为 y a bX ，这里 m 4， n 1，40 x1 ， 1 xx，代入公式得0, 0 i 0 xi0 xi5，i0 440, 1 1, 0 i 0 xi 1 xi5327， 1, 1 i 1 xi 1 xi 7277699 ，i 0 i

33、0440, f i 0 xi yi 271.4， 1, 1 i 1 xi1 xi 369321.5，i 0 i 0所以可以得到以下方程组：5, 5327a 271.45327,7277699 b369321.5解得： a 0.05004 ， b 0.97258 ，所求方程为：2y 0.97258 0.05004x2 。第 - 16 - 页数值计算方法配套答案第四章 数值积分和数值微分本章的学习要求（1）会求各种插值型求积公式。（2）会应用求积公式分析代数精度。（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。（4）掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。二 本章应掌握的重点公式1）梯形公式：f

34、 x dxba22）辛甫生公式：b b aa f x dx b6a f a 4fa2b3）复化梯形公式：Tn h2 f a 4k 1 f xk f b 。4）复化辛甫生公式：h n 1 nSn h2 f a 2 f xk 4 f xk 1 f b 。II5）梯形公式的误差余项： RT x f b a 3 。 a,bT 126）复化梯形公式的误差余项：RT x b ah2 f II 。 a,b12三 本章习题解析1. 用复化梯形公式和复化 Simpson 公式计算下列积分。1）1 x 2dx, 取 n 8 ； (2) 6 4 sin2 xdx ，取 n 6解：（1）代入复化梯形公式可得T 8 1

35、16 f 0 k 1 f xk f 1 =0.1114024，（2）代入梯复化形公式可得：5T6 72 f 0 k1 f x6 f=1.03562，6同理，分别代入复化 Simpson 公式可得： S8 0.1115724， S6 1.03577 。第 - 17 - 页数值计算方法配套答案2. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具 有的代数精度。h（1） h f x dx A0f h A1f 0 A2f h1（2） 0 f x dx A0f 0 A1f x1 A2f 12h（3） 2h f x dx A0f h A1f 0 A2f hh（4） h f x

36、 dx A0f h A1f x12h A0 A1 A2 解：（1）设 f x 1，x，x2 ，求积公式准确成立， 代入（1）式可得： 0 A0 h 1A h22 3 2 3h3 A0 A2 h214解得： A0 A2h， A1h ，33h141代入原式整理得： f x dx h f h h f 0 h f h ，h3334对于 f x x3 ，代入上式验证，左边 = 右边，继续令 f x x ，代入上式验证， 左边 右边，即所构造的求积公式具有 3 次代数精度。2 1 A0 A1 A2（2）设 f x 1， x， x 2 ，求积公式准确成立，代入（ 2）式可得： 12 A0 x A2123 A

37、1x 2A21 21解得： A0 A2 1，A1 2，x1 1 ，6321121 1代入原式整理得： f x dx f 0 f f 1 ，0632 6对于 f x x3 ，代入上式验证，左边 =右边，继续令 f x x4 ，代入上式验证，左 边 右边，即所构造的求积公式具有 3 次代数精度。4h A0 A1 A223）设 f x 1，x，x2 ，求积公式准确成立， 代入（3）式可得： 0A0 h A2 h16 h3 A0 A2 h23 0 2解得：A0 A2 83h，A1 34h，33第 - 18 - 页数值计算方法配套答案代入原式整理得：2h8 482h f x dx 3h f h 3h f

38、 x1 3h f h ，对于 f x x3 ，代入上式验证，左边 =右边，继续令 f x x4 ，代入上式验证， 左边 右边，即所构造的求积公式具有 3 次代数精度。2h A0 A14） 设 f x 1， x ，求积公式准确成立，代入（ 4）式可得 0 1 0 A0h A1x1解得： x1 h ， A0 h ， A1 2h，323代入原式整理得：f x dx h f h 3h f h ，h 2 2 323对于 f x x2 ，代入上式验证，左边 =右边。继续令 f x x3 ，代入上式验证， 左边 右边，即所构造的求积公式具有 3 次代数精度。1 1 13. 证明： 0 f x dx 1 f

39、0 f 1 1 f I 1 f I 0 具有 3 次代数精度。 证明：当 f x 1 时，左边 =1， 右边 = 1 1 1 1 0 0 1 ，左边 =右边。2 12当 f x x 时，左边 = ， 右边 = 1 0 1 1 1 1 1 ，左边 = 右边。2 2 12 2当 f x x2 时，1 1 1 1左边 = ， 右边= 1 0 1 1 2 0 1，左边 =右边。3 2 12 3当 f x x3 时，11左边 = ， 右边 = ，左边 =右边。44当 f x x4 时，11左边 = ， 右边= ， 左边 右边 。56故所求积公式具有 3 次代数精度。4. 用复化 Simpson 公式 S

40、n 计算积分 2 sin xdx ，要使误差不超过 1 10 5 ，问应将区间02第 - 19 - 页数值计算方法配套答案0, 分为多少等份？若改用复化梯形公式时，要达到同样精度问应将区间2为多少等份？解：复化 Simpson 公式的余项的绝对值为：Rs fb a h 4180 2 f由此可将原问题转5.解：6.解：化为 Rs f21804n 0 x 2同理若应用复化梯形公式，则有max sinx592160n4 21 10 5解得： n 6。Rt fb a 2122 II h f II02122n o x 2max sin x 12 10 5解得： n 255。1求积公式 0 f xdx A

41、0f 0 A1f 1 A2fI 0 ，已知其余项表达式为R f kf III。试确定求积公式中的待定参数 A0 ， A1， A2，使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。设 f x 1， x， x2 求积公式准确成立，代入原式可得：1 A0 A1 A212 0 A1 A213 A1解得：211A0 3，A1 3， A2 6，所以原式变为：dx11 当 f x x3 时，代入原式，左边 = ，右边 = ，左边 右边，43III III 1 由题意知误差为 1 1 k f 且 f x 3! 6 ，所以求得 k 1 ，1f III 为所求，上式求积公式具有 3 次代数精度。3

42、若用复化 Simpson 公式计算 ex sin xdx，要使误差不超过 10 6 ，问需要计算多少个节点上的函数值？f I x4ex sinx ，在这里取复化Simpson 公式余项的绝对值Rs fb180a h2第 - 20 - 页数值计算方法配套答案进行放缩得：4Rs f2 1 max 4ex sin x 10 6，解得： n 26 。s 180 n 1 x 3代入已知条件得：4e sinRsf 3 1 2180 2n7. 推导下列三种矩形求积公式，其中 a,bb 1 I 2（1） a f xdx b a f a 2fI b a 2b 1 I 2（ 2） a f x dx b a f b

43、 21 f I b a（3） a f x dx b a f a2b 214f II b a证明：（ 1）将 f x 在 f a 处展开成一阶泰勒公式，即： f x f a f I x ab b b I上式两边在 a,b 积分，得： a f x dx a f a dx a f I x a dxbI=f a b a a fI x adx，bb 这里我们应用广义积分中值定理： f x g x dx g f x dx， a,b ， aab I I b 于是上式中第二项就化简为如下形式： f I x a dx f I x a dx ， aaa,b ，b 1 2积分整理得到： f x dx b a f a

44、 1 f I b a 。a2（ 2）将 f x 在 f b 处展开成一阶泰勒公式，即： f x f b f I x b上式两边在 a,b 积分，得： f x dx f b dx f I x b dx a a abI= f b b a f I x b dx ，a上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得：b 1 I 2f x dx b a f b 1 f I b a 。a2（ 3）将 f x 在 f a b 处展开成二阶泰勒公式，即：2a2b f I a2b x a2b fII2! x a2b 2第 - 21 - 页数值计算方法配套答案上式两边在 a,b 积分得：b b a ba f x d

45、x a f a2bxbIIf I a2b x a2b dx ab f 2 ！x a2b22dx ，bb由广义积分中值定理 f x g x dx g f x dx ， a,b ，aa代入上式第三项化简，然后对上式整体积分即可得：a f x dx b a f a2b 214 f IIb a 。38. 对积分 f x dx 构造一个至少具有三次代数精度的数值求积公式。解：将 0,3 三等分，即取节点 0，1， 2，3.构造求积公式：3 2 30 f x dxA0f0A1f1A2f2A3f3 ，令 f x=1，x ，x2，x3求积公 式准确成立，代入公式得：3 A0 A1 A2 A32 0 A1 2A

46、2 3A32 解得：273 0 A1 4A2 9A381841 0 A1 8A2 27A33A0 89A1 89A2 83A3 89.所以所构造的求积公式至少具有三次代数精度，即：3 3 9 9 33 9 9 f 2 38 f 3 。1 2 x 用高斯 -勒让德求积公式，取 n=2 计算定积分 0 x2exdx 。390 f x dx 83 f 0 89 f 1分析： 基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答， 代入高斯勒让德求积公式：bna Q x dxAKQ xk 即可求出：a k 00 x2exdx 0.7119418 。10. 用龙贝格

47、求积公式计算定积分031dx 。 x解：代入复化梯形递推化公式，求得：T1321 f 1 f 334 ，1 3 1 4T2 12T1 321 f 1.5 43，T4112T341 f 43 f 49194，第 - 22 - 页数值计算方法配套答案1 3 1 3T8 12T 4 381 f 3898 f 185 f 2815319754 1 12 ，S1 3T 2 3T 1 9 ， S252 ， 4 1 1898 ，2 27 ，S4 3T8 3T 4 945 ，C116 1 796 ， 16 1 28548 ， 15S2 15S1 405 C2 15S4 15 S2 141752.0147386

48、7 。63 1 1799212R1 64C 2 64C1 89302511. 若 f II x 0几何意义。II，证明用梯形公式计算积分bf x dx 所得的结果比准确值大，并说明其证明：已知梯形公式为由已知 f II x 0 及余项公式3RT fb12a f 0 ，也就是In I 造成结果比准确值大。几何意义：由 f II x 0 可知曲线为向下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。第 - 23 - 页数值计算方法配套答案第五章 常微分方程的数值解法一 本章的学习要求（1）能够熟练的应用欧拉公式求初值问题。（ 2）掌握龙格库塔方法。二 本章应掌握的重点公式（1）欧拉公式： yn 1 yn hf

49、xn,yn 。（2）后退的欧拉公式： yn1 yn hf xn1,yn1 。（3）梯形公式： yn 1 yn h2 f xn,yn f xn 1,yn1 。 三 本章习题解析改进的欧拉1. 对初值问题 y y 0 ，在 0,1 区间内取步长 h 0.1 ，分别用欧拉公式、 y 0 1公式及经典的四阶 Runge-Kutta 公式作数值计算。解：（1）由欧拉公式可知： yn 1 yn hf xn, yn yn 0.1yn =0.9y2）由改进的欧拉公式可知：yp yn hf xn, ynyc yn hf xn 1,ypyn 1 21 yp yc将已知代入化简可得：yp yn 0.1yn 0.9yn， yc yn 0.1 yp 0.91yn ，yn10.9y 0.91y = 0.905 y 。第 - 24 - 页数值计算方法配套答案3）由经典的四阶 Runge-Kutta 公式可知：k1 f xn,yn hh k2 f xn 2,yn 2k1 hh k3 f xn 2,yn 2k2公式为：yn1ynh6k12k22k3k4记为( 1)，所以有：k1yn，k4 f xn h,yn hk3k2yn 0.05yn， k3yn 0.05yn 0.0025yn ，k4yn 0.1 yn 0.05yn 0.0025yn ，代入到（ 1）得：yn 1