“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试及答案

1、“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试及答案201333 希望杯全国数学邀请赛 高二 第一试2000年3月19日 上午8301000一选择题1 2 2 q 13 它们分别绕点p和q旋转但保持平行那么它们之间的距离d的取值范围是 a b c d 2 27a 6 a 7 a 10 3则 a 1 a 2 a n abcd3正方体abcd a1b1c1d1中1的中点则a1e和c1f所成的角是 a b cd4的扇形则过圆锥顶点的截面面积的最大值是 abcd5y a 0 and the circle x 2 y 2 1 have two different intersections交点in the th

2、ird quadrant象限 then the interval范围of the real number a is a 2 1 b 2 cd2 6 a arccos x的解是 x 1的实数a的值是 a bcd 7a b cnn且恒成立则n的最大值为 abcd8 bf 23且直线与长轴的夹角为则椭圆的离心率为 abcd9函数 1 2 nx 13 nn的最小值为a n最大值为b n记c n b 2 a n则数列 c n abcd10旋转到ob旋转过程中oc交m于p记为弓形的面积那么的图象是 二a组填空题11y 则x 12n 1项的和是 13 a成立则a的取值范围是 14 if the equati

3、on f x a has one and only one real root实根 then a 15 的解集为 x x 4 则整数k的最大值为 16 b h 2b为断面宽h为断面高k为常数要使强度最大则高与宽的比是 17 2 x 2 4 x 3上的一点m1m2是抛物线上的任意两点k1k2k3分别是p0m1m1m2m2p0的斜率若k 1 k 2 k 3 0则点p0的坐标为 18 19 20 cm现剪下一个扇形环abcd做圆台形容器的侧面使圆台母线长30cm并从剩下的扇形cod内剪下一个最大的圆刚好做容器的下底指较大的底则扇形圆心角是 度三b组填空题21 23 时f x x则当x 20 时f x

4、 的解析式写成分段函数的形式是 写成统一的形式是 22abca1b1c1的所有棱长都相等d是aa1的中点则bc1和cd所成的角是 面bcd与面cdb1所成二面角等于 23xyy 2 2则当有序数对 xy 时 2 x 3 y 取得最小值 24n 2 nn 则a n cos 2 a n 1 cos 2 a n cos 2 a n 1 25圆m与l的位置相离相切相交g是何种曲线答案一二13a 014 1151216117 11 18y 2 x 2 1199620三21f x f x x 1 3arccos 或 2 2 1 2 2 x arccos x为增函数7n 1 1 2 16q 2 k 2 b

5、2 h 2 h 2 k 3 k 3 k d 620 sin第届希望杯全国数学邀请赛 高 第一试一选择题1和的终边分别为oa和oboa过点m sin cos 0 关于直线y x对称则角的集合是 a 2 k z b 2 k z c k z d k z 2的四个 函数y arccos x的图象 0 函数y arccos x 与函数 arcsin x 的图象 函数y arccos x 与函数 arcsin x 的图象 函数y arccos x 与函数 arcsin x 的图象x 对称其中正确的是 ab cd3函数y x与函数y arcx的图象的交点的个数是 a b c d无法确定4已知平面它们的距离是

6、d直线a 则在平面内与直线a平行且相距为2 d的直线有 ab c d无数多条5函数f x a log 2 1 x 是奇函数参数ar则f 1 x 的值域是 a 1 b 1 c 11 d 11 6正方体abcd a1b1c1d1中1的中点顶点a到a1ef和bdg所在平面的距离分别是p和q则 abcdpq的7the matchbox is a cuboid abcd a1b1c1d1 its length width and height are 5 cm 3 cm and 1 cm respectively suppose an ant climbs along the surface from

7、vertex a to vertex c1 the shortest distance is ab cd英汉小词典matchbox火柴盒cuboid长方体surface 表面vertex顶点8suppose that the inequality log 2 2 x 2 b x 3 1 has always the solution then the range of coefficient b real is a 2 2 b c 2 d 2 2 英汉小词典inequality不等式coefficient系数9曲线c点a 0 x 4的距离之和等于5则c是 a抛物线 b cd由一段抛物线弧和一段

8、双曲线弧连接而成10点m在圆x 2 13 y 2 15 x 36 y 0上 on 12则n点的轨迹方程为 ax 12 y 52 0 bx 12 y 52 0cx 12 y 52 0 d5 x 12 y 52 0二a组填空题11设若函数f x x在区间 上是则的取值范围是 12已知f x x 4 cos x 其中为则f x 的最大值是 13已知abc的abc依次成等差数列则s2 a sin 2 c的取值范围是 14直线l1过点a 10 b 0 若l1l2且l1与1的方程是 15渡轮航行于隔江相对即ab江水流向的港口a和b之间江面宽18千米江水流速为180米分轮船在静水中航速为300米分那么渡轮在

9、ab 分钟16given f 1 x 1 x define f n x 1 f n 1 x for all integers n 1 then f 2000 2001 17数列 a n 满足a n 1 a n 12na 6 4当此数列的前n项和s n 0时n的最小值是 18数列 a n 满足a 1 1且mnna n a n a m n m则a n 19平面上一个区域内两点间距离的最大值称为此区域的直径y 4 x 2 1围成的平面区域的直径为 20设f1f2是椭圆的个焦点若椭圆上点pf1p f2 120则椭圆离心率的取值范围是 三b组填空题21已知f x 和g x 22我国在使用公元纪年的同时也

10、一直沿用我国古代创立的干支纪年法如甲午战争中的甲午辛亥革命中的辛亥就是年份的名称干支中的干是天干的简称是指甲乙丙丁戊己庚辛壬癸支是地支的简称是指子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥在纪年时同时分别从甲子开始不改变各自的顺序循环往复下去已知 年距公元2001年最近的甲子年是公元 年23设关于x的方程x 2 x sin 2 cos 2 3 0 0 实根的最小值为 24数列 a n 的前n项和s n 2 n 2n 123数列 b n 的前n项和tn 2 a n a n 1 b n a 0则tn 25y sin 3 x 2 sin 2 x sin x在区间 0 此时x的值是 答案一aaaccccdca二11 0

11、12 13 14 12 y 5 0151617181920 三2122232425简解6aa1 aah aa1h ap am aag aai agi aq an a第十三届希望杯全国数学邀请赛 高二 第一试一选择题1已知关于x的方程x 2 4 x a 0和x 2 4 x b 0 abra b 的四个根组成首项为 1的等差数列则a b的值等于 abcd2函数y g x 的图象与y f x arccos x 1 图象关于原点对称则y g x 解析式是 aarccos x 1 barccos x 1 c arccos x 1 d arccos x 1 3在以下关于向量的命题中不正确的命题是 a若向量

12、xy向量 y则b四边形abcd是菱形的充要条件是且 c若点g是abc的重心则 dabc中的夹角等于180 a 4某个命题与自然数n有关如果当n k kn 时该命题成立则可推出n k 1时该命题也成立现已知当n10时该命题不成立那么可推得 a当n11时该命题不成立 b当n11时该命题成立c当n9时该命题不成立 d当n9时该命题成立5如图1设abc a1b1c1是直三棱柱ab acbac 90mq分别是cc1bc的中点p点在a1b1上且a1p pb1 1 2如果aa1 ab则am与pq所成的角等于 a90 barccos c60 d306let functions f x x 2 p x q an

13、d g x 2 x attain the equal minimum at the same point of the interval 1 2 then the minimum of p 2 6 q is a 9 b 8 cnot existing dundetermined英汉小词典attain达到undetermined不确定的interval区间7函数的值域是 a b c d 8等差数列 a n 中已知3 a 5 7 a 10且a 1 0则前n项和s n nn 中最小的是 as 7或s 8 bs 12 cs 13 ds 159在直角坐标平面内a点在 40 b点在圆 x 2 2 y 2

14、1上以ab为边作正abcabc按顺时针排列则顶点c的轨迹是 a圆 b椭圆 c抛物线 d双曲线的一支10过椭圆的一个焦点f作与椭圆长轴的夹角为arccos的直线交椭圆于ab两点若 bf 1 3那么椭圆的离心率等于 a b c d二a组填空题11当 时p sin csc 和q tan cot 的大小关系是 12凸四边形abcd中dcabad bc cd 1ab 2以它的一边为轴旋转所得旋转体的体积最大可达到 13记号 x 表示不超过x的最大整数则方程 x 1 x 6的解是 14已知两个等差数列 a n 和 n 的前n项和s nt n的比则 用n表示15使 i n为纯虚数的正整数n的最小值等于 16

15、为使函数f x 3 sin 2的值恒为正则参数在区间 0 上的取值范围是 17已知函数f x 满足f 1 0且方程f x 0有三个根012那么c的取值范围是 18抛物线 4 x a 2 4 a 0 a 2 和x轴交于ab两点动圆m过点ab且和y轴切于点co是原点则的取值范围是 19从点p 2 a 0 看椭圆 1 a b 0 上两点最大的视角为2则的值等于 20there are two travel projects from beijing to santiago chile a flying westward to new york then flying southward to san

16、tiago bflying southward from beijing to friemander then flying westward to santiago the geographic positions of these four cities may be approximately considered as beijing 120 east longitude 40 north latitude new york 70 east longitude 40 north latitude friemander 120 east longitude 30 north latitu

17、de santiago 70 east longitude 30 north latitude suppose that the air lines go along the spherical distance then the projest of the shorter distance is 英汉小词典geographic position地理位置approximately近似地spherical distance球面距离三b组填空题21若方程 4 x 3 x a有三个不相等的实数根则a 22已知点a 31 点mn分别在直线y x和y 0上当amn的周长最小时点m的坐标是 点n的坐标是

18、 23数列 a n 满足递推关系a n 2 a n 1 n 1 且首项a 1 5则通项公式a n a n 24若a 1则不等式 a的解是 25某工厂安排甲乙两种产品的生产已知每生产1吨甲产品需要原材料abcd的数量分别是1吨2吨2吨7吨每生产1吨乙产品需要原材料abd的数量分别是1吨4吨1吨由于原材料的限制每个生产周期只能供应abcd四种原料分别为80吨80吨60吨70吨若甲乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元要想获得最大的利润应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨期望的最大利润是 百万元答案一baccabbcad二11p q1213 45 141516 0 17 0 18 02 1920

19、a 三2122 23 n 1 n 12 24 1 25简解6g x 2 x 在 12 上递增f 1 g 1 1最小p q 0 1p 2p 2 6 q p 3 2 984 a 1 51 d 0a 1 0d 04 a 13 3 d 04 a 14 d 025设安排生产甲乙两种产品分别为xy要求z 2 x 3 y的最大值及z取得最大值时x的值作图易知边界点 边界线2 x 4 y 80与7 x y 70的交点使z取得最大值此时x的值为 希望杯全国数学邀请赛 高二 第一试2003年3月23日上午8301000一选择题每小题5分共50分1已知函数f x 2 x 3则函数f 1 x 1 的反函数是 ay b

20、y cy 2 x 5 dy 2 x 22设 x 1a cos arcsin x b arcsin cos x 则a和b的大小关系是 aa b ba b ca b d不确定的3已知x 1y 1且ln yln x成等比数列则x y的 a最大值是 b最大值是e c最小值是 d最小值是e4如图一个正方体的容器abcda1b1c1d1中盛满了油后在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔若恰当地将容器放置可使流出的油量达到最小这个最小值是正方体容器容量的 a b c d5函数y 的最小值是 a2 b2 c d6a hyperbola with vertices 2 7 and 2 3 has an asympt

21、ote that passes the point 2 5 then an equation of the hyperbola is a 1 b 1c 1 d 1英汉小词典hyperbola双曲线vertices顶点asymptote渐近线7等差数列 a n 中有两项a m和a k满足a m a k 则该数列前m k项之和是 a 1 b c d 18当xy满足条件 x 1 y 1 1时变量u 的取值范围是 a b c d 9设p为椭圆上一点且pf1f2 30pf2f1 45其中f1f2为椭圆的两个焦点则椭圆的离心率e的值等于 a b c d10suppose the least distanc

22、e from points of the curve y 2 2 x y x a 0 ar to the y axis is then the velue of a is a b cor dor 英汉小词典curve曲线二组填空题每小题5分共50分11arccos arctan 7 12不等式log 1 log 1 的解集是 13图2是正方体的展开图其中直线ab与cd在原正方体中的成角的大小是 14正四面体abcd的棱长为1e在bc上f在ad上be 2 ecdf 2 fa则ef的长度是 15let a anda be the length of two sides of a rectangle

23、 rotate the rectangle about its diagonal then the volume of the revolution obtained is equal to 英汉小词典rectangle矩形rotate旋转diagonal对角线volume体积revolution旋转体16方程x y 1表示的曲线是_17曲线x 2 y 2 2 x y m 0和它关于直线x 2 y 1 0的对称曲线总有交点那么m的取值范围是 18等比数列 a n 的首项为a 1 a公比为q则 19在平面四边形abcd内点e和f分别在ad和bc上且 r 1 用表示 20延长平行四边形abcd的边

24、bc到faf依次交dbdc于egae比eg大2gf 5则eg b组填空题每小题10分共50分21given bc 1 a in a triangle abc then the range of length of the side ab or ac is 22方程 x的实数解最多有 个若方程有实数解则a的取值范围是 23圆x 2 y 2 1和4 x 2 4 y 2 16 x 8 y 11 0的公切线的斜率是 24数列 2 n 和 3 n 2 的公共项由小到大排列成数列 c n 则 c n 的通项公式c n 前n项和s n 25函数y sin x cos x 的最大值等于 最小值等于 答案一da

25、dcddcbbd二1112 117 12 131415 a 316x 2 2 y 2 2x 2或x 217 1819204三21当0 时 0当 时 01 221 0 1 23242 4 n 4 n 1 25简解3ln x ln y 2 ln x ln y ln x y8u表示区域p内的动点 xy 与定点a 12 的连线的斜率的倒数如图 希望杯全国数学邀请赛 高二 第一试2004年3月21日 上午830 1000一选择题sintanarctan的大小关系是 a sin arctan b sin arctanc arctan tan dtan arctan sin2已知不等式 x a x b 1其

26、中ab是常数的解集是空集则 a b 的取值范围是 a b c 1 d 3集合m是函数y lg x 2 8 x 20 的单调递减区间n x 0 那么xmn 是xmn 的 abcd既不充分又不必要条件4下列四个函数 f x x 2 2 x f x sin x0 x 2 f x 2 x x f x log 2 2 x 1 x 其中能使f f x 1 f x 2 恒成立的函数的个数是 abcdy x 2 2 x 3 2 is abcdf x x 2 b x c bcr a x x f x xr b x x f f x xr 如果a中只含一个元素那么 aa b ba b ca b da b a n 是公

27、差不为0的等差数列且a n 0又定义b n 1 n 2003 则 b n 的最大项是 abcd的夹角为则当 t tr 的模取最小值时t的值是 a cos b cos c d9椭圆有这样的光学性质从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后反射光线经过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘点ab是它的两个焦点其中焦距为长轴长为当放在点a处的小球被击出发经椭圆壁反弹后再回到点a时小球经ab c cda 2 a y 3 a 2 0 b a x 2 a y 3 a 2 0c 4 a y 3 a 2 0 d4 x 2 4 y 2 a x 4 a y 3 a 2 0二a组填空题11若sin 是方程x 1

28、 0的根则sin 的值是_f x 是奇函数的充要条件是a满足_13金刚石是由碳原子组成的单质在金刚石的晶体里每个碳原子都被相邻的4个碳原子包围且处于4个碳原子的中心以共价键跟这4个碳原子结合那么在金刚石的晶体结构中相邻的两个共价键之间的夹角用反三角函数表示是_14已知a 0f x 则f f f _15抛物线y 2 2 p x p 0 关于点a 21 对称的曲线的方程是_16已知点a 31 点m在直线x y 0上点n在x轴上则amn周长的最小值是_17if the equation x 2 4 x 6 a has two distinct real roots then the range of

29、 real number a is_ 英汉小词典distinct不同的roots根range范围18xyrf xy y 2的最小值是_19设双曲线的离心率实轴长虚轴长焦距依次成等差数列则此双曲线的方程是_20在空间四边形abcd中bc adefmn分别是abcdbdac的中点则ef与mn的夹角等于_三b组填空题21函数y sin x cos 2 x 0 x 2 的值域是_单调递减区间是_22数列 a n 中a 1 aa 2 a aa 3 a a a依次类推其中0 a 1则此数列的最大项是_最小项_23某运动会开了n天 n 1 共发出m枚奖牌第一天发出1枚加上余下的第二天发出2枚加上余下的如此持

30、续了 n 1 天第n天发出n枚该运动会开了_天共发了_枚奖牌24设x 1 f x 是偶函数g x 是奇函数且f x g x lg 2 g x _10 g x 的最大值是_25let m be a point of the ellipse 1 a b 0 let p and q be focuses of the ellipse then the imum of the quantity pm 3 qm 3 is _ the minimum is _ 英汉小词典 ellipse椭圆focus焦点imum最大值minimum最小值答案一bbcdd二111213 1415 2 2 2 p x 4 1

31、617 6 18219x 2 9 y 2 25或16 y 2 9 x 2 2520三21 2 arcsin和 arcsin22232425 6 a b 22 a 3简解6 x 2 b 1 x c x 2 b 1 x b 1 c 02 4 018可以看成平面上两点a x b y y 间的最小距离d的平方如图20enfm为菱形希望杯全国数学邀请赛 高二 第一试2005年3月20日 上午8301000一选择题1有以下四个命题1y f x 和y f 1 x 的图象关于直线y x对称2y f x 和y f 1 x 的图象关于直线y x对称3y f x 和y f 1 x 的图象关于直线y x对称4y f

32、x 和y f 1 x 的图象关于直线y x对称其中正确命题的个数是 a1 b2 c3 d42若集合 sin cot 1 和 sin 2 sin cos 0 是相同的则sin 2005 cos 2005 a0 b1 c 1 d 13 a 2 4 b 0a b 0a b 0是方程x 4 a x 2 b 0有四个实根的 a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件4suppose that three sides of a triangle satisfy the conditions the length of each side is an integer the gre

33、atest length of sides is 18 then the number of such triangles is a90个 b91个 c92个 d171个英汉词典triangle 三角形side 边5等差数列 a n 中已知a 2 a 7 a 8 a 11 48a 3a 11 12则a 2 a 4 a 6 a 100等于 a2744 b2800 c585 d5956已知y f x 的图象如图1所示则y f x 2 1的图象是 7正五棱锥的侧面三角形的顶角的取值范围是 a 54 72 b 0 72 c 72 90 d不能确定8三棱锥的三个侧面都是直角三角形且三个直角的顶点恰是三棱

34、锥的顶点则其底面一定是 a直角三角形 b钝角三角形 c锐角三角形 d等边三角形9方程 2 x y 18 所表示的曲线是 a圆 b椭圆 c双曲线 d抛物线10椭圆 1的左右焦点分别是f1f2点p在椭圆上且点p的横坐标是则 a0 b c d二a组填空题每题4分共40分11设集合 x x x x a 0xr x arcsin 0xr 种关系中 m nm n m n m n 成立的个数是 ab是平面外两点在内和ab等距离的点的集合可能是 2 is the set 3 1 1 then the parameter a is 14过点a 20 的直线把圆x 2 y 2 1区域分成两部分弓形它们所包含的最大

35、圆的直径之比是12则此直线的斜率是 15a在o的正下方处固定有一个质量为m的小球b放开圆盘让其自由转动则转动过程中半径oa向左偏离的最大角度是_ _ 16 k恒成立则k的最小值是_ _ 17实系数一元二次方程x 2 a x 2 b 0的一根在区间 01 内另一根在区间 12 内则的取值范围是 18已知椭圆 1过椭圆中心的直线l交椭圆于ab两点且与x轴成60o角设p为椭圆上任意一点则pab的面积的最大值是 19直三棱柱的侧棱长为2一侧棱到对面的距离不小于1从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等则所剩几何体体积的最小值是 球的半径为rs 4 r 2v

36、 r 320已知双曲线 1的右焦点为fp是双曲线上任意一点定点m 62 则3 pm pf 的最小值是 三b组填空题每题8分共40分21函数y arccos x 2 的定义域是 值域是 22已知函数y log a x a 当a 1时它的单调增区间是 当0 a 1时它的减区间是 23在一个广场上甲乙二人分别从相距100m的ab两地b在a正东方向同时运动甲以2 ms的速度沿东偏北60o方向运动乙以3ms的速度沿西偏南45o方向运动t s后甲乙分别位于cd两地且cdab则t s此时甲乙相距 m24defining a sequence a n as follows a 1 1 a n 1 a n 1

37、then the formula of its general term ia a n and sum of its n terms is s n 25抛物线y 3 x 2 a x的准线是y 1则a 焦点坐标是 答案一adcabcbcba二a组填空题1112内一条直线或13141516 4 lg 2171 1819202122 a a1 a 2324 n n25 简解17设f x x 2 a x 2 b则f 0 0f 1 0f 2 0可得故表示区域p内的动点 ab 与定点a 12 的连线的斜率如图m 31 n 10 k am k an 1故 k 118 ab d 19底面为直角三角形203 p

38、m pf 3 pm 3 pn 3 mn 希望杯全国数学邀请赛 高 第一试一选择题1 abcd2 x tan cos 2 xr 位于坐标平面的 abcd3 abcd4 cos 则的值等于 a b c d5r line 1 a x a 1 y 4 a 1 0always passes through a fixed point pand point q is on the curve x 2 x y 1 0then the range of slope of a line passing through p and q is a 2 b 3 c d 英汉词典fixed point 固定点range

39、 范围slope 斜率to pass through 通过6 log cos 2 x sin x 1 的定义域是 a b 0 c 0 d 7 tan 是常数且 kz以下结论中不正确的是 abcd8f1pf2 90且 pf2 pf1 已知椭圆的离心率为则pf1f2pf2f1 a5 b3 c2 d19 2 t其中t是常数且0 t 1则方程根的个数是 abcd10 y 2 a 2 a 0 关于直线y x 2对称的曲线与直线2 x 3 y 6 0相切则a的值为 a c二a组填空题11 2 的距离相等则点p的坐标是 12与满足 2 1且夹角为60则使向量 与 2的夹角为钝角的实数的取值范围是 13 3

40、b的解集是 则a b 14 x 2 x 8的解集是 15 t arccos x 4 0有实数解则t的取值范围是 16 b 180又abc的周长与最长边的比值为m那么m的最大值为 1718 a x y 对于一切正数x 19水面则小船与汽车间的最短距离为 米不考虑汽车和小船本身的大小20 a1b1c1d1的棱长为1在正方体表面上与点a距离为的点的集合形成一条曲线此曲线不一定在同一平面上则此曲线的长度为 三b组填空题21 is _英汉词典term项arithmetic sequence等差数列common difference公差imum term最大值项22r且满足 6则x 2 y的最小值是 最大

41、值是 230 的直线l交抛物线cy 2 2 p x p 0 于a则的取值范围是 f为抛物线的焦点abf的面积为 用p表示24 个区域至多分成 个区域25且xy均为整数则x y的最小值为 此时p点坐标是 一二 12 1 1 13615 6 1614 log 4 log 4 17y x 1与y x 1182193020三21 s 10 2 希望杯全国数学邀请赛 高 第一试一选择题每小题分共0分1 x 时方程sin x cos x 的解的个数是 ab c d32 2 0 b x a x 2 0 若ab b则对应的值的个数是 ab c d33若a b c 则abc的大小顺序是 aab c bba c cc a b dc b a4设曲线c1y log 2 x按向量 1 2 平移后得到曲线c2则与c2关于直线x y 0对称的曲线c3的方程为 ay x 2 1 by x 2 1 cy x 1 dy 2 2 x 15设msin x cos x 0 0 x cos x 0则m是n的 abcd既不充分又不必要条件6设对任意实数k关于x的不等式 k 2 1 x k 4 2的公共解集记为m则 am都成立 bm都不成立cd7将黑白两种棋子分成3堆每堆10枚其中黑棋子数分别为123现从每堆中任取1枚得到的3枚棋子中必有一粒是白棋子的概率是 abcd09948