化工问题的建模与数学分析方法 第5章 习题及答案

1、 第三章习题1 求下列函数的laplace变换（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）解：（1）（2）（3）（4）（5） 2 利用laplace变换的微分性质求下列函数的laplace变换（1） ；（2）解：、（1）（2）3 求下列函数的laplace逆变换（1） ；（2） ；（3） ；（4）解：（1）（2）（3）（4）4证明二阶常系数线性常微分方程当其特征根为重根时，方程的基本解为当特征根为两共轭复根时，方程的基本解为给出以上两种情况下非齐次方程的特解的一般表达式证；依题意，是求取以下问题的解答对上式进行拉氏变换，仍记，得到当时， 特解的一般表达式为当特征根为两共轭复根时，特解的一般表

2、达式为5 求以下控制回路的传递函数yf+解：6、在气固催化动力学实验研究中，催化剂表面的吸附与化学反应是两种较难区分的因素，因为这两种效应都发生在固体表面，一般的稳态实验难以鉴别，而采用脉冲动态实验就有可能区分和测定这两种参数，这对于了解催化过程机理和指导催化剂开发具有重要意义。设固体表面的化学反应为一级反应 并设表面吸附为传质过程的控制步骤，忽略内、外扩散阻力，则颗粒模型由下式给出 在不考虑固定床轴向扩散的情况下，试给出床层出口气体浓度的各阶时间矩与吸附、反应参数之间的关系。解：该气固催化模型可视为一个有反应发生的色谱过程，不考虑轴向扩散，则dz=0，由于忽略内、外扩散阻力，表面吸附为传质过

3、程的控制步骤，故颗粒上溶质的平均浓度=n(固相浓度)。床层模型： (1)颗粒模型： (2)ka为吸附速率常数，n/k为贴近颗粒表面处的流体相浓度，与固相浓度n处于吸附平衡状态，令 对颗粒模型（2）进行laplace变换，并仍记得： (3)则， 由5.5.7对颗粒传递函数m(s)的定义得：式中具有时间量纲，代表吸附过程的时间尺度；代表反应过程的时间尺度。对床层方程（1）进行laplace变换，得： (4)将m(s)代入（4）中消去n(s)得：， 出口气体浓度的各阶时间矩为：7、当采用上述脉冲实验方法来研究非均相催化反应时，由催化剂装填而成的反应柱往往难以将反应物-产物的色谱峰完全分离。为解决这一

4、问题，一般都在反应柱之后串连一色谱柱，将反应物-产物分离后由检测器检测，如图所示。这种实验技术称之为催化反应色谱方法（陈诵英，高荫本，彭少逸，石油学报（石油加工），1988,4(1):2937）。由于检测器测得的信号是经过多个单元传递的结果，且包含各种物理因素的影响，因此在数据处理时必须注意剔除与反应无关的其它因素以得到真实的反映表面吸附与化学反应作用的信息。试根据串连过程的时间参数加和性质与方差加和性质说明如何设计相关实验获得吸附和反应动力学参数。解：由第6题结果可得反应柱传递函数： 代表吸附过程的时间尺度；代表反应过程的时间尺度。反应柱的各种时间矩为：忽略色谱过程的轴向扩散及内、外扩散阻力

5、：床层模型： 颗粒模型： 对颗粒模型进行laplace变换得：对床层模型进行laplace变换得：色谱柱的各阶时间矩为：串联系统的总传递函数，令s=0，得： 根据时间和方差的加和性得：均为可测量得到的常数，通过实验测定出值则可获得吸附和反应动力学的参数实验过程设计：首先以不与催化剂单独作用发生发应的反应物之一为研究对象进行脉冲实验，获得各阶矩的数据后求出和，然后以能发生反应的混合物为对象进行脉冲实验，获得另一组数据和。的值从而得和，代入和中得吸附速率常数和反应速率常数8停留时间分布或其它物理量分布的时间矩值除了可由脉冲实验来测定之外，也可由阶跃输入的方法来测定，特别在气体中溶质含量低、固体吸附

6、量大的情况下，采用连续输入的阶跃实验技术上更容易实现。为了处理阶跃实验数据，理论上要求建立阶跃实验的动态输出曲线yu (t)与脉冲输入时的各阶矩值mk之间的关系，以便通过阶跃实验来测定脉冲输入的矩值。试按照以下步骤推导阶跃输入时的有关求矩公式：1）根据基本解的定义和性质证明，对于单位阶跃输入函数u(t)，相应的输出函数yu (t)与基本解e(t)之间满足以下关系2）根据脉冲输入的各阶矩的定义将e(t) 用yu (t) 代换，证明 式中ys= yu()为阶跃实验的输出达到稳态以后的值。解： 1) 单位阶跃函数 用基本解构造单位阶跃输入函数的u(t)的输出函数，可得： 设 则可得 2) 有齐次边界

7、条件可知所以 9. 鼓泡塔是最简单的气体吸收器和气液反应器，动力学研究用的实验室鼓泡反应器一般都采用分批式操作，如图所示，气体从底部通入装有液体的容器，经分布板之后形成分散的气泡并在液体中浮升，最终从容器的上部输出。鼓泡塔中气相的流动可考虑为平推流，液相则一般考虑为全混流。分别对气、液两相组分建立物料衡算方程，并略去气相组分的时间导数项（该项较小，可以忽略），得到 式中cg 和cl 分别为反应组分在气相和液相中的浓度，g为气含率，即气泡所占的体积分率，u 为空塔气速，kla 为气液传质系数，kr 为一级反应动力学常数，ci 为气液界面处的液相浓度，由henry定律给出 当气相反应物采用脉冲输入

8、时，初始与边界条件如下 试采用矩量分析方法求出反应器顶部输出的气相浓度的0、1、2阶时间矩，并说明如何设计实验测定参数kla, h, kr。解： 对和做关于时间t的laplace变换，设： 边界条件： 原方程可化为： (1) (2)(1)式是关于的一阶常微分方程，分离变量求解：设： 得： (3)将(1)代入(2)得：设： (4)由(3)，(4)两式可得：由矩的定义可知：反应器顶部的的气相浓度的0阶时间矩为：由矩的物理意义可知，零阶矩表示区间内所有物理量的总和，一阶矩与零阶矩的比值，表示了分布的平均值，或表示了分布函数的方差。为了求出0，1，2阶矩，需要得到反应器顶部输出的气相浓度对时间的变化曲

9、线。在反应器入口打入原料气的一个脉冲输入，同时在反应器出口记录尾气的浓度，可以得到气相浓度对时间的变化曲线，利用微积分和概率统计的知识，可以求出浓度曲线下的面积，浓度的平均值以及方差，由定义得到各阶矩。然后代入0，1，2阶矩的表达式中，就可以得到含有，以及的三个方程。通过求解这个方程组可以得到这三个参数。10附图为一两级连续结晶器流程，由两个体积相同的结晶器串连组成。设第一个结晶器输入的料液中不含晶体，结晶器处于稳态操作，液体流量相同，每个结晶器的成核与晶体生长速率已知（但不一定相同），试求最后一级结晶器输出的晶体重均粒径。 nin = 0解：由教材p294页连续结晶过程的矩量分析可知：第一个

10、结晶器的各阶矩为：其中g1和b1分别是第一个结晶器的晶体的成长和成核速率。第二个结晶器的各阶矩为：其中g2和b2分别是第一个结晶器的晶体的成长和成核速率。所以第二个级结晶器输出的晶体重均粒径为：将上面两个结晶器各阶矩代入，化简得： 11已知聚合物的链长分布可由方程（5.6.50）、（5.6.51）描述，即 （j1, 2, ）当j1时，可将j考虑为连续变量并取如下近似 于是链长分布p(, j)由以下连续方程描述 （11-1）试对上述方程作关于变量j的laplace变换，然后求出链长分布的04阶矩（注：上述近似仅在j1时才能得到合理的结果）解：对式（11-1）做关于变量j的laplace变换，得

11、（11-2）可得式（11-2）的解为又 （11-3） 式（11-3）可变换成如下形式： （11-4）对式（11-4）求关于s的二阶导数，得当s0时，有 （11-5） 同理有 （11-6） （11-7） （11-8）12设无限长色谱反应柱中的溶质运动由以下方程描述 （12-1）试按照本章7节所介绍的方法由空间矩和hermite多项式构造本问题的解答，讨论当吸附参数k变化时，色谱峰的移动速度、峰面积、峰宽呈何种趋势变化；如果输入的同一个脉冲中含有两个不同的独立组分，二组分具有相同的参数, d, kr, 但有不同的吸附平衡常数ki（i1，2）试画一草图表示两组分色谱峰的运动图象，要求标出两峰在同一时

12、刻的空间位置、峰面积、峰宽上的差异。解：对式（12-1）做关于x的fourier变换，仍记f c(x, t) = c(, t)， （12-2）可得式（12-2）的解为可得其各阶矩值如下 （12-3） （12-4） （12-5） （12-6） （12-7）一般有 （12-8）该分布函数的形心位置和第04阶中心矩分别为的 （12-9） （12-10） （12-11） （12-12） （12-13）我们定义如下空间变量 则浓度分布函数c（x，t）关于x的hermite多项式级数式（12-14）所示 （12-14）其中则其前五项系数分布为 （12-15） （12-16）（12-17） （12-18） （12-19）进一步计算可证明，更高阶的系