第二十四届希望杯初三第2试试题及答案解析

1、第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三 第2试试题2013年4月14日 上午9：00至11：00竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。答案于今日11：00在以下网站和微博公布：“希望杯”官方网站：“希望杯”微博：/xiwangbei数理天地官方网站：数理天地微博：/shulitiandi未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式(包括网络)转载。一、选择题(每小题4分，共40分)1如图1，矩形abcd中，ab=2

2、，ad=1，点m在边dc上，若am平分dmb，则amd的大小是( )(a)75(b)60(c)45(d)302化简，得到的结果是( )(a)2(b)-2(c)2(d)-23一个矩形被分成面积为x，y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是( )4函数y=中，x的取值范围是( )(a)0以外的一切实数(b)0，-1以外的一切实数(c)1以外的一切实数(d)0，1以外的一切实数5若将写成小数，则十分位上的数字是( )(a)1(b)2(c)3(d)46代数式x-2+x+5( )(a)有最小值，没有最大值(b)有最大值，没有最小值(c)既有最小值，也有最大值(d)既没有最小值，也没有最大值7如图2，a

3、bc中，ab=2，bc=4，ca=3，平行于bc的直线l过abc的内心i，分别交边ab、ac于点d、e，则ade的周长是( )(a)5(b)6(c)7(d)8 8若动点m(x，y)与点a(2)的距离m到直线y=的距离，则动点m的轨迹是( ) (a)双曲线(b)抛物线(c)双曲线的一支(d)一条直线9不等式a-0的解是( )(a)a0(b)a1或a-1(c)a1或-1a0(d)a0或a-110如图3，abc中，ab=1，ac=2，abc=90，若bd、ef、gh都垂直于ac，de、fg、hi都垂直于bc，则阴影hic的面积与abc面积的比( )(a)()6(b)2()6(c)()6(d)()6二

4、、填空题(每小题4分，共40分)11方程+=2的根是 12如果正n边形的一个外角是5，那么n= 13已知关于x的方程x2-4x-p2+2p+2=0的一个根为p，则p= 14平面直角坐标系内，一只跳蚤停在点(5，0)处，它要跳到点(6，0)处，它每一跳都是飞越5个长度单位，并且总是跳到整点(坐标都是整数的点)，也不从原路返回，那么当它跳到(6，0)时，至少跳了 次15将一个圆分成三个相同的扇形，将其中一个卷成圆锥，锥顶对锥底圆周上任意两点的最大张角的余弦值是 16将相同的平行四边形和相同的菱形镶嵌成如图4所示的图案设菱形中较小的内角为x度，平行四边形中较大的内角为y度，则y与x的关系式是 17a

5、bc中，ac=3，bc=5，acb=120，点m平分ab，则tanmca= ，mc= 18方程组的正整数解(x，y，z)是 19abc的三条高依次是ad=6，be=4，cf=3，则cosc= ，abc的面积是 20已知f(x)是一个多项式，若f(x)除以(x-1)，余5；f(x)除以(x+2)，余2，则f(x)除以(x-1)(x-2)，得到的余式是 三、解答题每题都要写出推算过程21(本题满分10分)已知二次函数y=mx2+6x+m+4的图象在直线y=-2的上方 求m的取值范围 当m=2时，求此二次函数的图象在x轴上截得的线段的长(考试时此问去掉)22(本题满分15分)一家商店销售某种计算器，

6、开始按定价(小于200元的整数元)售出，后来按定价的六折售出，当售出200台时，共得款30498元，问：打折前，按定价售出了多少台？23(本题满分15分)设f(x)=将f(x)化成 (a，b是不同的整数)的形式；求f(x)的最大值及相应的x值第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三第2试答案与解析一、选择题(每小题4分，共40分)1选：a；【解析】ab=bm，bmc=302选：a；【解析】72=()23选：a；【解析】y=s-x(0xs)4选：d；5选：b；【解析】1122=12544127001132=127696选：a；【解析】f(x)=x-2+x+5；当x-5时，f(x)=-2x-3，f(

7、x)7，当-5x2时f(x)=7，当x2时，f(x)=2x+3，f(x)7，所以有最小值，没最大值7选：a；【解析】di=db，ei=ec，cade=ab+ac8选：b；【解析】(x-2)2+(y-)2=(y-)2，整理得：y=-x2+4x-39选：b；【解析】由a-0得a-0，去分母：a2-10，a21，10选：a；【解析】设ad=a，则bd=a，dc=3a，sbcd=sabc，同理：shic=()6sabc二、填空题(第小题4分，共40分)11x1=；x2=1；【解析】+=2；=2-；3-2x=4+x-4；4=3x+1；16x=9x2+6x+1解出：x1=；x2=1；经检验都是原方程的根1

8、272；【解析】3605=72131；【解析】p2-4p-p2+2p+2=0；p=1143；【解析】如图所示两种走法15；【解析】可算出底面半径：母线=，转化成腰为3底为2的等腰三角形顶角的余弦的计算16y=x+90；【解析】由图可得：2y+180-x=360175；【解析】延长cm至n使mn=cm，连接bn，作cdbn于d，易证bnac，bn=ac，cbn=60，bd=25，dn=05，cd=25 tanacm=tann=2505=5；mc=cn=18(1，3，6)；【解析】2x+y3，得：4x2-2xy+y2=z+1 -得：4x2-2xy+y2-(2x+y)-2=0，4x2+4xy+y2-

9、(2x+y)-2=6xy，即(2x+y-2)(2x+y+1)=6xy2x+y+14，当2x+y+1=6时，2x+y-2=xy，解得(1，3，6)；当2x+y+1=6x时，2x+y-2=y，解得(1，3，6)；当2x+y+1=6y时，2x+y-2=x，无正整数解；当2x+y+1=6xy时，2x+y-2=1，无正整数解19-；【解析】bc=s，ac=s，ab=s，bc：ac：ab=2：3：4，可算得：cosc=-，cd=ac=s，(s)2-(s)2=36，s=20x+4；【解析】由题意，得：f(x)=(x-1)g(x)+5；f(x)=(x+2)h(x)+2(x+2)-(x-1)，得：3f(x)=(

10、x-1)(x+2)g(x)-h(x)+3x+12f(x)=(x-1)(x+2)g(x)-h(x)+x+4三、解答题每题都要写出推算过程21(本题满分10分)解： 由题意，得：，解得：m3 设：抛物线与x轴交于(x1，0)、(x2，0),当m=2时，y=2x2+6x+6则x1+x2=-3，x1x2=3，x1-x2= = =由于m3，取m=2不恰当，固删去了第2问22(本题满分15分)解：设计算器定价为x元/台，售出a台后打折出售由题意得：ax+06x(200-a)=30498整理，得：x(a+300)=351317230a200，a+300500，x15249，又x200，153x200x是整数只有x=3513=195时满足，此时a+3