模拟“五羊杯”初中数学竞赛初二试题（附详细解答）

1、模拟“五羊杯”初中数学竞赛初二试题 （考试时间：90 分钟；满分 100 分） 一选择题（4 选 1 型，每小题选对得 5 分，否则得 0 分.本大题满分 50 分） . 1. 【原创】化简：=（ ）. 25 )4(9 5 . 025 . 1 1)25 . 0 ( 5 . 03 5 . 26 a. -1; b. 0; c. 1; d. . 13 25 2. 【原创】已知实数满足，则（ zyx,02261244 222 zyxzyx xz y ）. a.; b. ; c. 1; d. -1. 2 3 3 2 3. 【原创】满足不等式组的所有整数的个数为（ 9 7 1 7 2 37 3 4 16

2、xx x x x x ）. a. 4; b. 6; c. 9; d. 11. 4. 1已知： ，那么代数式的值是（ ）.03 2 nn20194 23 nn a. -2009; b. 2009; c. -2010; d. 2010. 5. 2如下图，多边形 abcdefghij 的相邻两边互相垂直，要求出它的周长， 至少需要知道（ ）条边的边长。 a. 3; b. 4; c. 5; d. 6. 1 模仿 97 年度“希望杯”全国数学邀请赛初二试题中的第 6 题自编而成 2 模仿第十九届“五羊杯”初中数学竞赛初一试题中的第 6 题自编而成 6. 3 被 11 除的余数是（ ）. 2010 201

3、0 a. 1; b. 2; c. 4; d. 6. 7. 4设 ，是任意实数，则1233baabbaba, （ ）.) 11 45 10 41 9 37 8 33 ()10003100310313( a.; b. ; c. ; d. .31015 10 10 101531015 9 9 1015 8. 5如果 ，且，那么在四个代数式： cba zyx0,zyx ； z c y b x a ；中，哪一个的值最小？（ ） y c z b x a z c x b y a y c x b z a a. ； b. ； c. ； d. . 9. 6打字员小张连续打字 20 分钟，打了 3609 个字符，已

4、测得他在第一分 钟打了 120 个字符，在最后一分钟打了 98 个字符. 如果测算他每一分 钟所打字符的个数，则以下结论不成立的是（ ）. a. 必有连续 2 分钟打了至少 377 个字符； b. 必有连续 3 分钟打了至少 566 个字符； c. 必有连续 6 分钟打了至少 1131 个字符； d. 必有连续 9 分钟打了至少 1697 个字符. 10. 7空间中八个点（任意三点不共线）两两连线，用红绿两色染这些线段， 其中点 a 连出的线段都是红色的. 那么，以这八个点为顶点的三角形中， 三边同色的三角形的个数至少为（ ）. a. 13； b. 14； c. 15； d. 16. 二填空题

5、（每小题填对得 5 分，否则得 0 分.本大题满分 50 分）. 1. 8已知 是质数，并且也是质数，则_. p3 7 p38 11 p 2. 【原创】设 9 位自然数 m=，m 是 88 的倍数，则 m=_. _ 2201091xy 3. 9某校初二三个班同学举行羽毛球混合双打表演，要求每班都派出一名 男生和一名女生，规定同班的男女生不能配对.如果派出的男生分别是 甲、乙、丙、丁，派出的女生分别是 a、b、c、d. 3 模仿 97 年度太原市初中数学竞赛第一试第 4 题自编而成 4 模仿第十九届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题中的第 8 题自编而成 5 改编自数学竞赛培训教程（初中册）第 38

6、 页例 2 6 改编自第十二届“五羊杯”初中数学竞赛初二试题第 10 题 7 改编自中学数学2010 年 5 月数学奥林匹克初中训练题 129 第 6 题 8 改编自 96 年度北京市初中数学竞赛初二试题第 1 题 9 模仿 98 年度北京市初一年级“迎春杯”数学竞赛试题填空题第 1 题自编而成 第一场：甲和 a 对丙和 c； 第二场：丙和 b 对甲和 c； 第三场：丁和 a 对乙和丙的同班女生. 那么，甲、乙、丙、丁的同班女生分别是_. 4. 10某个两位数 ，它的平方数的末两位数也是，那么为 _ ab _ ab _ ab _. 5. 11某校初中二年级同学中，有 45 人参加了数学竞赛，有

7、 40 人参加了英 语竞赛，有 38 人参加了语文竞赛，其中参加数学和英语两科的共有 15 人，参加英语和语文两科的共有 20 人，参加数学和语文两科的共有 19 人.已知参加竞赛的同学中有的同学得了奖，则得奖的共有_人. 11 4 6. 12用一个正方形去盖住边长为 3，4，5 的直角三角形，那么正方形的边 长不得少于_. 7. 13计算 =_. 99979593 1 9753 1 7531 1 8. 14万人瞩目的世博会在上海开幕了。李先生一家计划暑期去看世博会。 如图，假设李先生从 a（家）出发到 b（世博园区） ，可向东、向北或 在有路时向东北方向走，则李先生从家到世博园区有_条不同的

8、路 径。 9. 15构造三角形，可求出 的准确值为_.36sin 10. 16如下图，在 43 的网格中有 20 个格点，作出以这 20 个格点中的三 个点为顶点的所有三角形，其中直角三角形有_个. 10 改编自数学竞赛培训教程（初中册） 第 305 页 96 题 11 改编自 96 年度天津市初中数学竞赛初二试题第 10 题 12 改编自数学竞赛培训教程（初中册） 第 367 页 2. （5） 13 推广第 10 届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛小学组二试第 3 题 14 改编自课堂有奖征答第 9 题 15 改编自中学数学2010 年 4 月数学奥林匹克初中训练题 128 第 4 题 1

9、6 改编自中学数学2010 年 6 月数学奥林匹克初中训练题 130 第 2 题 模拟“五羊杯”初中数学竞赛初二试题解答 一一. . 选择题：badca dcadb 1. b. 原式分子=，故原式=0.011 75 . 0 75 . 0 5 . 3 5 . 3 2. a. ，即02261244 222 zyxzyx ，0)96()9124()44( 222 zzyyxx0) 3() 32()2( 222 zyx ，故.所以.3 2 3 2zyx， 2 3 ) 2 3 ( 23 xz y 3. d. 对第一个不等式求解得，)37(2412) 16(xxxxx214116 ，；对第二个不等式求解得

10、，258 x125 . 3 x)7(7639xx ，xx749639 ，. 所以不等式组的解为，整数解为：-7，-142x7x125 . 3 7x 6，-5，2，3，共 11 个. 4. c. 由，知，则. 故=03 2 nn3 2 nnnnn3 23 20194 23 nn .2010201992019)(320193320193 22223 nnnnnnn 5. a. 显然只须知道边 ab、bc、gh 的长度，便可计算出多边形 abcdefghij 的 周长=2(ab+bc+gh)，所以需要知道边长的边数至少是 3. 6. d. 由，有， 8112010a91164176121)811(2

11、010 222 baaa .故611728899121)911)(811(20103cbaabba ，被 11 除的余数是 6. （为整数）61120102010 32010 c 2010 2010cba， . 7. c. 易见，故，abbaba3) 3)(3(100331001010313 ，.31031000100010031003 6 3103101010003) 310( 10466 又易见，故)()(cbacba ，3 4 5 3 9 10 8 9 3) 3 9 37 )(3 8 33 ( 9 37 8 33 ，则3 5 6 3 11 12 10 11 3) 3 11 45 )(3

12、10 41 ( 11 45 10 41 .3 2 3 3 5 6 4 5 3) 33 5 6 )(33 4 5 () 3 5 6 () 3 4 5 ( 由此原式=.310153 2 3 10) 3 2 3 () 310( 91010 8. a. ，则，故cbazyx0,zyx zyx 111 =，于是.0) 11 )() 11 () 11 ( zy cb yz c zy b 同理，有=，于是.0) 11 )() 11 () 11 ( yx ba xy b yx a =，于是.0) 11 )() 11 () 11 ( zx ba xz b zx a 所以在这四个式子中，的值最小. 9. d. 小

13、张在中间的 18 分钟打了 3609-120-98=3391 个字符. 把这 18 分钟分别 平均分成 9 段、6 段、3 段，每段 2 分钟、3 分钟、6 分钟，则 33919=3767，33916=5651，33913=11301，应用抽屉原理可知 a、b、c 均成立. 但 33912=16951，因此如果小张每分钟所打字符个数 依次是： 120，189，189，188，189，188，189，188，188，188，189，188，189， 188，189，188，188，188，188，98，则他连续 9 分钟最多打了 4(188+189)+188=1696 个字符，所以结论 d 不成

14、立. 10. b. 易知有个三角形. 设同色三角形有个，则异色三角形有56 3 8 cx 个.显然，每个同色三角形有 3 个同色角，每个异色三角形有 1 个同色x56 角. 设同色角的总数为，则.yxxxy256563 除点 a，若其他任一顶点处有条红边，则其同色角的个数为)71 ( kk .即其他任一顶点处至少有 9 个同色角.9217 22 7 2 kkcc kk 故同色角的总数.即，.8497 2 7 cy84256 x14x 所以同色三角形不少于 14 个. 二. 填空题： 1. 2010. 是质数，也是质数.由于，则一定是奇质数， p3 7 p23 7 p3 7 p 为偶数，为偶质数

15、，所以=2. 故. 7 ppp201038204838 11 p 2. 201091352 或或 201091792. 因为 20109100288=22851252，而 m= 是 88 的倍数，故+2=是 88 的倍数.又 88 的三位数的且个 _ 2201091xy _ 0 xy _ 2xy 位为 2 的倍数只有 352 和 792，所以=35 或 79，m=201091352 或 _ xy 201091792. 另解：易见 88=811，8|，4|，故；11|m，故 m 的各 _ 2xy _ 2y86420，y 位数字交替和应是 11 的倍数. 从而yxxy132010912 只可能是，

16、和，其中适合 8|的只有)(yx，)97( ，)75( ，)53( ，)31 ( ， _ 2xy =和，故 m=201091352 或 201091792.)(yx，)97( ，)53( ， 3. b、a、d、c. 由已知，甲和 a，甲和 c 不是同班女生，故甲的同班女生只能 是 b 或 d；又丙和 c，丙和 b 不是同班女生，故丙的同班女生只能是 a 或 d，而在第三场比赛中，丁和 a 对乙和丙的同班女生，则丙的同班女生不可 能为 a，所以丙的同班女生是 d，由此甲的同班女生是 b. 而丁和 a 不是同班女生，所以丁的同班女生是 c，乙的同班女生是 a. 4. 25 或或 76. 因为的末两

17、位数还是，所以能被 100= 2 _ ab _ ab ) 1( _ 2 _ abababab 425 整除. 因为与互质，所以只能有： _ ab1 _ ab 4 整除并且 25 整除； _ ab1 _ ab 4 整除并且 25 整除.1 _ ab _ ab 验证这两种情形，可得=25 或 76. _ ab 5. 28. 设三科都参加的有人，共参加了人，则由题意有：xy .xxy69192015384045 而，故.只有当时，可被 11 整除. 151 x8470 y77y 所以，获奖人数为：.28 11 4 77 6. 17 1716 如上图，要使盖住 rtaef 的正方形 abcd 尽可能地

18、小，直角三角形的斜边 af 应当尽可能地靠近正方形的对角线 ac. 设 ab=，ec=，由 aeef 知aeb 和cef 互余，而efc 和cef 互余，xy 所以aeb=efc，又b=c=90，则abeecf. 故，即 34 yx . 4 3x y 由 rtabe 得到 ab+be=ae，即，即. 222 4) 4 3 ( x xx16 16 17 2 x 所以，即正方形的边长不得小于. 17 1716 x 17 1716 7. 912285 60818 ) 99979593 1 9753 1 7531 1 (6 99979593 6 9753 6 7531 6 999795 1 979593 1 975 1 753 1 753 1 531 1 . 912285 60818 999795 1 531 1