高等代数第10章习题参考答案VIP

1、第十章 双线性函数与辛空间习题精解1、 设v是数域p上的一个三维线性空间，是它的一组基，f是v上的一个线性函数，已知 f (+)=1,f (-2)=-1,f (+)=-3 求f (x+x+x).解 因为f是v上线性函数，所以有 f ()f ()=1 f ()-2 f ()=-1 f ()+f ()=-3解此方程组可得 f ()4，f ()7，f ()3于是 f (x+x+x).x f ()x f ()x f () 4 x7 x3 x2、 设v及，同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (+)f (-2)=0, f (+)=1解 设f为所求v上的线性函数，则由题设有 f ()f ()=0 f (

2、)-2 f ()=0 f ()+f ()=1解此方程组可得 f ()1，f ()2，f ()1 于是av,当a在v的给定基，下的坐标表示为 a= x+x+x时，就有 f (a)=f (x+x+x) = x f ()x f ()x f () =-x+2 x+ x3、 设，是线性空间v的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 1，2，3 试证：1，2，3是v的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （1，2，3）（，）a 由已知，得 a 因为0，所以1，2，3是v的一组基。 设g1,g2,g3是1，2，3得对偶基，则 （g1,g2,g3）（f1,f2,f3）（a） （f1,f2,f3） 因此 g1=

3、f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设v是一个线性空间，f1,f2,fs是v中非零向量，试证：v，使 fi()0 (i=1,2,s) 证：对s采用数学归纳法。 当s1时，f10,所以v，使fi()0，即当s1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即v，使fi()=i0 (i=1,2,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f()0,则命题成立，若f()0，则由f0知，一定v 使f()b,设fi()=di(i=1,2,k),于是总可取数c0，使 ai+cdi0(i=1,2,k) 令，则v，且 fi()=ai+cdi0(i=1,2,k)f()cb0即证。5设1，2，

4、s是线性空间v中得非零向量，试证： fi()0 (i=1,2,s)证：因为v是数域p上得一个线性空间，v是其对偶空间，若取定v中得一个非零向量，则可定义v的一个线性函数如下： (f)=f() (fv)且是v的对偶空间（v)中的一个元素，于是，v到其对偶空间的对偶空间（v)的映射 是一个同构映射，又因为1，2，s是v中的非零向量，所以1，2，s对偶空间v的对偶空间（v)中的非零向量，从而由上题知，fv使f()i(f) 0 (i=1,2,s)即证.6.设vpx,对p(x)=c0+c1x+c2xv,定义 f(p(x)= f(p(x)= f(p(x)=试证f， f， f都是v上线性函数，并找出v的一组

5、基p1(x),p2(x),p3(x),使f， f， f是它的对偶基。证：先证是v上线性函数，即fv，对g(x),h(x) v, kp,由定义有 f（g(x)h(x)） f(g(x)+ f(h(x) f(kg(x)= =k=k f(g(x)即证f。同理可证f， fv。再设p1(x),p2(x),p3(x) 为v的一组基，且f， f， f是它的对偶基。若记 p1(x)= c0+c1x+c2x则由定义可得 f(p(x)=c0+c1+c2=1 f(p(x)=2c0+2c1+ c2=0 f(p(x)=-c0+c1-c2=0 解此方程组得 c0=c1=1,c2=- 故 p1(x)=1+x- x 同理可得

6、p2(x)=- + x p3(x)= -+x- x7.设v是个n维线性空间，它得内积为（，），对v中确定得向量，定义v上的一个函数： （）=（，）1） 证明是v上的线性函数2） 证明v到v的映射是v到v的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间。）3） 证：1）先证明是v上的线性函数，即v，对1，2v，kp，由定义有： （12）（，12） （，1）（，2） （1）（2） （k1）=（，k1）=k（，1）=k（1） 故是v上的线性函数。2）设，是v的一组标准正交基，且对v由定义 （）（）(i=1,2,n)知 （）（，）于是，是，的对偶基，从而v到v的映射是v与v中两基间的一个双射

7、因此它也是v到v的一个同构映射8设是数域p上n维线性空间v得一个线性变换。1）证明，对v上现行函数f，f仍是v上的线性函数；2）定义v到自身的映射为ff证明是v上的线性变换；3）设，是v的一组基，f， f， f是它的对偶基，并设在，的矩阵为a。证明：在f， f， f下的矩阵为a。证：1）对v，由定义知（f）（）f（）是数域p中唯一确定的元，所以f是v到p的一个映射。又因为，v，kp,有（f）（）f（） f（）（） （f）（）（f）（） （f）（k）f（k）= f（k （） =k f（）=k（f）（）所以f是v上线性函数。2）对fv，有（f）= fv,故是v上的线性变换。3）由题设知 （，）（，

8、）a设（f， f， f）（f， f， f）b其中a=(a),b=(b),且f， f， f是，的对偶基，于是 f（f），所以a= b(i,j=1,2, n),即证在f， f， f下的矩阵为b=a. 9.设v是数域p上的一个线性空间，f， f， f是v上的n个线性函数。 1）证明：下列集合 wvf()=0(1in)是v的一个子空间，w成为线性函数f， f， f的零化子空间； 2）证明：v的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。 证：1）因为f， f， f是v上的n个线性函数，所以fv(1in)，且f(0)=0(i=1,2, n)，因而0w，即证w非空。又因为，v，p，有 f()f()f()0 (

9、i=1,2, n) f() f()0所以w，w，即证w是v的一个子空间。2）设w是v的任一子空间，且dim（w）m,则当mn时，只要取f为v的零函数，就有 wvv f ()=0所以w是f的零化子空间。当m=2,f ()是v上的一个对称双线性函数。 1）证明v中有非零向量使f (，)0 2）如果f ()是非退化的，则必有线性无关的向量，满足 f (，)1 f (，)f (，)0证1）设，为复数域上n维线性空间v的一组基，f ()是v上的对称双线性函数，则f ()关于基，的度量矩阵a为对称矩阵，于是，存在非退化的矩阵t，使 tat=b若令 （，）（，）t则，也是v的一组基，且f ()关于基，的度量

10、矩阵为b，因此x+ x+x,= y+ y+yv,有 f(,)=x y+ x y+ +x y f(,)=x+x+x (0rn)故而当r=0时，对v中任一非零向量，恒有f(,)=0；当r=1时，只要取0，就有f(,)=0；当r2时，只要取i+0，就有f(,)=0；2)如果f ()是非退化的，则f(,)=x y+ x y+ +x y 因而只要取 +，=就有 f(,)=（）（）（）1 f(,)=（）（）0 f(,)=（）（）0即证。13试证：线性空间v上双线性函数f ()是反对称的充要条件是：对任意的v，都有 f()=0证：必要性。因为f ()是反对称的，所以v，恒有 f()=f()故f()=0充分性

11、。因为f ()是双线性函数，所以v，有 f (+,+)=f()=f(,)=0故 f ()f(,)即 f ()是反对称的。14设f ()是v上对称或反对称的双线性函数，是v中的两个向量，若f ()0，则称正交，再设k是v的一个真自空间，证明：对k必有 0k+l() 使f(,)0对所有k都成立证明 ：1）先证f ()是对称的双线性函数的情形。 因为k是v的子空间，所以f ()是k上的对称双线性函数，设dim（k）r则f ()关于k的任意一组基的度量矩阵皆为对称矩阵，于是，必存在k的一组基，使f ()在这组基下的度量矩阵为对角矩阵 ddiag(d,d, d)只要令 且当d=0(1ir)时，就删除d相

12、应的项，则0k+l()，于是对任意k,恒有 f(,)02）再证f ()是反对称双线性函数的情形，首先，若对给定k，若存在k，使f(,)=0,则可令，使得f(，)=1.又因为k+l()是v的子空间，所以f ()也是k+l()上的反对称双线性函数，于是可将，扩充为k+l()的一组基： ，使 故而当s0时，只要取，则对k，恒有f(,)=0;当s=0时，只要取，则由，k=l(，),对k，也有f(,)=0。其次，若对给定的k，及任意k，使f(,)=0,则只要取即可。15设v与f ()同上题，k是v的一个子空间，令 = 1)试证k是v的子空间（k称为k的正交补）； 2）试证：如果kk0,则vkk 证：1）

13、因为k，恒有f(0, )=0,所以0k，即k非空。 另一方面，k，kp, k，有 f(+,)=f(,)+f(,)=0 f(k,)=k f(,)=0故+， kk，从而k是v的子空间。2）由于k和k都是v的子空间，知 k+ kv不妨设k是v的一个真子空间，v,若k，则证毕，若k，则存在 0k+l()，使 f(,)=0 （k）于是k。又因为 k (k,kp)显然k 0,否则 k k0从而0，这是不可能的。因此有 k+ k故v k+ k。即证。16设v，k同上题，并设f(,)限制，试证： vk+ k的充要条件是f(,)在v上是非退化的.证：必要性。设vk+ k，且f(,) 0 （k）下证0，设+，k，

14、k，则k，有 0f(,)f(+,)f(,)f(,) f(,)由于f(,)在k上是非退化的，故0，从而k同理，k，由f(,)0可得（k），但k k0因而得知0。充分性：设k k，若0，则只要将扩充为一组基，由于k，因而必有 于是，k，皆有f(,)0，这与f(,)限制在k上非退化矛盾，所以0，也就是k k0由此即证v= k+ k.17.设f(,)是n维线性空间v上的非退化对称双线性函数，对v中的一个元素定义v中的一个元素： （）f(,)（v）试证： 1）v到v的映射 是一个同构映射。 2）对v的每组基，有v的唯一的一组基，使f(,)4） 如果v是复数域上的n维线性空间，则有一组基，使 (i=1,2

15、n)证：1）因为f(,)是n维线性空间v上的非退化对称双线性函数，所以存在v的一组基，使 f (,)=再由v的定义作，v，设有线性关系 k+k+k=0则00（）（k+k+k）（） k（）k（）+k（）kf (,)+k f (,)+k f (,)=kd (i=1,2n)但d0(i=1,2n)，故 k=0(i=1,2n)这意味着，线性无关，因而，为v的一组基，故v到v的映射是一个双映射。另一方面，v，kp,有 （）（）f (,)f (,)f (,) （）（） (k)（）= f (k,)=k f (,)=k（）故v到v的映射是一个同构映射。 2）设v中的线性函数f,f,f是v的基，的对偶基，于是存在

16、v的唯一一个向量组，,，使 （）f(,）= f (） (v,i=1,2,n) 且 （）f(,）=f（）=另一方面，设有线性关系 k+ k +k=0则 0f (k+ k +k)() = kf(,)+k f(,)+k f(,) =k (i=1,2,n)故k=0(i=1,2,n)。这意味着，,线性无关，因而，,为v的一组基。只要令，即证。3）因为v是复数域上1的n维线性空间，f(,)是n维线性空间v上的非退化对称双线性函数，所以存在v的一组基，使f(,)在这组基下的度量矩阵为单位矩阵。再由2即可知 (i=1,2n)18设v是对于非退化对称双线性函数f(,)n维准欧氏空间，v的一组基，如果满足 f (

17、,)=1 (i=1,2p) f (,)=-1 (i=p+1,p+2, ,n) f (,)=0 (ij)则称为v的一组正交基。如果v上的线性变幻满足 f(),()=f(,) (,v)则为v的一个准正交变换。试证：1） 准正交变换是可逆的，且逆变换也是准正交变换；2） 准正交变换的乘积也是准正交变换3） 准正交变换的特征值等于1或1；4） 准正交变换在正交积上的矩阵a满足 a a证： 1）因为f(,)是非退化的对称双线性函数，所以存在v的一组基，使f(,)在该基下的度量矩阵为对角矩阵，设其为 adiagd,d,d其中d0(i=1,2, n).若为v的一个准正交变换，则由定义有（v）l(（）, （）, （）)于是对于线性关系 k（）+k （）+k（）=0有0f (0, （）)=f (k（）+k （） = k f (（）, （）)+ k f (（）, （）) +kf(（）, （）) = k f (,)+k f (,)+k f (,) =但d0 (i=1,2, ,n),故k=0(i=1,2, ,n).这意味着（），（），（）线性无关，因而，（），（），（）为（v）的一组基，且dim(（v）)=n,有因为v是有限维的，所以是可逆变换。设的逆变换为，则仍为线性变换，且任意,v，有 f (),()=f (),()=f(,)故也是准正交变换。2）设为v的两个准正交变换，则也是