(完整版)北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析

1、 七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图 7，点 o 是线段 ad 的中点，分别以 ao 和 do 为边在线段 ad 的同侧作等边三角形 oab 和等边三角形 ocd，连结 ac 和 bd，相交于点 e，连结 bc求aeb 的大小；（2）如图 8，oab 固定不动，保持ocd 的形状和大小不变，将ocd 绕着点 o 旋转（oab 和ocd 不能重叠），求aeb 的大小.bcbcadoaod图 7图 82. 已知:点 c 为线段 ab 上一点，acm,cbn 都是等边三角形，且 an、bm 相交于 o. 求证：an=bm 求 aob 的度数。 若 an、mc 相交于点 p

2、，bm、nc 交于点 q，求证：pqab。（湘潭中考题）nqpbac同类变式： 如图 a，abc 和cef 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点c，连接 af 和 be.(1)线段 af 和 be 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图 a 中的cef 绕点 c 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图 a 中的abc 绕点 c 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图 c3. 如图 9，若abc和为等边三角形，m n 分别为 eb cd 的中点，易证：, ,adecd b

3、e ，amn是等边三角形 = be（1）当把ade 绕 a 点旋转到图 10 的位置时，cd是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当ade 绕 a 点旋转到图 11 的位置时，amn是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由图 9图 10图 11同类变式：已知，如图所示，在 abc 和 ade 中， ab = ac ，ad = aebac = dae ，且 点 b，a，d 在一条直线上，连接 be，cd，m ，n 分别为 be，cd的中点（1）求证： be = cd ； am = an；（2）在图的基础上，将ade 绕点 按顺时针方向旋转180 o，其他条件不

4、变，得到a图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.ccnendbammdbae图图4. 如图，四边形 abcd和四边形 aefg均为正方形，连接 bg 与 de 相交于点 hade ；（1）证明：abg（2）试猜想 bhd 的度数，并说明理由； （3）将图中正方形 abcd绕点 a 逆时针旋转（0 bae 180），设abe 的面积s1ss s1为 ，adg 的面积为 ，判断 与 的大小关系，并给予证明22dagfceb5.已知：如图，abc是等边三角形，过abd dgbc边上的点 作，交acg于点 ，在gde的延长线上取点 ，使de db=ae，cd，连接 （1）求证：aged

5、ac；e efdc（2）过点 作bcfaf ，并判断aef于点 ，请你连接 是怎样的三角，交形，试证明你的结论adgecbf二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等1. 如图，abc 中，acb90，acbc，ae 是 bc 边上的中线，过c 作 cfae，垂足为 f，过 b 作 bdbc 交 cf 的延长线于 d求证：（1）aecd； （2）若 ac12 cm，求 bd 的长 2.（西安中考）如图(1), 已知abc 中, bac=900, ab=ac, ae 是过 a的一条直线, 且 b、c 在 a、e 的异侧, bdae 于 d, ceae

6、于 e 。图(1)图(2)图(3)(1)试说明: bd=de+ce.(2) 若直线 ae 绕 a 点旋转到图(2)位置时(bdce), 其余条件不变, 问 bd 与 de、ce 的关系如何? 写出结论,可不说明理由。3. 直线 cd 经过bca 的顶点 c ，ca=cb e f、 分别是直线cd 上两点，且bec = cfa= a（1）若直线cd 经过bca的内部，且e、f 在射线cd 上，请解决下面两个问题：bca = 90 , = 90-be af （填“ ”，“ ”或如图 1，若“= ”号）；a，则ooef如图2，若0o bca 180，若使中的结论仍然成立，则 a 与bca 应满足的关

7、o系是；（2）如图3，若直线cd 经过bca的外部， = bca，请探究ef、与be、af 三条a线段的数量关系，并给予证明bbbeafdf deeccfcaad图 1图 2图 3 考点 2：利用角相等证明垂直1. 已知 be，cf 是abc 的高，且 bp=ac，cq=ab，试确定 ap 与 aq 的数量关系和位置关系qadfepbc2. 如图，在等腰 rtabc中，acb=90，d 为 bc 的中点，deab，垂足为 e，过点 b 作bfac 交 de 的延长线于点 f，连接 cf(1)求证：cd=bf；(2)求证：adcf；(3)连接 af，试判断acf的形状.拓展巩固：如图 9 所示，

8、abc 是等腰直角三角形，acb90，ad 是 bc 边上的中线，过 c 作 ad 的垂线，交 ab 于点 e，交 ad 于点 f，求证：adcbdecfdbae图 9（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？） 3. 如图1，已知正方形abcd的边cd在正方形 defg的边 de 上，连接 ae ，gc.（1）试猜想 ae 与gc 有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形 defg绕点 d 按顺时针方向旋转，使 e 点落在 bc 边上，如图2，连 接 ae和gc .你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.da

9、bcl bc, ac = bc, defp且fp 也4.如图 1，的边 bc 在直线 上， ac的边在直线l 上，边 ef 与边 ac 重合，且 ef= fp（1） 在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 ab 与 ap 所满足的数量关系和位置关系；defpep 交 ac 于点q ,连接（2） 将沿直线l 向左平移到图 2 的位置时，ap, bq .猜想并写出 bq 与 ap 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将defp沿直线l 向左平移到图 3 的位置时，ep 的延长线交 ac 的延长线于点 q,连结 ap bq ,你认为（2）中所猜想的bq 与 ap 的数量关系和位置

10、关系和位置,关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.a (e)eaqcbc (f)(1)plbfpl(2)aelfpbc(3)q 三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1. 如图，dabc 中，=，bac = 90 ， 是d bc中点，ab ac交于 求证： = ， = be af ae cfed fd ed ab ， 与交于， 与e fd acfafebdc2. 两个全等的含30，60角的三角板和三角板adeabc，如图所示放置，e, a,c 三点在oodemc一条直线上，连结明理由bd，取 bd的中点，连结 试判断me,mc的形状，并说mbmdeca

11、压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知 drt abc中，=， = ， 为 ab 边c 90ac bcd的中点，= ，edf 绕 点旋转，它的两边分别交edf 90、ac cb（或它们的延长线）d于 e 、 f1当 绕 点旋转到edf d 于 时（如图 1），易 证de ac e+=当edf 绕sssddefdcef2 dabc点旋转到和de ac不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，d请给予证明；若不成立，s需证明，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不ssddefdcefdabcaaeadddeccfbcbefbf图1图2图3提示：此题为上面题目的综合应用

12、，思路与第一题相似。 3. 已知：如图，abc 中，abc=45，cdab 于 d，be 平分abc，且 beac 于 e，1与 cd 相交于点 f，h 是 bc 边的中点，连结dh 与 be 相交于点 g。(1) bf=ac (2) ce= bf2(3)ce 与 bc 的大小关系如何。考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1. 如图 1，四边形 abcd 是正方形，m 是 ab 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 d，且直角顶点e 在 ab 边上滑动（点e 不与点 a，b 重合），另一条直角边与cbm的平分线 bf 相交于点 f. 如图 141，当点 e 在 ab 边的中点位置时

13、： 通过测量 de，ef 的长度，猜想 de 与 ef 满足的数量关系是 连接点 e 与 ad 边的中点 n，猜想 ne 与 bf 满足的数量关系是 请证明你的上述两猜想.； 如图 142，当点 e 在 ab 边上的任意位置时，请你在 ad 边上找到一点 n,使得 ne=bf，进而猜想此时 de 与 ef 有怎样的数量关系并证明 2. 在 rtabc 中，acbc，acb90，d 是 ac 的中点，dgac 交 ab 于点 g.（1）如图 1，e 为线段 dc 上任意一点，点 f 在线段 dg 上，且 de=df，连结 ef 与 cf，过点 f 作 fhfc，交直线 ab 于点 h求证：dg=

14、dc判断 fh 与 fc 的数量关系并加以证明（2）若e 为线段 dc 的延长线上任意一点，点f 在射线 dg 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）bbhggfaacdecde图 1图 2同类变式：（期末考试原题哦）已知：abc 为等边三角形，m 是 bc 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 a，且 60 角的顶点 e 在 bc 上滑动，（点 e 不与点 b、c 重合），斜边与acm 的平分线 cf 交于点 f（1）如图（1）当点 e 在 bc 边得中点位置时1 猜想

15、 ae 与 ef 满足的数量关系是.2 连结点 e 与边得中点，猜想和满足的数量关系是.3 请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和ef 有怎样的数量关系，并说明你的理由？aafnfbcme图（2）bcm图（1） 四、 角平分线问题1. 如图：e 在线段 cd 上，ea、eb 分别平分dab 和cba, aeb=90,设 ad x ,+ y - 6x -8y + 25 = 0bc y ，且 x, y 满足 x22（1）求 ad 和 bc 的长；（2）你认为 ad 和 bc 还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出 ab 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.e

16、cdab2. 如图，op 是mon 的平分线，请你利用该图形画一对以op 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在abc 中，acb 是直角，b=60，ad、ce 分别是bac、bca的平分线，ad、ce 相交于点 f。请你判断并写出 fe 与 fd 之间的数量关系；（2）如图，在abc 中，如果acb 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。bbmeedfdfopacanc图图图(第 23 题图)bad3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过 作 于e ，c

17、ce ababcdac1并且=(ab ad)+，则abc + adc 等于多少？ae2dcabe4. 如图，abc 中，ad 平分bac，dgbc 且平分 bc，deab 于 e，dfac 于 f.（1）说明 be=cf 的理由；（2）如果 ab=a ，ac=b ，求 ae、be 的长.aegdcbf 五、中点问题1. 在abc 中, d 为 bc 的中点， 过 d 点的直线gf 交 ac 于 f , 交 ac 的平行线bg 于点g 。 de gf , 并交 ab 于点 e . 连结 eg .（1）求证: bg（2）请猜想 be；与 ef 的大小关系, 并加以证明2.如右下图，在dabc 中，若 = ，b 2 c， 为ad bc e bc边的中点求证：ab = 2deabdec3. 已知 dabc 中，的中线求证ab ac bd ab=，为的延长线，且（提示：倍长中线试试）bd ab ce= ，为dabc的 边上abcd 2c