(完整版)数列通项公式的十种求法

1、 数列通项公式的十种求法一、公式法a a2a 3 2a 21a ，求数列 的通项公式。例 1 已知数列满足n ，nn 1nnaa 3a2a3a解：aa2a 3 2n 两边除以2 n 1 ，得，则，故数列 是n 1n 1nn 1n 1nnnn22 2n22a2n 1n3231 (n 1)，以1 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得1nn21222231a a ( n )2n 。所以数列的通项公式为22nnan 12n 1a32评注：本题解题的关键是把递推关系式a2a 3 2n 转化为，说明数列nn2n 1naa3 1 (n 1)，进而求出数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项

2、公式求出的通项公式。nnnn222a n二、累加法a aa 2n 1， a 1a ，求数列 的通项公式。例 2 已知数列满足nn 1n1naa 2n 1 aa 2n 1则n解：由得n 1nn 1a (a a ) (aa ) l (a a ) (a a ) annn 1n 1n 2322112(n 1) 1 2(n 2) 1 l (2 2 1) (2 1 1) 12(n 1) (n 2) l 2 1 (n 1) 1(n 1)n2(n 1) 12(n 1)(n 1) 1n2a a n2 。n所以数列的通项公式为n评注：本题解题的关键是把递推关系式aa 2n 1n转化为aa 2n 1n，进而求n 1

3、n 1(a a ) (aa ) l (a a ) (a a ) aa ，即得数列 的通项公式。出nn 1n 1n 232211n 例 3 已知数列a 满足a = a + 23 +1，a = 3 ，求数列a 的通项公式。nnn+1n1n解：由a= a + 23 +1得a - a = 23 +1则nnn+1nn+1na = (a - a ) + (a - a ) +l + ( - ) + ( - ) +a a a a annn-1n-1n-232211= (23 +1)+ (23 +1)+l + (23 +1)+ (23 +1)+ 3n-1n-221= 2(3 + 3 +l + 3 + 3 ) +

4、 (n -1)+3n-1n-2213(1-3 )n-1= 2+ (n -1)+ 31-3= 3 -3+ n -1+ 3n= 3 + n -1n= 3 + n -1.所以 ann= a + 23 +1a - a = 23 +1评注：本题解题的关键是把递推关系式 a转化为，nnn+1nn+1n= (a - a ) + (a - a ) +l + (a - a ) + (a - a ) + a，即得数列a 的通进而求出annn-1n-1n-232211n项公式。例4 已知数列a 满足a = 3a + 23 +1，a = 3，求数列a 的通项公式。nnn+1n1n2 1aa= 3a + 23 +1=

5、+ +解： a两边除以3 ，得n+1，nn+13n+1n3 3 3n+1nn+1n2 1aa- = +则，故n+1n33 3 3n+1nn+1aa a ) + (aaaaa aa13= ( -) + (-) +l + ( - ) +n-3 2 1nnn-1n-1an-1n-23n-2n-23n-23n3 a3n-33 3n21n-12 12 12 1) + ( +3 32 1 3= ( + ) + ( +) +l + ( + ) +3 33 33 33nn-1n-2122(n -1) 1 1+ ( + +3 3 311=+l + ) +133n-232nnn-11(1-3 )n-12(n -1

6、)2n 1+1= + -3 2 231a3n=+因此，n3n31-3n211= n3 + 3 - .则 ann322n 2 1aa= 3a + 23 +1- = +评注：本题解题的关键是把递推关系式a转化为，nn+13n+1n3 3 3n+1nn+1n a aaaaaa a) +l + ( - ) +a13a( -) + (-) + (-进而求出，即得数列 n-1n-1n-13n-1n-23n-2n-23n-2n-33n-321nn3 33 33 n21n的通项公式，最后再求数列a 的通项公式。n三、累乘法例 5 已知数列a 满足a = 2(n +1)5 a ，a = 3，求数列a 的通项公式

7、。nnn+1n1na= 2(n +1)5 a ，a = 3a 0= 2(n +1)5，故解：因为a，所以，则nn+1nn+1n1nana aa al a =a2nn-13a aaa1nn-1n-221= 2(n -1+1)5 2(n - 2 +1)5 l 2(2 +1)5 2(1+1)5 3n-1n-221= 2 n(n -1)l 3253n-1(n-1)+(n-2)+l +2+1n(n-1)= 32 5n!n-12n(n-1)所以数列a 的通项公式为a= 3 2 5 !.n-1n2nna= 2(n +1)5 a= 2(n +1)5，进而求评注：本题解题的关键是把递推关系a转化为nn+1nn+

8、1nana aa al a出，即得数列a 的通项公式。nn-13a a2aa1nn-1n-221例 6 （2004 年全国 i 第 15 题，原题是填空题）已知数列a 满足na =1，a = a + 2a + 3a +l + (n -1)a (n 2) ，求a 的通项公式。1n123n-1n= a + 2a + 3a +l + (n -1)a (n 2)解：因为an123n-1= a + 2a + 3a +l + (n -1)a + na所以 an+1123n-1n- a = na .用式式得an+1nn= (n +1)a (n 2)则 an+1n an+1= n +1(n 2)故an!a a

9、a3na =nl a = n(n -1)l 43a = a .所以nn-12222aaan-1n-22由，a= a + 2a + 3a +l + (n -1)a (n 2) 取n = 2得a = a + 2aa = a，则 ，又 知n123n-121221n!a =11a=1，代入得a =1345l n =n，则。22n!所以，a 的通项公式为a = .2nnaa = (n +1)a (n 2)= n +1(n 2)评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，的n+1n+1nana aal a ，从而可得当n 2时，a 的表达式，最后再求出数列a 3进而求出nn-12nnaaan-1n-22通项

10、公式。四、待定系数法 例 7 已知数列a 满足na = 2a + 35 ，a = 6，求数列的通项公式。nan+1n1n解：设+1a+ x5 = 2(a + x5 )nnn+1n将n+1a= 2a + 35n2a + 35 + x5 = 2a + 2x5代入式，得 ，等式两边消去nnnn+1nn2a35 + x5 = 2x553+ 5x = 2x,则x = -1,代入式得，得1，两边除以，得nn+nnna - 5n+1= 2(a - 5 )nn+1na -5nn+1a - 5 = 6 - 5 =1 0a- 5 0= 2a - 5 n由1及式得，则，则数列是以n+1nn-51nana - 5=1

11、为首项，以a - 5 = 2na = 2 + 5。2 为公比的等比数列，则，故1nn-1n-1n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为n+1a= 2a + 35na - 5 = 2(a - 5 )，nnn+1n+1na - 5 na - 5 的通项公式，最后再求出数列n从而可知数列是等比数列，进而求出数列nn a 的通项公式。n例 8 已知数列a 满足a = 3a + 5 2 + 4，a =1，求数列a 的通项公式。nnn+1n1n解：设+1a+ x 2 + y = 3(a + x 2 + y)nnn+1n将代入式，得a= 3a + 5 2 + 4nn+1n3a + 5 2 + 4 +

12、x 2 + y = 3(a + x 2 + y)nn+1nnn(5 + 2x) 2 + 4 + y = 3x 2 + 3y整理得。nn5+ 2x = 3xx = 5令 ，则 ，代入式得4 + y = 3yy = 2+1na+ 5 2 + 2 = 3(a + 5 2 + 2)nn+1n+ 5 2 + 2 =1+12 =13 0及式，由1a1a + 52+ 2n+1+ 5 2 + 2 0= 3，得，则n+1an+ 52 + 2nanna + 5 2 + 2a + 5 2 + 2 =1+12 =13故数列是以1为首项，以 3 为公比的等比数列，nn1因此n-1n-1a+ 5 2 + 2 =133a

13、=133 - 5 2 - 2，则 。nnnn= 3a + 5 2 + 4评注：本题解题的关键是把递推关系式a转化为nn+1na + 5 2nn+1+ 2 = 3(a + 5 2 + 2)a + 5 2 + 2+1n，从而可知数列n是等比数列，进而求nna + 5 2 + 2的通项公式，最后再求数列a 的通项公式。出数列nnn例 9 已知数列a 满足a = 2a + 3n + 4n + 5，a =1，求数列a 的通项公式。2nn+1n1n解：设22a+ x(n +1) + y(n +1)+ z = 2(a + xn + yn + z)n+1n将2代入式，得a= 2a + 3n + 4n + 5n

14、+1n 2a + 3n + 4n + 5 + x(n +1) + y(n +1)+ z = 2(a + xn + yn + z)，则222nn2a + (3+ x)n + (2x + y + 4)n + (x + y + z + 5) = 2a + 2xn + 2yn + 2z22nn等式两边消去2a，得(3+ x)n + (2x + y + 4)n + (x + y + z + 5) = 2xn + 2yn + 2z，22n3+ x = 2xx = 32x + y + 4 = 2yx + y + z + 5 = 2zy =10z =18解方程组，则，代入式，得+10(n +1)+18 = 2

15、(a + 3n +10n +18)a + 3(n +1)2n+12n由则2及式，得2a1+ 31 +101+18 =1+ 31 = 32 0a + 3n +10n +18 0na + 3(n +1)+10(n +1)+182= 2为以a n n + 3 +10 +18，故数列2n+1a+ 3n +10n +18n2n+101+18 =1+ 31 = 32a + 312为首项，以+10n +18 = 32 2n-1 ，则 a = 2 - 3n -10n -18。2 为公比的等比数列，因此1a + 3n2n+42nn= 2a + 3n + 4n + 5评注：本题解题的关键是把递推关系式a2转化为n

16、+1n+10(n +1)+18 = 2(a + 3n +10n +18)a + 3(n +1)2n+12，从而可知数列na + 3n +10n +18a + 3n +10n +182是等比数列，进而求出数列2的通项公式，最后再nn求出数列a 的通项公式。n五、对数变换法例 10 已知数列a 满足a = 23 aa = 7 ，求数列a 的通项公式。，n5nn+1n1n解：因为5，所以。在5式两边取a= 23 a ，a = 7a 0，a 0a = 23 annn+1n1nn+1n+1nlg a = 5lg a + nlg3 + lg 2常用对数得n+1nlg a + x(n +1)+ y = 5(

17、lg a + xn + y)11设n+1n 5lg a + nlg3+ lg 2 + x(n +1)+ y = 5(lg a + xn + y)将式代入 11 式，得，两边消去nn5lg a，则x n x y xn y(lg3 + ) + + + lg2 = 5 +5并整理，得nlg3x =lg3 + x = 5x4，故 x+ y + lg2 = 5ylg3 lg2y =+164lg34lg3 lg2lg34lg3 lg212lga +(n +1)+= 5(lga +n +)代入 11 式，得164164n+1nlg3lg3 lg2lg34lg3 lg2 0及 12 式，lga +1+= lg

18、 7 +1+由得41641641lg34lg3 lg2lga +n + 0，164nlg34lg3 lg 2lga +(n +1)+16lg3 lg 24n+1=5则，lg3lga +n +4164nlg34lg3 lg 2lg3 lg3 lg 2所以数列lg a +是以lg7 +为首项，以 5 为公比的等n1644164nlg3lg3 lg2lg3 lg3 lg2比数列，则lga +n += (lg 7 +)5n-1，因此41644164nlg3 lg3 lg2lg3lg3 lg2lga = (lg 7 +)5 -n -n-14164464n111n114= (lg 7 + lg3 + lg

19、3 + lg2 )5 - lg3 - lg3 - lg2n-1464416111n11= lg(73 3 2 )5 - lg(3 3 2 )n-141644164111n11= lg(73 3 2 )5 - lg(3 3 2 )n-1416441645 -1 -n5 -1 -15 -1 -1nnn= lg(7 332)5n-141645n-4n-15 -1 -1n= lg(7 32)5n-11645n-4n-15 -1 -1n则5n-1。a= 7 31624n= 23 a评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式a5转化为nn+1n lg3lg3 lg2lg34lg3 lg2lga +(n

20、 +1)+= 5(lga +n +)，从而可知数列4lg316lg3 lg 24164n+1nlg34lg3 lg2lg a +n +是等比数列，进而求出数列lg a +n +的通项4164164nn公式，最后再求出数列a 的通项公式。n六、迭代法例 11 已知数列a 满足a = a，a = 5，求数列a 的通项公式。3(n+1)2nn+1n1nn= aa = a= a3(解：因为a3(n+1)2 ，所以n3n2n-n-11) 2n- n-2 3n2n-1n-21n+1nn= a32 (n-1)n2(n-2)+(n-1)n-2= a3(n-2)2 -3 32 (n-1)n2(n-2)+(n-1

21、)n-3n= a=l33 (n-2)(n-1)n2(n-3)+(n-2)+(n-1)n-3= a3 -123l l (n-2)(n-1)n21+2+l l +( -3)+( -2)+(n-1)1nnnn(n-1)= a3 -1n!21n2n(n-1)= 5，所以数列a 的通项公式为a= 53n-1n!2又 a。21nn= a3(n+1)2n评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an+1nlgalg a = 3(n +1) 2 lg a= 3(n +1)2，再由累乘法可推知两边取常用对数得，即nn+1nlgan+1nnlga lgalga lgan(n-1)n(n-

22、1)lga =l lga = lg5= 53 -1 ! 2nn，从而a。nn-1323n-1n!222lgalgalga lgan1nn-1n-221七、数学归纳法8(n +1)8例 12 已知数列a 满足a = a +，a = ，求数列a 的通项公式。(2n +1) (2n + 3)29nn+1n21n8(n +1)8= a +a =解：由 a及，得(2n +1) (2n + 3)2n+1n219 8(1+1)8 82 24= +a = a +=(21+1) (21+3) 9 925 2521228(2 +1)24 83= +48a = a +=(22 +1) (22 + 3) 25 254

23、9 4932228(3+1)48 84= +80a = a +=(23+1) (23+ 3) 49 4981 814322(2n +1) -12=由此可猜测a，往下用数学归纳法证明这个结论。(2n +1)2n(21+1) -1 82=1时， a=，所以等式成立。（1）当n(21+1)291(2k +1) -12= k=，则当n = k +1时，（2）假设当n时等式成立，即a(2k +1)2k8(k +1)a = a +(2k +1) (2k +3)2k+1k2(2k +1) -18(k +1)2=+(2k +1)2(2k +1) (2k +3)22(2k +1) -1(2k + 3) +8(k

24、 +1)22=(2k +1) (2k + 3)22(2k +1) (2k + 3) -(2k +3) +8(k +1)222=(2k +1) (2k + 3)22(2k +1) (2k + 3) -(2k +1)222=(2k +1) (2k + 3)22(2k + 3) -12=(2k + 3)22(k +1)+1 -12=2(k +1)+12由此可知，当n= k +1时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何n n*都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法 1例 13 已知数列a 满足a =

25、 (1+ 4a + 1+ 24a )，a =1，求数列a 的通项公式。16n+1nn1nn1b = 1+ 24a ，则a = (b -1)解：令224nnnn11= (b -1)a = (1+ 4a + 1+ 24a )得故 a，代入2n+12416n+1n+1nn111(b -1) = 1+ 4 (b -1)+ b 2n+12241624nn4b = (b + 3)即2n+12n= 1+ 24a 0b = 1+ 24a 0因为b，故nnn+1n+11322b = b + 3b = b +则，即，2n+1nn+1n1-3 = (b -3)可化为b，2n+1n1所以b - 3是以b -3 = 1

26、+ 24a -3 = 1+ 241 -3 = 2为首项，以 为公比的等比数211n1111-3 = 2( ) = ( )b = ( ) + 3n1+ 24a = ( ) + 3列，因此bn-2 ，则，即，得n-1n-2n-22222nn2 111a = ( ) + ( ) + 。nnn3 4231+ 24a评注：本题解题的关键是通过将的换元为b ，使得所给递推关系式转化nn13b = b + 形式，从而可知数列b - 3为等比数列，进而求出数列b - 3的通项公式，22n+1nnn最后再求出数列a 的通项公式。n九、不动点法21a - 24例 14 已知数列a 满足a =n+1，a = 4 ，

27、求数列a 的通项公式。n4a +1n1nn21x - 2421x - 244x +1=4x2 - 20x + 24 = 0x = 2，x = 3f (x) =是函数解 ：令 x，得，则的4x +112两个不动点。因为 21a - 24n- 2-3a - 24a +12 1a - 24 - 2(4a +1) 13a - 2613 - 2a=。 所 以 数 列n+1nnnnn21a - 24a -3n+12 1a - 24 -3(4a +1) 9a - 27 9 a -3nnnnn4a +1n - 22 4 2a- 213= 2( )9-aa13= 2 是以为首项，以 为公比的等比数列，故9n-1

28、，1nna-3a-3 4 -31a -3nn1=+ 3。则 a13n2( ) -1n-1921x - 2421x - 244x +1(x) =x =评注：本题解题的关键是先求出函数 f的不动点，即方程的两4x +1 - 2aa -2 13 a - 2= 2，x = 3= 个根 x，进而可推出，从而可知数列 为等比数n+1nnaa-3 9 a -3-312n+1nn - 2a列，再求出数列 的通项公式，最后求出数列a 的通项公式。na -3nn7a - 2例 15 已知数列a 满足a =n+1，a = 2 ，求数列a 的通项公式。n2a + 3n1nn7x - 23x -14x + 7=2x2 - 4x + 2 = 05a -5x =1是函数 f