2017年广州市一模理科数学试题及答案

1、绝密启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数(1+i)2+21+i的共轭复数是（

2、2）若集合m=xx1，n=yy=x2,x1，则（a）1+i（b）1-i（c）-1+i（d）-1-i（3）已知等比数列a的各项都为正数,且a,a,a成等差数列,n32（a）m=n（b）mn（c）nm（d）m154a+a则35的值是a+a46n=（a）（c）5-15+1（b）223-53+5（d）22（4）阅读如图的程序框图.若输入n=5,则输出k的值为（a）2（b）3（c）4（d）5（5）已知双曲线c:x2y2-2a4=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,f,f分别12是双曲线c的左，右焦点,点p在双曲线c上,且pf=7,则pf等于12（a）1（b）13（c）4或10（d）1或13（6）如图,网

3、格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为83,则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为（a）121511（b）（c）（d）3232516（8）已知f,f分别是椭圆c:12x2y2+a2b2=1(ab0)的左,右焦点,椭圆c上存在点p（a）,1（b）,1（c）0,（d）0,2222使fpf为钝角,则椭圆c的离心率的取值范围是122211（9）已知p:$x0,ex-ax

4、0,.（16）设s为数列an的前n项和,已知a=2,对任意p,qn*,都有an1p+q=a+a，pq则f(n)=ns+60n+1(nn*)的最小值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）如图,abc中,点p在bc边上,pac=60,pc=2,ap+ac=4.()求acp;()若apb的面积是332,求sinbap.abpc（18）（本小题满分12分）”.近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统从该评价系统中选出200次成功交易，并对

5、其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次.()根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意对商品不满意80合计200()若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量x，求x的分布列和数学期望ex.附：k2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n=a+b+c+d为样本容量）p(k2k)k0.152.0720.102.7060.053.8410.0255.024

6、0.0106.635（19）（本小题满分12分）如图1，在直角梯形abcd中，ad/bc，abbc，bddc,点e是bc边的中点,abd沿bd折起，使平面abd平面bcd，连接ae,ac,de,得到如图2所示的几何体.()求证：ab平面adc；()若ad=1，二面角c-ab-d的平面角的正切值为6，求二面角b-ad-e的余弦值.adabcebedc图1图2（20）（本小题满分12分）过点p(a,-2)作抛物线c:x2=4y的两条切线,切点分别为a(x,y),b(x,y1122).()证明:当a2，b1时,f(lnb).()证明:xx+yy为定值;1212()记pab的外接圆的圆心为点m,点f是

7、抛物线c的焦点,对任意实数a,试判断以pm为直径的圆是否恒过点f?并说明理由.（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx+a(a0).x()若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;1eb请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为x=3-t,y=1+t,(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线c:r=22cosq-.p4()求直线l的普通方程和曲线c的直角坐标方程;()求曲线c上的点到直线l的距离的最大值.（23）（本小题满分10分）选修

8、45：不等式选讲已知函数f(x)=x+a-1+x-2a.()若f(1)6.635，.所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”4分()每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且x的取值可以是0，1，2，3(x=1)=c123=54;327p(x=0)=p(x=2)=c2=；p(x=3)=c323=8.10分23136551253551256分32=;p51253551252303x的分布列为：x0123p2712554125361258125b3,，则ex=3=.12分所以ex=0或者:由于x11分27543686+1+2+3=.12分125125125125522

9、6555(19)解：()因为平面abd平面bcd，平面abd平面bcd=bd，又bddc，所以dc平面abd.1分因为ab平面abd，所以dcab.2分又因为折叠前后均有adab，dcad=d,3分所以ab平面adc.4分()由（）知ab平面adc，所以二面角c-ab-d的平面角为cad.5分又dc平面abd，ad平面abd，所以dcad.依题意tancad=cdad=6.6分因为ad=1，所以cd=6.设ab=x(x0)，则bd=x2+1.依题意abdbdc，所以abcd=adbdx，即=16x2+1.7分解得x=2，故ab=2,bd=3,bc=bd2+cd2=3.8分法1：如图所示，建立空

10、间直角坐标系d-xyz，则d(0,0,0),b(3,0,0),c(0,6,0)，e,0，a32233636,0,，de=,0，da=3223所以3636,0,.由（）知平面bad的法向量n=(0,1,0).9分设平面ade的法向量m=(x,y,z)zmde=0,由得mda=0,36x+y=0,2236x+z=0.33ad令x=xb6，得y=-3,z=-3,ecy所以m=(6,-3,-3).10分所以cos=nm|n|m|1=-.11分2由图可知二面角b-ad-e的平面角为锐角，所以二面角b-ad-e的余弦值为12.12分法2：因为dc平面abd，过点e作ef/dc交bd于f，则ef平面abd.

11、因为ad平面abd，所以efad.9分过点f作fgad于g，连接ge，所以ad平面efg，因此adge.所以二面角b-ad-e的平面角为egf.10分a由平面几何知识求得1612ef=cd=，fg=ab=，2222gd所以eg=ef2+fg2=2.fbec所以cosegf=fg1=.11分eg21所以二面角b-ad-e的余弦值为.12分2（20）解：()法1:由x2=4y,得y=111x2,所以y=x.所以直线pa的斜率为x.42214142因为点a(x,y)和b(x,y1122)在抛物线c上,所以y=111x2,y=x2.2x2=x(x-x).1分421所以直线pa的方程为y-1111因为点

12、p(a,-2)在直线pa上,x2=x(a-x),即x2-2ax-8=0.2分421所以-2-111111同理,x2-2ax-8=0.3分22所以x,x是方程x2-2ax-8=0的两个根.12所以xx=-8.4分12又yy=1211x2x2=41421(xx)2=4,5分1612所以xx+yy=-4为定值.6分1212法2:设过点p(a,-2)且与抛物线c相切的切线方程为y+2=k(x-a),1分由y+2=k(x-a),x2=4y,消去y得x2-4kx+4ka+8=0,由d=16k2-4(4ak+8)=0,化简得k2-ak-2=0.2分所以kk=-2.3分12由x2=4y,得y=11x2,所以y

13、=x.4222211所以直线pa的斜率为k=x,直线pb的斜率为k=x.112xx=-2,即xx=-8.4分412所以112又yy=14142121x2x2=1(xx)2=4,5分1612所以xx+yy=-4为定值.6分1212x-1,7分1241()法1：直线pa的垂直平分线方程为y-由于y=1x2,x2-8=2ax,111y-22x+a1=-2xx-1.8分12所以直线pa的垂直平分线方程为y-ax2x+a1=-4x同理直线pb的垂直平分线方程为y-axx-2.9分222x+a2=-4x2,3由解得x=ay=1+a22,2.所以点ma,1+23a210分,pf=(-a,3).c的焦点为f(

14、0,1),则mf=-a,-抛物线3a222由于mfpf=3a23a2-=0，11分22所以mfpf.所以以pm为直径的圆恒过点f.12分pm为直径的圆的方程为(x-a)x-a+(y+2)y-1-=0.11分另法:以3a222把点f(0,1)代入上方程,知点f的坐标是方程的解.所以以pm为直径的圆恒过点f.12分法2：设点m的坐标为(m,n)，则pab的外接圆方程为(x-m)2+(y-n)2=(m-a)2+(n+2)2，由于点a(x,y),b(x,y1122)在该圆上，则(x-m)2+(y-n)2=(m-a)2+(n+2)2，11(x2-m)2+(y-n)2=(m-a)2+(n+2)2.2两式相

15、减得(x-x12)(x1+x-2m)+(y-y212)(y1+y-2n)=0,7分2442由()知x+x=2a,xx=-8,y=1212111x2,y=x2,代入上式得12(x1-x2)(4a-4m+a3+4a-2an)=0,8分当xx时,得8a-4m+a3-2an=0,12假设以pm为直径的圆恒过点f,则mfpf,即(-m,n-1)(-a,-3)=0,得ma-3(n-1)=0,9分由解得m=31a,n=1+a2,10分22所以点ma,1+a2.11分3212当x=x时,则a=0,点m(0,1).12所以以pm为直径的圆恒过点f.12分（21）解:()法1:函数f(x)=lnx+a的定义域为(

16、0,+).x由f(x)=lnx+,得f(x)=-a1ax-a=xxx2x2.1分因为a0,则x(0,a)时,f(x)0.所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.2分当x=a时,f(x)min=lna+1.3分所以实数a的取值范围为0,.5分当lna+10,即00,则函数f(x)有零点.4分e1e法2：函数f(x)=lnx+ax的定义域为(0,+).由f(x)=lnx+ax=0,得a=-xlnx.1分令g(x)=-xlnx，则g(x)=-(lnx+1).x0,时,g(x)0;当x,+时,g(x)0.当11ee所以函数g(x)在0,上单调递增,在,+上单调递减.2分11ee

17、时,函数g(x)取得最大值g=-ln=.3分故x=11111eeeee因而函数f(x)=lnx+ax1有零点,则0a.4分e所以实数a的取值范围为0,.5分当0x1时,f(x)时,f(x)0.所以函数h(x)在0,上单调递减,在,+上单调递增.1e()令h(x)=xlnx+a,则h(x)=lnx+1.1ee11ee时,h(x)当x=11=-+a.6分minee于是,当a时,h(x)-+a.7分211eee令j(x)=xe-x,则j(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).当0x0;当x1时,f(x)0时,j(x).9分1e显然,不等式、中的等号不能同时成立.故当x0,a2时,xlnx+axe

18、-x.10分e因为b1,所以lnb0.所以lnbln(lnb)+alnbe-lnb.11分,即f(lnb).12分所以ln(lnb)+（22）解：x=3-t,()由y=1+t,a11lnbbb消去t得x+y-4=0,1分所以直线l的普通方程为x+y-4=0.2分4=22cosqcos+sinqsin=2cosq+2sinq,3分由r=22cosq-ppp44得r2=2rcosq+2rsinq.4分()将r2=x2+y2,rcosq=x,rsinq=y代入上式,得曲线c的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2.5分()法1:设曲线c上的点为p1+2cosa,1+2sina,6分则点p到直线l的距离为d=1+2cosa+1+2sina-422(sina+cosa)-27分=22sina+-24=-1时,dmax=22,9分当sina+p4p=.8分2所以曲线c上的点到直线l的距离的最大值为22.10分法2:设与直线l平行的直线为l:x+y+b=0,6分当直线l与圆c相切时,得1+1+b