2019-2020学年秋季学期人教版高中数学必修5第二章2.2等差数列学案

1、 姓名：_班级：_2.2 等差数列一、学习目标1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 项和公式，了解n等差数列与一次函数的关系；2. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.二、学习内容（一）、等差数列的定义1.文字语言形式：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。d2.符号语言形式对于数列a ,若 -a ad n n= ( ， 2, 为常数)或a - a = d ( ，ndn nnn-1n+1nn+为常数)，则此数列是等差数列，其中常数 叫做

2、等差数列的公差。dd3.等差中项a + b如果 , , 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项，即 =.a abaaba2（二）、等差数列的通项公式首相为 a ，公差为 的等差数列a 的通项公式为：a = a + (n -1)d（ *）dn n1nn11、证明：方法一：归纳法根据等差数列定义 a - a = d 可得： a = a + d ，nn-1nn-1 a = a + d = a + (2 -1)d ，2111 姓名：_班级：_a = a + d = (a + d) + d = a + 2d = a + (3-1)d ，32111a = a + d = (a + 2d) + d = a

3、+ 3d = a + (4 -1)d ，43111a = a + (n -1)dn1当 n=1 时，上式也成立归纳得出等差数列的通项公式为： a = a + (n -1)d （ ）。n n+n1方法二：叠加法根据等差数列定义 a - a = d ，有：nn-1a - a = d ，21a - a = d ，32a - a = d ，43a - a = dnn-1把这 -1个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得 a - a = (n -1)d ，nn1 a = a + (n -1)d .n1方法三：迭代法a = a + d = (a + d) + d = l = (a + d) + d +

4、l+ d = a + (n -1)d1442443nn-1n-221n-2 a = a + (n -1)d .n12 姓名：_班级：_2、说明通项公式由首项 a 和公差 完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确d1定，该等差数列就唯一确定了。通项公式中共涉及 a 、 、 、a 四个量，已知其中任意三个量，通过解dn1n方程，便可求出第四个量。3.等差数列通项公式的推广已知等差数列a 中，第 项为 a ，公差为 ，则： a = a + (n - m)ddmnmnm证明：a = a + (n -1)d ，a = a + (m -1)dn1m1 a - a = a + (n -1)d-a + (m

5、-1)d = (n - m)dnm11 a = a + (n - m)dnm由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式a = a + (n -1)d 可以看成是 m=1时的特殊情况。n1三、典型例题分析题型一：等差数列的定义【例 1】.（1）求等差数列 3，7，11，的第 11 项.（2）100 是不是等差数列 2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【思路点拨】（1）根据所给数列的前 2 项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得 a 等于这一数.n【

6、解析】3 姓名：_班级：_（1）根据题意可知： a = 3, = 7 -3 = 4 .d1该数列的通项公式为： a = 3+ 4(n -1) = 4n -1（ 1, ）nn nn+ a = 3+ 4(11-1) = 43 .11（2）根据题意可得： a = 2 , = 9-2 = 7 .d1此数列通项公式为： a = 2 + 7(n -1) = 7n - 5 （ 1, ）.nn nn+令7 -5 =100,解得： =15,nn100 是这个数列的第 15 项.【总结升华】1.根据所给数列的前 2 项求得首项 a 和公差 ，写出通项公式 a .d12.要注意解题步骤的规范性与准确性.变式训练：n

7、【变式 1】求等差数列 8，5，2的第 21 项【答案】由 a = 8， = 5-8 = 2-5 = -3，a = 8 + (21-1)(-3) = -52 .d1217【变式 2】20 是不是等差数列 0，- ，7，的项？如果是，是第几2项？如果不是，说明理由.777【答案】由题意可知：a = 0 , d= - ，此数列的通项公式为：a = - n + ,2221n7747令 -20 = - + ,解得 = ，所以20 不是这个数列的项.nnn227【变式 3】求集合 m = m | m = 7n,n n ,m 100的元素的个数，并求这些*4 姓名：_班级：_元素的和2【答案】7 100，

8、 14 ， *， 中有 14 个元素符合条n nnnm7件，又满足条件的数 7，14，21，98 成等差数列，即 a = 7 ， = 7，a = 98 ，d11414(7 +98) = 735.s142【例 2】.已知数列a 的通项公式为3 5,这个数列是等差数列吗？a = n -nn【思路点拨】由等差数列的定义，要判定 a 是不是等差数列，只要看 a - a （ 2 ）nnn-1n是不是一个与n 无关的常数。【解析】因为 时，n 2a - a = 3n -5-3(n -1)-5= 3,nn-1所以数列a 是等差数列，且公差为 3.n【总结升华】1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法

9、.2. 一般地，如果一个数列a 的前 项和为，其中 、 、pqs = pn+ qn + rn2nn为常数，且 ，那么当常数项0= 0时，这个数列一定是等差数列；当常数prr项 0时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列.r变式：【变式 1】设a 是等差数列，下列结论中正确的是na若 a +a 0，则 a +a 012235 姓名：_班级：_b 若 a +a 0，则 a +a 01312c 若 0a a ，则aa a1 3122d 若 a 0，则(a a )(a a )012123【答案】分析四个答案，a 举一反例，如 a 2 ， a1， a4 ，a +a 0，12123而 a

10、 +a 0，a 错误；23同样 b ，如 a 2 ， a1， a4 ，a +a 0，则 a +a 0，b 错误；1312123对于 c ，a 是等差数列，若 0a a ，则 a 0，设公差为 d，则 d0 ，n121数列各项均为正，a a (a d )(a d) a d ， a a d ， aa a；222222221222213对于 d ，(a a )(a a ) d0 故选：c 221232a1【变式 2】已知数列a 中，a 1，an（n n ），求证： 是*a 2nan1n 1n等差数列。2a1a 2 1 1证明： an，1na 2na2a2 an 1n 1nn11 11， 是公差为 的

11、等差数列。aa2a2n 1nn题型二：等差数列通项公式的应用【例 3】已知等差数列a 中， a33， a153 ，试问 217 是否为此数n1545列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量 a 、d 的问题，列出 a 、d 的方程组。11【解析】6 姓名：_班级：_a = a +14d = 33= -23= 4a方法一：由通项公式得：，解得，1511a45= a + 44d =153d1 a = -23 + 4(n -1) = 4n - 27（ 1, ）,nn n+n 217 = 4 - 27,解得 = 61

12、.nn方法二：由等差数列性质，得 a - a = 30d ,即153-33= 30 ，解得 = 4,dd4515 a = a + 4(n -15)， 217 = 33+ 4( -15),解得 = 61.nnn15方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，点 (15,33)、 (45,153)、 ( ,217) 在同一条直线上，r npq153- 33 217 -153=，解得 = 61。n45-15n - 45【总结升华】1. 等差数列的关键是首项 a 与公差 ；五个基本量 a 、 、 、a 、s 中，ddn11nn已知三个基本量便可求出其余两个量；2.列方程（组）求等差数列的

13、首项 a 和公差 ，再求出 a 、 s ，是数列中d1nn的基本方法.变式训练：【变式 1】在等差数列a 中，已知31,求首项 ,与公差 .a =10,a =adn51215a + 4d =10【答案】由解得； = -2 ,d = 5a112a +11d = 3111【变式 2】等差数列a 中, = 4, a =18, s = 48 ,求 a 的值.dnnn17 姓名：_班级：_a = a +(n -1)d =18n n( -1)a +4(n -1)=18n1【答案】即，1d = 48 na+ 2n(n -1)= 48s = na +211na =6a = -2解得：或.11n = 4 n =

14、 653【变式 3】已知等差数列a ， = ， = - ，则 a =。a3a74415n【答案】方法一：设数列a 首项为 ,公差为 ，则ad1n541a + 2d =d = - 12， 解得，349a + 6d = -a = 1 1 49119= +14 = +14(- ) = - 。a15a1d4243 51方法二： a = a + 4d , - = + 4 ，解得： = - ，dd4 427319= + (15 - 7) = - .a15ad74方法三：a 为等差数列， a ,a , a , a ，也成新的等差数列，n371115535由 = ， = - 知上述新数列首项为 ，公差为-2a

15、3a7444519= + (4 -1)(-2) = - .a15 448 姓名：_班级：_四、课堂演练1. 在等差数列a 中，a +a +a +a +a =450，求 a +a .n34567282已知数列a 是等差数列，令，求证：b 也是等差数列.b = a- a2n+12nnnn【答案】1.解法一：统一成关于 a ，n，d 的表达式.1设a 的首项和公差分别为 a 和 d，则n1a +a +a +a +a =5a +20d=45034567122a + a = 2a + 8d = (5a + 20d) = 450 = 180 .552811解法二：a +a =a +a m+n=p+qmnpq由等差数列的性质可知a +a =a +a =a +a