专题6.25：数列中点列问题的研究与拓展

1、专题6.25:数列中点列问题的研究与拓展【探究拓展】i i探究1 ：已知点A （1y）, A2（2, y2）, 11 （, An （n, yj, 1（顺次为直线y x 上的点，412点 Bi（Xi,O）, B2（X2,0）, |l（,Bn（Xn,O）,川顺次为 x轴上的点，其中Xi 二 a（0 ： a ：1）.对于任意 n N*，点Bn, An,Bn i构成以代为顶点的等腰三角形.（1） 求证：Xn.2 -召是常数，并求数列Xn的通项公式；（2） 若等腰三角形 BnAnBn 1中存在直角三角形，求 a的值解：本题给出的是直线上的点列，已知点列An的通项公式，求点列 Bn的通项公式，并研究等腰三

2、角形是否为特殊的等腰直角三角形。解：(1)在等腰三角形BnAnBn 1中，n=，即Xn 1 X 2n，2则 Xn 2 - Xn 1 =2( n 1)，所以 Xn .2 Xn =2。n +1当 n 为奇数时，x a 2(1) = n a -1 ；2当 n 为偶数时，xn = 2 -a 2(n -1 n -a。2In -a,(n为偶数)故xn小+a 1,(n为奇数)（2）当 n 为偶数时，n n -（n - a） =a =412n 1当 n 为奇数时， 一一 n-（n a-1） = 1-a =4122 1当 一 =1 时，a ;当 一 =3 时，a = 3 62即当a 时，第一个三角形为等腰直角三

3、角形；当37 “ C、 a (n = 2)1211 na =12 4a -时，第二个三角形为等腰直角三角形；当12a =丄时，第三个三角形为等腰直角三角形。61变式1 :点B1（X1,0）, B2（X2,0）,川，Bn（Xn,O）,M顺次为X轴上的点，其中X ，数列Xn是公差为1的2等差数列对于任意n N*，点Bn,A,Bn1均构成以 代为顶点的等边三角形，求：（1）数列x.的通项 公式；（2）顶点An所在的轨迹方程解：（1） xn = % n1 = n ； （ 2）顶点A的轨迹方程是y -。2 21、变式2:点B1（X1,0）, B2（X2,0）, |（,Bn（Xn,O）, M顺次为x轴上的

4、点，B1在原点.对于任意n NBn, An,Bn 1均构成以An为顶点的等边三角形，且由等边三角形的边长BnBn 1构成的数列是首项为公差为1的等差数列。求：（1）数列xn的通项公式;（2）顶点A所在的轨迹方程分析与解：（1） xn=1，2|n-1=n（n-1） =22n n2 ；（2）设 An（x,y），则n2 n n n2x,322二y2=3x，即为所求的轨迹方程。3n2变式3：点B1（X1,0）, B2（X2,0）JH,Bn（Xn,0）J|（顺次为x轴上的点，其中X1 = 0,X2 =1.对于任意n2点Bn, An, Bn 1均构成以A为顶点的等腰直角三角形，且顶点An在抛物 线y =

5、2 pX（ P 0,0）上。求:（1）抛物线方程；（2）数列 BnBn 1的通项公式bn ;（3） Bn点的坐标1111解：(1)因为A,(,)，所以2p，即所求的抛物线方程为y2x(y_0);2 2222 1(2)由已知得，b1 =1，设 An(x,y)，则 y2x。2xb2 III - bm *,1 2Sn bn 1，-得，bn 羊一bn = bn 申 +bn ,= bn 1 - bn = 1，所以 bn = n 。2n -n(3)因为 Xn =1 2 |(n -1)，所以 Bn(22n -n2 ,)。变式4 :如图，在直角坐标系 xOy中，有一组对角线长为 an的正方形AnBnCnDn

6、5 =1,2,)，其对角线B.D.依次放置在X轴上(相邻顶点重合).设Can ?是首项为a ,公差一2 二 =2Sn+bn(n K2)为d(d 0)的等差数列，点坐标为(d, 0).(1)当a =8, d =4时，证明：顶点 Ap A、A3不在同一条直线上;(2)在(1)的条件下，证明：所有顶点An均落在抛物线y2 =2x上;(3)为使所有顶点 An均落在抛物线y2 =2px (p 0)上，求a与d之间所应满足的关系式.解: (1)因为A 8, 4A 18,6 , A3 32, 8 ,所以kA6 -4118 -85kA2A38-6 132-187A1A2A2A3因为 kA,定 kA2Aj ,

7、所以顶点 A,A2,A3不在同一条直线上.1 21an 4(2) An 的横坐标 Xn =da1aan 4 an =2(n 1) , An 的纵坐标 yn an 二 2(n 1).2 2因为点An Xn, yn的坐标满足方程 亍=2x，所以An均落在抛物线 寸=2x上.11 1(3)因为 xn =d a (n -1)a (n -1)2d, yna (n - 1)d 1,消去 n _1 ,2 2 2可得a(d -a)2d为使得所有顶点An均落在抛物线y2 =2px(p 0)上，则有d a(d -a)2d解得 d =4p, a =8p.前n项和Snxn注：这些等腰三角形的底边长分为两类，一类边长为

8、2-2a，另一类边长为2a。所以a、d所应满足的关系式是：a =2d变式 5:已知点 A(1,2),傀(2,22),|1|,人(n,2n)J|I，点 B1(x1,0), B2(X2,0),|比Bn(Xn,0)， 顺次为x轴上的点，其中为=a(0 ：a 1).对于任意nN*，点Bn, An, Bn 1构成以An为顶 点的等腰三角形.(1)求数列xn的通项公式；(2)依次记.B1A1B2的面积为,B2F2B3的面积为S2,，汨.巳.禺.1的面积为Sn，试求数列 的n -a,( n为偶数)n a -1,(n为奇数)(2 )当n为偶数时，Sn =丄(2 -2a)(2 23川 2心)2a(22 24 川

9、 2n)H-(1 - a)(21);23当n为奇数时，212Sn(1 a)(2n4 -1)(2-2a)2n (1 a)(2n-1) (1 - a)2n。323f八八八f1变式6:在直角坐标平面中，已知点列 A 1,_ , A 2,-2 ，A 3,_-y ，An n,(1)nr ，I 2丿 22丿 23丿 L丿2打其中n是正整数。连接a,A2的直线与x轴交于点Bi x1,0，连接A2A3的直线与x轴交于点B2 x?,。,连接AnAn 1的直线与x轴交于点Bn xn,0，。(1)求数列 的通项公式；(2)依次记：A2B2的面积为Si ,.汨2人3民的面积为S2，汨nAniBn.i的面积为Sn，试求数列:s/?的各项