概率论课本习题答案讲解

1、2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样， 以 X 表示取出的次品个数，求： （ 1） X 的分布律； （ 2） X 的分布函数并作图； （3） 133 PX , P1 X , P1 X , P1 X 2 . 222 【解】 X 0,1,2. P(X 0) C313 C135 22 35 P(X 1) C12C123 C135 12 35 P(X 2) C113 C15 1 35 当 0 x1 时， F(x)=P(Xx)=P(X=0)= 22 35 当 1 x2 时， F（x） 34 =P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)= 35 当

2、x2 时， F（x） =P（Xx）=1 故 X 的分布函数 0, x 0 22 (3) F(x) 35 34 35 1, 0 x1 1x2 x2 故 X 的分布律为 X 0 1 2 P 22 12 1 35 35 35 2） 当 x0 时， F（ x） =P（ X x） =0 P(X 1) F(1) 22 2 2 35 3 334 34 P(1 X ) F( ) F(1) 0 2 235 35 3 3 12 P(1 X ) P(X 1) P(1 X ) 2 2 35 34 1 P(1 X 2) F(2) F(1) P(X 2) 1 35 35 0. 7. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，

3、设每辆车在一天的某时段出事故的概率为 0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少(利 用泊松定理)？ 【解】 设 X 表示出事故的次数，则 Xb(1000，0.0001) P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1) 0.1 0.1 1 e 0.1 e 8. 已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足 P X=1= P X=2 ，求概率 P X=4. 【解】 设在每次试验中成功的概率为p，则 C51 p(1 p)4 C52p2(1 p)3 故 p 1 3 4 1 4 2 10 所以 P(X 4) C45( )4. 3 3 243 9. 设事件 A

4、在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A发生不少于 3 次时，指示灯发出信号， (1) 进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； (2) 进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率 . 【解】(1) 设 X 表示 5次独立试验中 A 发生的次数，则 X6(5，0.3) 5 k k 5 k P(X 3)C k5(0.3) k (0.7) 5 k 0.16308 k3 (2) 令 Y表示 7次独立试验中 A 发生的次数，则 Yb( 7， 0.3) 7 P(Y 3)Ck7 (0.3) k (0.7) 7 k 0.35293 k3 10. 某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急

5、呼救的次数X 服从参数为 ( 1/2)t 的泊松分 布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计) . (1) 求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率； (2) 求某一天中午 12时至下午 5 时至少收到 1次呼救的概率 . 35 【解】(1) P( X 0) e 2 (2) P(X 1) 1 P(X 0) 1 e 2 12.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这 2000 册书中 恰有 5 册错误的概率 . 【解】 令 X 为 2000册书中错误的册数，则 Xb（2000,0.001）.利用泊松近似计算 , np 2000 0.001 2 P(

6、X 5) e 225 5! 0.0018 14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡 的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1月 1日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从 保险公司领取 2000 元赔偿金 .求： （ 1） 保险公司亏本的概率 ; （ 2） 保险公司获利分别不少于 10000 元、 20000 元的概率 . 【解】 以“年”为单位来考虑 . （1） 在 1月 1日，保险公司总收入为 2500 12=30000 元. 设 1 年中死亡人数为 X，则 Xb（2500,0.002） ，则所求概率为 P(2000 X 30000)

7、 P(X 15) 1 P(X 14) 由于 n 很大， p 很小， =np=5，故用泊松近似，有 14 P(X 15) 5k e5 k0 k! 0.000069 （2） P（保险公司获利不少于 10000） P(30000 2000X 10000) P(X 10) 10 5 k e5 0.986305 k 0 k! 即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98% P(保险公司获利不少于 20000) P(30000 2000X 20000) P(X 5) 5 k0 e 55k k! 0.615961 即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62% 16.设某种仪器内装有三只同样的

8、电子管，电子管使用寿命 X的密度函数为 f(x)= 0, 100, 2, x x 100, x 100. 求：（ 1） 在开始 150 小时内没有电子管损坏的概率； （ 2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； 3） F（ x） 解】 150 100 1) P(X 150) 100 x2 3 2 3 p1 P(X 150)3 ( )3 3 1 dx . 3 8 27 (2) p2 C3 ( ) 3 3 9 (3) 当 x100 时 F( x)=0 x 当x100时F(x)f (t)dt x 100 f(t)dt 18.设随机变量 X 在 2， 值大于 3 的概率 . 【解】 XU2,5 ，即

9、 故所求概率为 100 f (t)dt x 100 100 2 dt 1 t2 100 F(x) 1 100 x 100 x 0, x0 5 上服从均匀分布 .现对 1 f (x) 3, 0, P(X 3) X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测 2x5 其他 51dx 2 3 3513 2 2 2 1 3 2 3 p C32(32)2 13 C33(32)3 20 27 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 等待服务， 若超过 10 分钟他就离开 到服务而离开窗口的次数，试写出 1 解】 依题意知 X E( ) ，即其密度函数为 5 1 X(以分钟计) 服从指数分布 E( ) .某顾客

10、在窗口 5 5 次，以 Y 表示一个月内他未等 P Y 1. .他一个月要到银行 Y 的分布律，并求 1ex e f(x) 5 0, x0 x0 该顾客未等到服务而离开的概率为 1 P(X 10) 10 15e x 5dx 2 Y b(5,e 2 ) ,即其分布律为 P(Y k) Ck5(e 2)k(1 e2)5 k,k 0,1,2,3, 4,5 25 X服 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 e 2)5 0.5167 20. 某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 从 N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从 N（ 50，42）

11、 （1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （ 2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（ 1） 若走第一条路， XN（ 40， 102），则 P（X 60） P x 40 60 40 （2） 0.97727 10 10 若走第二条路， XN（50， 42），则 X 50 60 50 P(X 60) P (2.5) 0.9938 + 44 故走第二条路乘上火车的把握大些 . ( 2) 若 XN(40， 102)，则 X 40 45 40 P(X 45) P (0.5) 0.6915 10 10 若 XN(50， 42)

12、，则 P(X 45) P X 50 4 45 50 ( 1.25) 1 (1.25) 0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些 . 21. 设 XN（ 3，22）， （1） 求 P2X5，P 4 2，PX3; （ 2） 确定 c 使 PXc= P X c. 【解】（1） P（2 X 5） P 2 3 X 3 5 3 222 12 1 (1) (1) 1 2 0.8413 1 0.6915 0.5328 P( 4 X 10) P 43 2 X 3 10 3 22 P(| X | 2) P(X 2) P(X 2) X 3 2 3 P2 1 2 0.6915 1 0.9938 0.6977 X

13、3 2 3 P 2 2 5 2 1 12 2 15 2 P(X 3) P(X 3 3- 3) 1 (0) 0.5 22 (2) c=3 22. 由某机器生产的螺栓长度( cm)XN( 10.05,0.062),规定长度在 10.050.12 内为合格品 , 求一螺栓为不合格品的概率 . 解】 P(|X 10.05| 0.12) P X 10.05 0.06 0.12 0.06 1 (2) ( 2) 21 (2) 0.0456 28.设随机变量 X 的分布律为 X Pk 2 1/5 1 0 1/6 1/5 1 3 1/15 11/30 求 Y=X2 的分布律 . 解】 Y 可取的值为 0，1，4

14、，9 P(Y 0) P(X 0) 1 5 P(Y 1) P(X 1) P(X 1) 1 1 7 6 15 30 1 P(Y 4) P(X 2) 5 11 P(Y 9) P(X 3) 30 故 Y 的分布律为 Y Pk 014 1/57/301/5 9 11/30 1x2 49.设随机变量 X 在区间( 1，2)上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X 的概率密度 fY(y). 1, 【解】 fX (x) X 0, 其他 因为 P(1X2) =1,故 P( e2Ye4)=1 当 ye2时 FY( y) =P(Yy)=0. 当 e2ye4时， FY (y) P(Y y) P(e2X y) P(1 X

15、 1ln y) 2 1 2ln y 1 2 dx ln y 1 2 当 y e4时， FY(y) P(Y y) 1 0, 1 FY (y)ln y 1, Y2 1, y e2 e2 y e4 y e4 1 fY(y) 2y 0, 4 ye 其他 8.设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 f（x，y）= 4.08,y（2 x）, 0 x 1,0 y x, 其他. 求边缘概率密度 . 解】 fX(x)f ( x, y)dy x2 = 4.8y(2 x)dy 2.4x2(2 x), 0 x 1, = 0, 0,其他 . fY( y)f( x, y)dx = y 4.8y(2 x)dx 2.4y(

16、3 4y y2), 0 y 1, 0, 其他. 0, 题 9 图 求边缘概率密度 . f（x， y)= y e , 0 x y, 0, 其他. 解】 fX(x)f ( x, y)dy e ydy e =x 0, 0, fY(y)f (x, y)dx x 0, 其他. yy = 0 e ydx 0, ye x, 0, y 0, 其他. 题 10 图 10.设二维随机变量（ X， Y） 的概率密度为 f（x，y）= 2 cx y, 0, x2 y 1, 其他. 1） 2） 试确定常数 c； 求边缘概率密度 解】（1） f (x,y)dxdy如图 f (x,y)dxdy D 1 1 2 4 = -1

17、dx x2cx2 ydy 21c 1. (2) 21 c. 4 fX(x)f (x, y)dy x2 241x2ydy 8 0, 0, 21 21x2(1 x4 ), 1 x 1, 其他. fY(y)f(x,y)dx y 21 2 y 4 x2ydx 0, 72 其他. 2 y2, 0 y 1, 0, 2） X 与 Y 是否相互独立？ 解】（1）X和 Y的边缘分布如下表 Y X 2 5 8 P Y=yi 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 P X xi 0.2 0.42 0.38 (2) 因 PX 2 PY 0.4 0.2 0.8 0.1

18、6 0.15 P(X 2,Y 0.4), 故 X 与 Y 不独立 22.设随机变量 X 和 Y相互独立， 下表列出了二维随机变量 （X，Y）联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律中的部分数值 .试将其余数值填入表中的空白处 X Y y1 y2 y3 PX=xi=pi x1 x2 1/8 1/8 PY=yj=pj 1/6 1 2 解】因 PY yj PjPX xi,Y yj , i1 故 PY y1 PX x1,Y y1 PX x2,Y y1, 1 1 1 从而 PX x1,Y y1. 6 8 24 而X与Y独立，故 PX xi PY yj PX xi,Y yi, 11 从而 PX x1PX

19、 x1,Y y1. 6 24 1 1 1 即： PX x1/ . 1 24 6 4 又 P X x1 PX x1,Y y1 PX x1,Y y2 PX x1,Y y3, 1 1 1 即 1 1 1 PX x1,Y y3, 4 24 8 从而 PX 1 x1,Y y3 12 1 同理 PY y2, 22 PX x2,Y y2 8 j1 PY yj 1,故 PY y3 1 1 6 11 23 3 同理 PX x2. 4 从而 111 PX x2,Y y3 PY y3 P X x1,Y y3 3 12 4 故 X Y y1 y2 y3 PX xi Pi 1 1 1 1 x1 24 8 12 4 1

20、3 1 3 x2 8 8 4 4 PY yj pj 1 1 1 1 6 2 3 1.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E （X）， E（X2）， E(2X+3). 解】 （1） E(X ) ( 1) 11 01 11 2 1 82 84 2 (2) E(X 2) ( 1 )2 1 02 1 12 1 22 1 5 82 8 4 4 (3) E(2X 3) 2E(X) 3 2 1 3 4 2 5.设随机变量 X 的概率密度为x, 0 x 1, f(x)= 2 x,1 x 2, 0, 其他 . 求 E( X)，D ( X). 解】 E(X) 1

21、2 2 xf ( x)dxx2dxx(2 x)dx 01 1 x3 x 3 x2 x2 x3 2 3 1. 2 E(X2) 2 1 3 x2 f (x)dxx3dx x2(2 x)dx 7 2 2 1 1） U=2X+3Y+1； 2） V=YZ 4X. 解】 (1) EU 6.设随机变量 数学期望 . D(X) E(X 2) E(X)2 16 E(2X 3Y 1) 2E(X) 3E(Y) 1 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的 2 5 3 11 1 44. (2) EV EYZ 4X EYZ 4E(X) 因Y,Z独立E(Y) E(Z) 4E(

22、X) 11 8 4 5 68. 7.设随机变量 X，Y相互独立，且 E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X 2Y）， D（ 2X 3Y） . 解】 (1) E(3X 2Y) 3E(X) 2E(Y) 3 3 2 3 3. (2) D(2X 3Y) 22 D(X) ( 3)2 DY 4 12 9 16 192. 9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX（x）= 2x, 0 x 1, 0, 其他; fY(y)= e (y 5), y其他5, 0,其他 . 求 E（ XY）. 解】 方法一：先求 X与 Y的均值 12 E（ X） x 2 xdx , 03

23、 E(Y) 5 y e(y 5)yd令z y 5 50 zez d 0 z z ez d 5 1 6. 由X与 Y的独立性，得 2 E(XY) E(X) E(Y) 6 4. 3 方法二：利用随机变量函数的均值公式 .因 X 与 Y 独立，故联合密度为 2xe (y 5) f(x,y) fX(x) fY(y) 02,xe 0 x 1,y 5, 其他, 于是 E(XY) 5 0 xy 2xe (y 5)dxdy 1 0 2x2dx 5 ye ( y 5)dy 2 6 4. X Y 1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 34.设随机变量 X 和 Y的联合概率分布为 试求 X 和 Y 的相关系数 . 【解】 由已知知 E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而 XY 的概率分布为 YX 1 0 1 P 0.08 0.72 0.2 所以 E(XY) = Cov(X,Y)=E(XY) E(X) E(Y)=0.12 从而 XY 1.一颗骰子连续掷 4次，点数总和记为 X.估计 P10 X18. 4 解】设 Xi 表每次掷的点数，则 XX i i1 E(X i ) 1 1 2 1 66 3 1 4 1 66 5 1 6 1