LTI离散系统的频响特性计算机仿真分析

1、线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述系统的 常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态响应和 因果稳定性是系统分析的重要内容在信号与系统分析中，有关离散系统的理论与应用也越 来越重要。离散信号与系统分析的数学模型是差分方程，对于高阶的差分方程，由于计算量 庞大,人工计算难于实现。MATLAB的出现解决了这一问题，利用MATLAB函数，只需要简 单的编程，就可以实现系统的时域、频域分析,对系统的频响特性进行分析，为实际的系统设 计奠定了基础。 本设计首先介绍了线性时不变离散系统的基础理论，并对离散系统的系统函数及其频 率响应特性进行了探

2、讨。其次，基于 MATLAB设计环境下离散系统的频响特性进行了设 计仿真，建立了典型的离散系统的模型，利用 MATLAB函数绘制了离散时间系统频率特 性曲线、零极点图，并对系统稳定性进行了判定。最后对仿真所得到的频率响应图进行了 对比及分析，得出结论，达到设计要求。 【关键词】MATLAB 离散时间系统系统分析系统函数 Abstract Lin ear time-i nvaria nt discrete-time system is one of the basic digital systems. Differe nee equati on and tran smissi on fun et

3、i on are com mon mathematical models to describe the system. Besides, unit impulse resp onse and freque ncy resp onse are primary characteristic parameters to the system. To the systems an alysis, it is importa nt to compute zero-state resp onse and causality stability analysis. in the signal and sy

4、stem analysis, the discrete system theory and applications are in creas in gly importa nt. Discrete sig nals and systems an alysis is a mathematical model of differential equations, differential equations for the order, due to the huge computation, artificial calculation difficult to achieve. The em

5、ergenceof MATLAB to solve this problem, by using MATLAB function, only need a simple program, the system can be achieved in time domain, freque ncy doma in an alysis, freque ncy resp on secharacteristics of the system an alysis, system desig n for the actual foun datio n. This design first introduce

6、d for linear time-invariant discrete system is based on theory, and discrete system function and frequency response are discussed. Secondly, the design environment based on MATLAB frequency response of discrete system simulation was desig ned to establish a typical model of discrete systems using MA

7、TLAB fun cti ons is draw n discrete-time system freque ncy characteristic curves, zero-pole diagram, and system stability determ in ed. Fin ally the simulated freque ncy resp onse obta ined by a comparis on and an alysis con cluded that meet the desig n requireme nts. 【Key words MATLAB , discrete-ti

8、me system,systems analysis transmission function 目录 第1章绪论1 1.1选题目的及意义1. 1.2国内外研究综述 仁 1.3研究的主要内容及预期目标 1. 1.4研究方法2. 第2章LTI离散系统概述4. 2.1系统分类4. 2.1.1连续时间系统和离散时间系统.4. 2.1.2线性系统和非线性系统 4. 2.1.3时变系统和时不变系统 5. 2.1.4因果系统和非因果系统 6. 2.2LTI离散系统综述 6. 2.3LTI离散系统的数学模型7. 2.3.1离散时间系统的数学模型一一差分方程7 2.3.2系统函数7. 2.4离散时间系统的模拟

9、8. 2.5离散时间系统的频率响应特性 9. 2.5.1离散时间系统的频率响应 9. 2.5.2频率响应特性的几何确定10 第3章LTI离散系统的频率响应特性及其仿真分析 1.2 3.1离散系统的频率响应特性分析 12 3.2取样响应13 3.3离散时间系统的系统函数H(z) 15 3.3.1系统函数的零极点分布与单位样值响应的关系 17 3.3.2系统的因果性和稳定性19 第4章设计仿真21 4.1离散系统零极点图 21 4.2离散系统的零极点分布与系统稳定性 24 4.3离散系统的频率特性25 第5章结论27 参考文献29 致谢30 宁夏大学新华学院本科学位论文 第1章绪论 1.1选题目的

10、及意义 线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述系统的常 用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态响应和因果 稳定性是系统分析的重要内容 离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统 ，它有多种类型，其中线性时变离散 【1 时间系统是最基本、最重要的系统.差分方程反映了系统输入与输出的运动状态，是在 时域描述系统的通用数学模型；系统函数是零状态下系统输出与输入的 Z变换之比，在时域 与频域之间起桥梁作用分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下，从时域和频域 两方面分析系统输入与输出的关系，前者重点研究系统的时间特性，后者主要研究系统的频

11、 率特性频率特性与系统性能紧密相关，通过分析频率特性研究系统性能是一种广泛使用 的工程方法，能方便地分析系统中的各部分参量对系统总体性能的影响，从而进一步指出 改善系统性能的途径，所以我们对系统的频响特性要进行深入的分析。 1.2国内外研究综述 离散系统的应用遍及现代科学技术的诸多领域。离散系统的概念、理论以及方法大量 地应用在数字电路、编译原理、数据结构、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、 人工智能、计算机网络等专业课程中；同时，该课程所提供的训练十分有益于学生概括抽 象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学 态度的培养。 离散理论课程的研究，不但

12、作为计算机科学与技术及相关专业的理论基础及核心主干 课，对后续设计提供必需的理论支持。更重要的是旨在通过加强数学推理，组合分析， 离散结构，算法构思与设计，构建模型等方面专门与反复的研究、训练及应用，培养提高 学生的数学思维能力和对实际问题的求解能力 LTI离散系统在通信、生物医学、地震、遥感等方面应用广泛 ，在信号与系统分析中， 有关离散系统的理论与应用也越来越重要。离散信号与系统分析的数学模型是差分方程 ， 对于高阶的差分方程,由于计算量庞大，人工计算难于实现【2】。MATLAB的出现解决了这一 问题，利用MATLAB函数，只需要简单的编程，就可以实现系统的时域、频域分析，对系统的 特性进

13、行分析,为实际的系统设计奠定了基础。 1.3研究的主要内容及预期目标 本设计主要研究的是线性时不变（LTI）离散系统的频率响应特性，差分方程和系统函 数是描述该系统的常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参 数，零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。 差分方程反映了系统输入与输出的运动状态，是在时域描述系统的通用数学模型；系 统函数是零状态下系统输出与输入的 Z变换之比，在时域与频域之间起桥梁作用分析系统 就是在已知系统结构或系统模型条件下，从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系 前者重点研究系统的时间特性，后者主要研究系统的频率特性.本题要求从系统分析流程、

14、系统模型创建、系统时域分析、系统频域分析和因果稳定性分析等方面，研究线性时不变 离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举MATLAB在系统分析过程中的具体应 用【3】 用 。 在离散系统中，人们最关心的是零状态响应，即在起始状态为零时，仅由输入信号 x(n)引起的响应。在零状态条件下，离散系统由单位序列、：(n)引起的响应称为单位响应， 记为h(n)由于单位样值响应h(n)表征了系统自身的性能因此，在时域分析中可以根据 h(n)来判断系统的某些重要特性，如因果性、稳定性，以此区分因果系统与非因果系统， 稳定系统与非稳定系统。当离散系统的单位响应h(n)已知后，系统对于任意输入序列x(n)

15、的零状态响应y n便可以确定下来。由此，我们将零状态响应 y n的z变换与输入序列 x(n)的z变换之比定义为系统函数H.在LTI离散系统中，若H的收敛域包含单位 圆，即丨Z | 1或者说只要离散系统是稳定的，则将 z换为e就可以得到离散系统的 频率特性。 系统函数H(z )的零极点分布完全决定了系统的频响特性，若某系统函数的零极点已 知，则系统函数便可确定下来。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个 方面的特性：系统单位样值响应h(n)的时域特性，离散系统的稳定性，离散系统的频率特性。 本设计要求我们对LTI离散时间系统的频响特性进行分析，对于离散时间系统而言 不仅要知道它的零

16、点和极点，还要了解它的频率特性，我们将利用系统函数的零、极点，通过 几何方法描绘出离散系统的频响图，但当零、极点个数比较多时，利用几何方法绘制并不容 易，大量的手工计算非常复杂，MATLAB工具箱提供的函数可以准确方便的画出系统的 频响特性图。本设计的目标是利用 MATLAB工具的强大功能直接绘制出LTI离散系统系 统的幅频、相频特性图，从图上直观的看出幅度和相位随频率的变化趋势，分析出系统的 频响特性。 1.4研究方法 对于线性时不变离散时间系统的频响特性的研究，主要用以下两个方法去研究 一是系统分析，二是计算机仿真。 系统分析(Systems Analysis ) 词最早是在 20世纪30

17、年代提出的，当时是以 管理问题为主要应用对象，是管理信息系统的一个主要和关键阶段，负责这个阶段 的关键人物是系统分析员，完成这个阶段任务的关键问题是开发人员与用户之间的 沟通。到了 40年代，由于它的应用获得成功， 得到了进一步的发展。 以后的几十年， 无论是研究大系统的问题，还是建立复杂的系统，都广泛应用了系统分析的方法。 系统分析方法来源于系统科学。系统科学是20世纪40年代以后迅速发展起来 的一个横跨各个学科的新的科学部门，它从系统的着眼点或角度去考察和研究整个 客观世界，为人类认识和改造世界提供了科学的理论和方法。它的产生和发展标标 志着人类的科学思维由主要以实物为中心”逐渐过渡到以

18、系统为中心”是科学思 维的一个划时代突破。 计算机仿真技术是以多种学科和理论为基础， 以计算机及其相应的软件为工具，通过 虚拟试验的方法来分析和解决问题的一门综合性技术。本设计所使用的软件为MATLAB. MATLAB是一种广泛应用于工程计算和数值分析等领域的大型科技应用软件， 它具 有顶尖的数值计算和符号运算功能、强大的图形处理功能、简捷易学的编程语言，为实现 信号的分析与处理提供了强有力的工具。 3 宁夏大学新华学院本科学位论文 第2章LTI离散系统概述 2.1系统分类 所谓系统，是由若干相互联系相互作用的单元组成的具有一定功能的有机 整体。系统的分类方法很多，可以从不同的角度对系统进行分

19、类。在信号与系统 分析中，常以系统的数学模型和基本特性分类。系统可分为连续时间系统和离散 时间系统，线性系统和非线性系统，因果系统和非因果系统，动态系统和静态系 统，稳定系统和非稳定系统，集总参数系统和分布参数系统等【4】。 2.1.1连续时间系统和离散时间系统 如果系统的输入和输出信号均为连续时间信号，则称该系统为连续时间系 统，简称连续系统。例如：由R丄.C等元件组成的电路都是连续时间系统。连续 时间激励信号f(t)通过系统产生的响应y(t)记作 y(t)=Tf(t)( 2-1) 如果系统的输入和输出信号均为离散时间信号，则称该系统为离散时间系 统，简称离散系统。离散时间激励信号 f(n)

20、通过系统产生的响应y(n)记作 y(n )=Tf( n)( 2-2) 2.1.2线性系统和非线性系统 凡能同时满足其次性和叠加性的系统称为线性系统。凡是不能同时满足其次 性和叠加性的系统称为非线性系统。 若电路中的无源元件全是线性元件，则这样的电路系统一定是线性系统，但 不能说含有非线性元件的电路系统就一定是非线性系统。 线性，指系统的输入和输出之间同时满足齐次性和叠加性。即，若系统的输 入为 x( n)=Ax n)+Bx2( n)(2-3) 那么系统输出为 y(n )=Ayd n)+By2( n)(2-4) 对于任何A和B都成立。其中y (n)是输入为x(n)时系统的输出。 齐次性是指当输入

21、信号乘以某常数时，输出信号也相应地乘以同一常 数。如图2-1所示 X(n) * T * a y(n) 19 图2-1 LTI离散系统的齐次性 当若干个输入信号同时作用于系统时，总的输出信号等于各个输入信 号单独作用时所产生的输出信号之和。这个性质称为叠加性。 如图2-2所示 叩 图2-2 LTI离散系统的叠加性 yi(n) + y2(n) 2.1.3时变系统和时不变系统 如果一个系统当输入有一个时间上的平移，输出也产生相同的平移，除此之 外无任何其他变化，则系统是时不变的。；换句话说，当y(n)=Tx(n)时，若有 y(n -n。)=Tx(n -n。) (2-5) yi(n) =TXi( n)

22、 (2-6) (2-7) 则系统是时不变的，否则系统是时变的 系统是否是时变的，其检验方法如下： 令 yi y2(n)二Tx2(n)二Txjn - n。) 考察一下y2(n)是否等于yi(n-n。)？若相等，则系统是时不变的；若不相等，则 系统是时变的。 如果一个系统当输入有一个时间上的平移，输出也产生相同的平移，除此之 外无任何其他变化，则系统是时不变的。 时不变性，指如果将系统的输入信号延迟 T秒，那么得到的输出除了这 T秒 延时以外是完全相同的，称这样的系统是 时不变”的。即若系统输入x(t)，对应 的输出为y(t)，则输入为x(t+ )时系统的输出为y(t+ )。 时不变系统：就是系统

23、的参数不随时间而变化，即不管输入信号作用 的时间先后，输出信号响应的形状均相同。用数学表示为 Tx( n)=y n 则 Tx(n-n o)=yn-n ( 2-8) 这说明序列x(n)先移位后进行变换与它先进行变换后再移位是等效的。 2.1.4因果系统和非因果系统 凡具有因果性的系统称为因果系统；凡不具有因果性的系统称为非因果系 统。 任何时间系统都具有因果性，因而都是因果系统这是因为时间具有单方向 性，时间是一去不复返的。非时间系统是否具有因果性，则要看它的自变量是否 具有单方向性。例如，一个复杂的光学系统，即使其输入的物体是单侧的，其输 出的像也可能是双侧的，他就不具有因果性。 本设计主要研

24、究的是线性时不变离散时间系统的频响特性。 2.2 LTI离散系统综述 离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线 性时不变离散时间系统 是最基本、最重要的系统。如果离散系统中乘法器的 系数不随时间变化，这种系统便称为时不变离散系统。 线性时不变系统：既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位 脉冲响应来表示。单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出， 般表示为h(n)，即 h(n)=T、(n)( 2-9) 任一输入序列x(n)的相应y(n)二Tx(n)二T(n-k);由于系统是线性的, y(n)=T、(n-k) T、(n-k)=h(n-k)； (2-10) 所以

25、上式可以写成 又由于系统是时不变的，即有 从而得 y(n) = h(n-k)= x ( n) (2-11) LTI离散系统的线性 2.3 LTI离散系统的数学模型 用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散时间系统，简称离散系统。离 散系统的功能是完成激励信号x(n)转变为响应信号y(n)的运算，如图2-4所示， 记为 y( n)=Tx( n)(2-12) x(n)” Ty(n) 图2-4离散时间系统 离散时间系统同时具有叠加性和齐次性。 当若干个输入信号同时作用于系统时，总的输出信号等于各个输入信号单独作用 时所产生的输出信号之和。这个性质称为叠加性。齐次性是指当输入信号乘以某常数 时，输出信

26、号也相应地乘以同一常数。 2.3.1离散时间系统的数学模型 一一差分方程 常系数线性差分方程的一般形式可表示为： ay(n) ay n)a_y nfN-/y n_N ) (2-13) = box (n 严bx n + bM_X n(M - Mx n-M ) 式(2-13)中a和b是常数，已知函数x(n)的位移阶次是M，未知函数y(n)的位 移阶次即表示此差分方程的阶次 N。 差分方程不仅可以用来描述离散时间系统的输入-输出关系，求解微分方程 也往往可以借助它进行 2.3.2系统函数 线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即 NM 送 a i 依i)=5： bjf(k-i)(2-14)

27、i =ej=e 其中y (k)为系统的输出序列，f(k)为输入序列。将上面差分方程两边进行Z变换 得： H(Z)= Y(Z) F(z) M 3ZB(z) N i az i卫 A(z) (2-15) LTI离散时间系统的输出的Z变换 Y(z)与输入的Z变换F(z)的比值为该系统的 【5】 传递函数，即H(z)=X(z)Y(z)为系统函数。 2.4离散时间系统的模拟 连续时间系统可以通过模拟器件，如晶体管电阻电容和电感等构成的某种 电路来实现，从而完成对连续信号的处理；离散时间系统可用适当的运算单元连 接起来加以模拟或实现，从而完成对离散信号的运算处理 一一数值计算。 1.基本运算单元 离散时间系

28、统基本运算单元有延时器.加法器和标量乘法器，如图2-5所示 他们反映或表示了离散时间系统输入和输出的最基本运算关系， 通过基本运算单 元架构了有序且更复杂的系统。 x( n) D -1) (a) 离散时间系统延时器 x(n)-空 ax(n) (b) 离散时间系统标量乘法器 x(n) 门肝2(门) (c) 离散时间系统加法器 图2-5离散时间系统的基本运算单元 2.系统模拟 如何用延时器.加法器和标量乘法器等基本运算单元模拟离散时间系统？若 已知系统结构(或系统模拟图)，则可以唯一地确定系统的输入输出关系 一一差 分方程。相反，依据离散时间系统的输入输出关系，即差分方程，也可完成系统 模拟，得到

29、系统结构，如图2-6所示。 x(n) *y(n) 图2-6某离散时间系统 2.5离散时间系统的频率响应特性 2.5.1离散时间系统的频率响应 对于线性时不变离散时间系统，当系统函数H(z)收敛域包括单位圆时，其 频率特性表示为 H(ejwT)=H(z) |ejwT=|H(ejtTPT)(2-16) 式(2-16)中，|H(e何)|称为离散时间系统的幅频特性(或幅频响应)； (T)为H(ej坯)的幅角，称为离散时间系统的相频特性(或相频响应)。 对于由实系数差分方程描述的离散系统，有 jr-T-4r(T H(er = H(e )化七T)=/T) 与连续时间系统正弦激励下的响应类似，H(ej T

30、)也可看做离散时间系统激 励为正弦序列时的稳态响应 加权”因为当X(n)二Azsin(n T)u(n)时 X(z)=A：SWT)R (ze )(ze ) (2-17) 仅考虑H(z)极点位于单位圆内的情况，则 M 丫（z）=-+jr+瓦职（2-18） z _ez_ei=iz_Pi 式（2-18）中，a二b“,对于稳态响应部分，可求得 j Ai ys（n） = AH Q ） singT +T）（2-19） 因此，当激励是正弦序列时，系统的稳态响应也是同频率正弦序列，其幅值为激 励幅值与系统幅频特性值的乘积，其相位为激励初相位与系统相频特性值之和。 2.5.2频率响应特性的几何确定 如果已知系统函

31、数H（z）在z平面上零、极点的分布, 直观地求出离散系统的频率响应，即已知 则可通过几何方法简便、 (2-20) M 丨【(Z_Zr) H(z)=G 忙 11 (z_ p/ i =1 M 丨【(e zr) H(z)二G# 严/ j卿 丨丨(e i=1 H(ejQ)QT) 仿照连续时间系统中计算Hj）的几何作图法, -Pi) 在平面也可以逐点求得离散时间 系统的频率响应。利用极坐标表示形式 T_ e二 Be j Tj ： e - Pi= Ae 于是幅频响应为 H(e j T) Br (2-21) Imz 其幅频响应为 (2-22) 如图2-7所示，图中 A、i分别表示z平面上极点p到单位圆上某点

32、eJ T的矢 量(eJ 丁- )的长度和夹角，如图所示。如果单位圆上点 D不断移动，就可以得 到全部的频率响应，显然由于eJ T是周期为T = 2的周期数，因而H(eJ T )也 是周期函数，因此只要D点转一周就可以确定系统的频率响应。禾U用这种方法可 以比较方便地由H(z)的零、极点位置求出系统的频率响应。可见频率响应的形 状取决于H(z)的零、极点分布，即取决于离散时间系统的形式及差分方程各系 数的大小。 jlZ Bi Pi 1 Rez B2 P2 图2-7频率响应H(eT )的几何确定法 由H(eJ T )的几何表示可以看出，位于z=0处的零点或极点对幅频特性不产 生作用，而只影响相频特

33、性。当eJT点旋转移动到某靠近单位圆的极点 Pi附近 时，由于 A取最小值，会使相应的幅频特性呈现峰值；相反，当。当eJ T点旋 转移动到某个靠近单位圆的零点 乙附近时，由于Br取极小值，而会使相应的幅 频特性呈现谷值。 第3章LTI离散系统的频率响应特性及其仿真分析 3.1离散系统的频率响应特性分析 稳定系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的取值，计算系统的频率响应 可将系统函数中的Z变量用ej T代入即可得到.频率响应是一个复函数，其模叫幅 度响应，其相角叫相位响应，它反映了输入3序列的频谱经系统后所发生的变化规 律从幅频曲线上可直观看到各频率分量的幅度变化情况，从相频曲线上可直观看 到各

34、频率分量的相移情况根据频响曲线分析系统对信号频谱的影响，概念清楚、 简单直观，对信号综合也意义重大，但要将一个较复杂的频率响应复函数转化成幅 度响应和相位响应并图示，计算量大且容易出错，图示结果也不一定精确.利用 MATLAB函数这些问题都迎刃而解【7】. 大多数离散时间信号都可以分解为ej n的线性组合，所以研究LTI离散时间 系统的频率响应具有极大的意义。在 LTI的离散时间系统Z域分析中，常用传递 函数H（z）和频率响应H（）来表示系统。对离散系统而言，不仅要知道它的零点 和极点，还要了解它的频率特性，利用系统函数的零、极点,通过几何方法可以大概 描绘出离散系统的频响图，但当零、极点个数

35、比较多时，利用几何方法绘制并不容 易，MATLAB提供了函数可以准确方便的画出系统的频响特图。 3.2取样响应 1 单位样值响应定义与作用意义 如果系统的输入为单位样值信号.(n),初始状态y(-1)y(-2) ,y(-3)y(-N)均为 零，由、：(n)产生的系统零状态响应定义为单位样值响应 h(n),单位样值信号、：(n) 和单位样值响应序列h(n)在离散时间系统时域分析中起着十分重要的作用。 在离散时间系统中，激励信号本身是一个离散序列，所以离散激励信号序列 中的每一个离散量施加于系统，离散系统就输出一个与之相对应的响应量，所有 响应量叠加起来，便得到系统对任意激励信号的零状态响应，也是

36、一个离散序列。 当离散的激励信号序列为 -bo x(n)二 二 x(i)、(ni) i (3-1) 系统在x(n)二、：(n)激励作用下，单位样值响应有yn)=Tx(n)=h(n) 由系统的时不变性有 、(n - i ) h (由齐次性 由叠加性 故零状态响应 (3-2) 这种叠加是离散叠加, 和，记作 x(i)、(n-i) 一： -bo 、x(i)n-i i =-： x(i)h( n-i) -bo )1： x i h n -(i i =： -bo yzs(n、八 x i( h) n(-i) i 即求和运算，而不是积分运算，叠加的过程表现为求卷积 -bo yzs( n)二 x(i)h( n i

37、)=x( n)h( n) (3-3) 式(3-3)表明系统在任一信号激励下的零状态响应都能够通过单位样值响应与 激励信号的卷积和来求解。 研究单位样值响应的意义在于单位样值信号是一种基本信号，通过单位样值 响应可求解任一信号激励下的零状态响应。此外，通过单位样值响应还可以研究 系统的性质，它表征了系统本身的传递特性。 2.单位样值响应的求解 单位脉冲序列引n作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位 脉冲响应,用符号h(n)表示。 对N阶LTI离散时间系统，h(n)满足方程 nm Z aihn- i = Z bn j i=0jdD (3-4) h(n)的求解求解方法： (1) 递推法求

38、单位样值响应 例3-1:已知yn-1/3yn-1=xn,试求其单位样值响应h(n)。 yn 卜1/3y n-1=x n hn -1/3hn-1 = 对于因果系统, h-1=0 ,x-1= S=0 h0 h1 h2 1 二 h-10 = 0 1 = 1 3 11 jh01二 o 33 11 2 二12 = ( )2 33 1 1 hn兮n - 1n =(3) hn二 1 1 1 ,n 0 _ i3丿 n 0 un (2) 等效初始条件法 将dk-j对系统的瞬时作用则转化为系统的等效初始条件。 等效初始条件由差分方程和h-1=h-2= =h-n=0递推求出。 例 3-2: yn卜1/3yn-1=x

39、n 即 hn卜1/3hn-1= S n 由h-1=0通过上述差分方程可迭代出h0=1 将h0=1作为边界条件 特征方程为 11 即a = 0cc= 33 1 a hn =C(Rn 3 1 由 h0=1 可求出 C=1二 hn = ()nun 3 由于单位样值响应h(n)表征了系统自身的性能因此，在时域分析中可以根据 h(n)来判断系统的某些重要特性，如因果性、稳定性，以此区分因果系统与非因 果系统，稳定系统与非稳定系统。 3.3离散时间系统的系统函数H(z) 1. H(z)的定义 一个线性时不变离散时间系统的零状态响应其时域为 y( n)=x( n)*h( n) (3-5) 根据z变换时域卷积

40、定理可知 Y(z)X(z)H(z) (3-6) 式(3-6)中，y(z)，X(z)和H (z)分别表示y(n).x(n)和h(n)的z变换。因此定义 H(z)二 Y(Z) X(z) (3-7) 为离散时间系统的系统函数，它表示系统零状态响应的z变换与其对应的激励的z 变换之比值。 由式(3-7)可知 H ( z)二 a=1 -1.1 1.5 -0.7 0.3; q=roots(a),p=roots(b) q= 0.2367+0.8915 i 0.2367-0.8915 i 0.3133+0.5045 i 0.3133-0.5045 i p= -0.5000+0.8660 i -0.5000-0

41、.86601 0.2500+0.96821 0.2500-0.96821 zpla ne(b,a) 程序运行结果如图4-1所示 图4-1系统零极点分布图 从图4-1看到,系统函数有两个极点不在单位圆内，所以该系统是一个不稳定 系统。 除了 MATLAB函数库中所提供的这些函数直接绘制零极点图之外，利用 MATLAB的快速编程的优势，也可自行编写程序来实现这一功能。 下面编写了 MATLAB实用函数ljdt()，求零极点，并绘制零极点图，同时还 绘制出了单位圆。 程序如下： function ljdt(A,B) A=0.2 0.1 0.3 0.1;B=1 -1.1 1.5 -0.7; p=roo

42、ts(A); q=roots(B); p=p; q=q; x=max(abs(p q 1); x=x+0.1; y=x; clf hold on axis(-x x -y y) w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) axis(square) plot(-x x,0 0) plot(0 0,-y y) text(0.1,x,jlm z) text(y,1/10,Rez) plot(real(p),imag(p),x) plot(real(q),imag(q),o) title(离散系统的零极点) hold off 已知离散系统的系统函数，调用以上程序就可以绘制

43、出系统零极点图，则系统 的稳定性就可以从图上直观的显示出来。 4.2离散系统的零极点分布与系统稳定性 离散系统稳定的时域条件和Z域条件是等价的。因此，只要考察系统函数 H(z)的极点分布，就可判断系统的稳定性。对于三阶以下的低阶系统，可以利用 求根公式方便的求出离散系统的极点位置， 从而判断系统的稳定性。但对于高阶 系统，手工求解极点的位置则显得非常困难，需要 MATLAB的实用函数ljdt() 来实现这一过程1110 例4-2:离散系统的系统函数为 .4J3 H(z)二 0.20.1z0.3z0.1z dd 1 -1.1z 1.5z -0.7z 在MATLAB中调用上面程序实现如下： a=0

44、.2 0.1 0.3 0.1; b=1-1.1 1.5 -0.7; ljdt( a, b) 运行结果如图4-2所示。 图4-2系统零极点分布图 从图4-2上可以看到，该系统函数有2个极点不在单位圆内，所以此系统是不 稳定系统。 结果分析： (1) 若H(z)的所有极点全部位于单位圆内，则系统稳定。 (2) 若H(z)的极点只要有一个位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，则系统 不稳定。 4.3离散系统的频率特性 从以上分析我们知道，离散系统的系统函数 H (z)反映了系统本身固有的 特性。那么，当离散序列通过离散系统时，系统是如何对不同频率的输入序列进 行加工和处理的呢？ 例4-3 数字滤波器，

45、 -1 -2 H(z)= 0.2+0.3： +： 1+0.4z-1+z-2 取样点数为128点,则利用MATLAB函数freqz()可以直接绘制系统的幅频、 相频特性图, MATLAB程序如下： num=0.2 0.3 1; den=1 0.4 1; freqz (nu m,de n,128) 该滤波器的幅频和相频特性图如图4-3所示 40 0.10.20 30.40.50.60 70.3051 Normalized Frequency 阿 rad/sample： O o o O 2 2 mp) Q 00 Illi 111 Itia ii*i Iila -1111 iii ii1i !aII

46、1 i i I l l I i i i i i i * i I i I I I Ii|1! 1 1 1 1IIII1 |t|i 11 -: iiii1 Illi Illi iciii Illi 11hi 1厂|_ 1 i1bi 11p1 IIIiII Illi i i i i i 1 i i | i| |i I Illi Illi 0.10.20 30.40.50.607 Q8 0.91 Normalized Frequency 阿 rad/sample) 50 - 图4-3系统频率响应图 从图4-3上可以很直观的看出幅度和相位随频率的变化趋势。从幅频曲线上 可直观看到各频率分量的幅度变化情况

47、，从相频曲线上可直观看到各频率分量 的相移情况.另外还可利用函数impz()由系统的传递函数求冲激响应等等，方便的 进行离散时间系统的时域分析。 结果分析： 稳定系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的取值，计算系统的频率响应, 可将系统函数中的z变量用ejw代入即可得到.频率响应是一个复函数，其模叫幅 度响应，其相角叫相位响应，它反映了输入3序列的频谱经系统后所发生的变化规 律.根据频响曲线分析系统对信号频谱的影响，概念清楚、简单直观，对信号的综 合也有重大意义，它能将一个较复杂的频率响应复函数转化成幅度响应和相位响 应并图示，计算量不大且不容易出错,图示结果也精确.利用MATLAB函数使一些

48、 问题都迎刃而解. 以上仿真分析了离散时间系统函数的零极点图和系统稳定性，同时对系统的频响特性进 行了仿真。可见利用 MATLAB可以使离散系统Z域分析更加简便，为系统分析提供了有效、 便捷的方法，结果准确可靠。 第5章结论 随着科学技术的发展，离散系统的理论研究与实践迈上了一个新的台阶 MATLAB引入离散时间系统中，可以深入浅出地分析信号的特点以及系统的特 性，实现了实验与分析同步进行。实践表明，利用MATLAB的计算功能易于理 解和接受抽象的理论，并能够更深刻地分析LTI离散系统的频响特性，使科技人 员对大量原始数据的分析变得轻松自如和得心应手， 真正将科技人员从繁重的数 学运算中解放了

49、出来。 本毕业设计经过对LTI离散系统理论知识的概述，通过运用 MATLAB仿真 软件，构建了典型的LTI离散系统。分析结果表明利用 MATLAB辅助分析离散 时间系统，具有编程简单、计算准确、绘图方便、结果直观等特点，只要掌握了 系统分析的概念原理和方法,繁杂的分析计算及图形显示均可用 MATLAB实 现，这不仅使大量的手工计算得以简化，也使得系统分析更为简便和高效；利用 MATLAB的绘图功能，有利于分析结果的直观理解,也有利于深入掌握所学的内 容 经过本次设计，我体会到要完成一件工作得做出大量的准备工作，查阅资 料，整理并加上自己的想法，做到一丝不苟，最终才能完成做出一个完美的设计。 在这个过程中，我也发现了自身的一些缺点和不足， 对系统的研究还不是特别深 入，需要经过导师的讲解才能明白，同时我也发现对线性时不变离散系统有广泛 的应用，他将在我们的科学技术领域中发挥出重要