2020届中考数学热点冲刺8 二次函数综合题型(全国版)(含解析)

1、 20208届中考数学热点冲刺 二次函数综合题型课程标准对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此，二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型,2019 年中考中对二次函数的考查角度有所调整，将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来学习，预计仍会以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，在此过程中会以周长、面积、相似、等腰三角形，特殊四边形以及新定义问题为载体进行命题.考向 1 二次函数之周长与最值问题1（2019常德中考改编）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为a（1，4），与坐标轴交于b、c、d三点

2、，且b点的坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点m、n，且点n在点m的左侧，过m、n作x轴的垂线交x轴于点g、h两点，当四边形mnhg为矩形时，求该矩形周长的最大值aayyddnmbhgccoxbox图11备用图( )解（1）设抛物线的解析式为 y=1+4 ，把 b（1，0）代入解析式得：4a4=0，解得 a=1，y=a x -2( )1+4 = x2+ 2x + 3；（2）四边形 mnhg 为矩形，mnx 轴，设 mg=nh=n，把 y=n 代入 y=x -2 + 2 + 3，即 n= + 2 + 3， - 2 + - 3=0，由根与系数关系

3、得=2，=n3，x xx2xx2xx2x nx + xmnmn(x - x ) ()2()()2 =4， x - x2 =4 4 （n3）=16 4 n，mn= x-2 =2 4 -，nx+xxxxmnmnmnmnmn设矩形 mnhg 周长为 c，则 c=2（mnmg）=2（2 4n）=4 42n，令 4=t，则 n=4 ，- n t 2- n- n( )1 +10 ，20，t=1 时，周长有最大值，最大值为 102c=2 4t8=2t2t -考向 2 二次函数之面积问题2（2019衡阳）如图，二次函数 y=x2bxc 的图象与 x 轴交于点 a（1，0）和点 b（3，0），与 y 轴交于点

4、n，以 ab 为边在 x 轴上方作正方形 abcd，点 p 是 x 轴上一动点，连接 cp，过点 p 作 cp 的垂线与 y 轴交于点 e.（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点 p 在线段 ob（点 p 不与 o、b 重合）上运动至何处时，线段 oe 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点 m，连 接 mn、mb，请问：mbn 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点 m 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把 a（1，0），b（3，0）代入 y=x bxc，20 =1-b + c,得 0 = 9 + 3b + c,b = -2,解得 c = -3.该抛

5、物线的函数表达式为 y=x 2 x3；2（2）cpeb，opebcp=90，op bc=oe pbopeoep=90，oep=bpc，tanoep=tanbpc41139x设 oe=y，op=x， =y 3- x整理，得 y= x x= （x ） 2244216393当 op= 时，oe 有最大值，最大值为 ，此时点 p 在（ ，0）处.2162（3）过点 m 作 mfx 轴交 bn 于点 f，n（0，3），b（3，0），直线的解析式为 y=3 m. 设 m（m, m 2 m3）,则 mf=m 3m，221333278mbn 的面积= ob mf= ( m 3m) = ( m ) .22222

6、23278点 m 的坐标为（ ，）时，mbn 的面积存在最大值.2考向 3 二次函数之等腰三角形问题3（2019兰州）二次函数 y = ax2+ bx + 2的图象交 x 轴于点（-1，0），b（4，0）两点，交 y 轴于点 c，动点 m 从点 a 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 ab 方向运动，过点 m 作 mnx 轴交直线 bc 于点 n，交抛物线于点 d，连接 ac，设运动的时间为 t 秒.3（1）求二次函数 = 2+ + 2的表达式；（2）连接 bd，当 t= 时，求dnb 的面积；y ax bx2（3）在直线 mn 上存在一点 p，当pbc 是以bpc 为直角的等腰直角三角形时

7、，求此时点 d 的坐标；5（4）当 t= 时，在直线 mn 上存在一点 q，使得aqc+oac=90,求点 q 的坐标.4131232解：（1）将点 a（-1，0），b（4，0）代入 y=ax +bx+2，a=- ，b= ， = -x2 +x+ 2；2y22（2）设直线 bc 的解析式为：y=kx+b，将点 b（4，0），c（0，2）代入解析式，14k + b = 0= -123k得：，解得：2 ，bc 的直线解析式为 = -x+ 2 ，当 t= 时，am=3，ab=5，y= 22b= 2bmb=2，m（2，0），n（2，1），d（2，3），1211sdnb =sdmb-smnb=mbdm m

8、bmn= 22=2；-22（3）bm=5-2t，m（2t-1，0）， 设 p（2t-1，m），pc =（2t-1） +（m-2） ，pb =（2t-5） +m ，222222pb=pc，（2t-1） +（m-2） =（2t-5） +m ，m=4t-5，p（2t-1，4t-5），22224t - 7 4t - 5pcpb，= -1，2t -1 2t - 5t=1 或 t=2，m（1，0）或 m（3，0），d（1，3）或 d（3，2）；533（4）当 t= 时，m（ ，0），点 q 在抛物线对称性 x= 上，4223如图，过点 a 作 ac 的垂线，以 m 为圆心 ab 为直径构造圆，圆与 x=

9、的交点分别为 q 与 q ，122ab=5，5am= ，aq c+oac=90，oac+mag=90，aq c=mag，11235又aq c=cga=mag，q （ ， - ），112235q 与 q 关于 x 轴对称，q （ ， ），122232535q 点坐标分别为（ ， - ），（ ， ）.2222考向 4 二次函数之相似三角形问题4（2019娄底）如图（14），抛物线 y= ax + bx + c2与 x 轴交于点 a（1，0），点 b（3，0），与 y 轴交= ax + bx + c于点 c，且过点 d（2，3）点 p、q 是抛物线 y上的动点2（1）求抛物线的解析式；（2）当点 p

10、 在直线 od 下方时，求pod 面积的最大值（3）直线 oq 与线段 bc 相交于点 e，当obe 与abc 相似时，求点 q 的坐标 = ax + bx + c解：（1）抛物线 y与 x 轴交于点 a（1，0），点 b（3，0），2( )( )y = a x+1 x-3设抛物线的解析式为又抛物线过点 d（2，3），( )( )a 2+1 2-3 = -3( )( )=1y=1 x+1 x-3 = x -2x-32，a，（2）如图，设 pd 与 y 轴相交于点 f，od 与抛物线相交于点 g，,m - 2m - 3=- 2 - 3设 p 坐标为（m），则直线 pd 的解析式为 y mx m

11、，它与 y 轴的交点坐标为 f2（0，2m3），则 of=2m+31 () 11()( )=of d点的横坐标 - p点的横坐标 = 2m + 3 2 - m = -m + m + 3 s2222dodp3- m 2由于点 p 在直线 od 下方，所以21b21时=当，pod面积的最大值m = -= -( )2 -1 42a111 14916 2s= -m + m + 3 = -+ + 3 =2 4；2 24 dodp= x - 2x - 3得抛物线与 y 轴的交点 c（0，3），结合 a（1，0）得直线 ac 的解析式（3）由 y2= -3x - 3y = -3x为 y，当 oeac 时，o

12、be 与abc 相似；此时直线 oe 的解析式为 -1+ 13-1- 13x =x= = -2 -3y xx23-3 13223+3 132212又 的解为 ，；= -3xyy =1y =2 -1+ 13 3- 3 13-1- 13 3+ 3 13, 和q 的坐标为2222如图，作 eny 轴于 n，3 +3 = 3 2由 a（1，0），b（3，0），c（0，3）得 ab=3(1)=4，bo=3，bc=22be3be ob=ba bc2 2当即时 ，obe 与abc 相似；此时 be=4 3 2= -2x又obcone，nb=ne=2，此时 e 点坐标为（1，2），直线 oe 的方程为 y =

13、 -2 -3y x= 3= - 3xxx212又的解为，；y = -2xy1= -2 3y = 2 32( ) ( )3, -2 3- 3, 2 3q 的坐标为和( ) ( ) -1+ 13 3- 3 13-1- 13 3+ 3 13,3, -2 3- 3, 2 3， 综上所述，q 的坐标为 ，2222考向 5 二次函数之特殊四边形问题5 .（2019广安）如图，抛物线y = -x + bx + c 与 轴交于 、 两点( 在 的左侧），与 轴交于点 ，过a b a b2xyna 点的直线 l : y = kx + n 与 y 轴交于点 c ，与抛物线 y= -x + bx + c 的另一个交

14、点为da，已知 (-1,0) ，2d(5,-6) ， p 点为抛物线 y= -x + bx + c 上一动点（不与 、 重合）（1）求抛物线和直线 的解析式；a d2l（2）当点 p 在直线 上方的抛物线上时，过 p 点作/ / 轴交直线 于点 e ，作 pf / / y 轴交直线 于点 ，pe xlllf求 pe + pf 的最大值；（3）设 为直线 上的点，探究是否存在点 ，使得以点 、 ， 、p 为顶点的四边形为平行四边形？n c mmlm 若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由m-k + n =解：（1）将点 、 的坐标代入直线表达式得：a d0k = -1n = -1，解得：，

15、5k + n = -6故直线 的表达式为： = - -1，将点 、 的坐标代入抛物线表达式，a dlyx同理可得抛物线的表达式为： = - + 3 + 4 ；yx2x（2）直线 的表达式为： = - -1，则直线 与 轴的夹角为45 ，即：则pe pe=，lyxlx设点 坐标为( ,- + 3 + 4) 、则点 f(x,-x -1)，px x2xpe + pf = 2pf = 2(-x2 + 3x + 4 + x +1)= -2(x - 2)2 +18，故 有最大值，当 = 2 时，其最大值为 18；q -2 0pe pf+x（3）= 5 ，当是平行四边形的一条边时，ncnc设点 坐标为( ,

16、- + 3 + 4) 、则点 ( ,- -1)，px x2xm x x由题意得：| 5 ，即：| - + 3 + 4 + +1|= 5 ，y - y = x2 x xmp解得： = 2 14 或 0 或 4（舍去0) ，x则点 p 坐标为(2 + 14 ， -3- 14) 或(2 - 14 ， -3+ 14) 或(4,-5) ；1当是平行四边形的对角线时，则nc 的中点坐标为(- ， 2) ，nc2 设点 坐标为( ,- 2 + 3 + 4)、则点 ( ,- -1) ，m mpmm n n、 ， 、 为顶点的四边形为平行四边形，则的中点即为中点，pmncmpnc，解得：0 或 -4 （舍去0)

17、 ，m-m2+ 3m + 4 - n -11 m + n即：， 2 =- =222故点 (-4,3)；故点 的坐标为：(2 + 14 ， -3- 14) 或(2 - 14 ， -3+ 14) 或(4,-5) 或(-4,3) pp考向 6 二次函数之角度存在性问题6. (2019泰安) 若二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 a(3,0)、b(0,2),且过点 c(2,2).(1)2求二次函数表达式;(2)若点 p 为抛物线上第一象限内的点,且 spba=4,求点 p 的坐标；(3)在抛物线上(ab 下方)是否存在点 m,使abo=abm？若存在,求出点 m 到 y

18、 轴的距离;若不存在,请说明理由.9a + 3b - 2 = 0解：(1)抛物线 y=ax +bx+c 过点(0,2),c=2,又抛物线过点 (3,0)(2,2),解得24a + 2b - 2 = -223a =2343,抛物线的表达式为 =-x- 2 ；yx243b = -24(2)连接 po,设点 p(, m - m - 2)；则 spab=spoa+saobspob=m233122324113( m - m - 2)+ 32- 2gm = 2 - 3 ,由题意得:m23m=4,m=4,或 m=1(舍去),2mm3432210310,点 p 的坐标为(4, ).m2- m - 2 =332

19、(3)设直线 ab 的表达式为 y=kx+n,直线 ab 过点 a(3,0),b(0,2),3k+n=0,n=2,解之,得:k= ,n=2,直3224线 ab 的表达式为:y= x2,设存在点 m 满足题意,点 m 的坐标为(t, t - t - ).过点 m 作 mey 轴,垂足223332224为 e,作 mdx 轴交于 ab 于点 d,则 d 的坐标为(t, t2),md= - t + 2t ,be=|- t + t|.又 mdy 轴,2233332abo=mdb,又abo=abm,mdb=abm,md=mb,mb= - t + .2t23 111124222在 rtbem 中, - t

20、 + t +t2= - t + 2t ,解之,得:t= ,点 m 到 y 轴的距离为 .2233388考向 7 二次函数之新定义问题7（2019 江西省）特例感知：(1)如图 1，对于抛物线 y= -x -3x +1= -x - x +1 y = -x - 2x +1 y，222312下列结论正确的序号是；1抛物线 y ， y ， y 都经过点 c(0，1)；抛物线 y ， y 的对称轴由抛物线 y 的对称轴依次向左平移2123231个单位得到；抛物线 y ， y ， y 与直线 y=1 的交点中，相邻两点之间的距离相等.123y = -x2 - nx+1n形成概念：(2)把满足（n 为正整数

21、）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图 2.“系列平移抛物线”的顶点依次为 p ， p ， p ， p ，用含 n 的代数式表示顶点p 的坐标，并写出该123nn顶点纵坐标 y 与横坐标 x 之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：c ，c ，c ，c ，其横坐标分123n别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由； 在中，直线 y=1 分别交“系列平移抛物线”于点 a ，a ，a ，a ，连接c a ，c a ，判断c a ，12

22、3-1n-1nnnnnnc a 是否平行？并说明理由.n-1 n-1= -x -3x +1= -x - x +1 y = -x - 2x +1 y解：（1）对于抛物线 y，2来说，22312抛物线 y ， y ， y 都经过点 c(0，1)，正确；123-112- 2-32(-1)3抛物线 y ，y ，y 的对称轴分别为：x = -= -，x = -= -1 x = -，= -，2(-1)2(-1)21231231抛物线 y ， y 的对称轴由抛物线 y 的对称轴依次向左平移 个单位得到，正确；2231抛物线 y ， y ， y 与直线 y=1 的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3，1

23、23抛物线 y ， y ， y 与直线 y=1 的交点中，相邻两点之间的距离相等.正确.123答案：；+ 4n n，2y = -x2 - nx+1n-（2）由可知，顶点坐标为 p （n），24n2+ 4 (-2x) + 42y = x +1；该顶点纵坐标 y 与横坐标 x 之间的关系式为244- k - k +1 - k - 2k +1，当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k 为正整数)，对应的纵坐标为：，22- k - 3k +1- k - nk +1，22= (-k -1) - (-k - 2) +(-k - k +1) - (-k - 2k +1) c c122222= 1+k2= (