2020届艺术生高考数学总复习：充分条件和必要条件

1、2020 届艺术生高考数学总复习：充分条件和必要条件一般地，如果已知 pq，那么就说：p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件. 可分为四类：（1）充分不必要条件，即 pq,而 q p；(2)必要不充分条件，即 p q,而qp；(3)既充分又必要条件，即 pq，又有 qp；(4)既不充分也不必要条件，即 pq，又有 q p.一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作：p q.“ ”叫做等价符号.p q 表 示 pq 且 qp.这时 p 既是 q 的充分条件，又是 q 的必要条件，则 p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.一个等价关系：互为逆否命题的两个命题的真假性相同，对于一些难于判

2、断的命题可转化为 其等价命题来判断.充要关系的几种判断方法：(1)定义法：若，则是 的充分而不必要条件；若，则是 的必要而不充分条件；若，则是 的充要条件； 若，则是 的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用 p q 与q p； q p 与p q； p q 与q p的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题 p 的集合为 m，满足命题 q 的集合为 n，则 m 是 n 的真子集等价于 p 是 q 的充分不必要条件，n 是 m 的真子集等价于 p 是 q 的必要不充分条件，mn 等价于 p 和 q 互为充要条件，m，n 不存在

3、相互包含关系等价于 p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件【特别提醒】1.充分条件与必要条件的两个特征(1) 对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即“pq”“q p”；(2) 传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必 要)条件注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不同，前 者是“ ”而后者是“ ”2 从逆否命题谈等价转换：由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判 断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难

4、则 反”3 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：第 1 页 共 3 页 a=b ab ab ab ab ab aa b =b ab(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列 出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验2.典型例题例 1 设a 是首项为正数的等比数列，公比为 q，则“q0”是“对任意的正整数 n，a +a 0” n 2n 1 2n的（ ）（a）充要条件 （b）充分而不必要条件（c）必要而不充分条件 （d）既不充分也不必要条件【答案】c例 2 设p :1 x 1 ，则 p 是 q 成立的（

5、）（a）充分不必要条件 （b）必要不充分条件（c）充分必要条件 （d）既不充分也不必要条件 【答案】a【解析】由q : 2x 2 0，解得 x 0 ，易知， p 能推出 q ，但 q 不能推出 p ，故 p 是 q 成立的充分不必要条件，选 a.【练一练】1. 设 a , b为向量.则a b 是 的（ ）a .充分不必要条件 b.必要不充分条件 c. 充分必要条件 d.既不充分也必要条 件【答案】【解析】设向量a , b的夹角为 q ，若 =cosq=ab，cosq=1，则 ，若 ，则 cosq=1，从而ab=a bcosq=a b， 是 的充要条件2. 已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的（ ）（a）充分不必要条件（c）充要条件 【答案】a（b）必要不充分条件（d）既不充分也不必要条件第 2 页 共 3 页【解析】“直线 a 和直线 b相交”“平面 a和平面b相交”