2020年初中数学竞赛讲义：第21讲-从三角形的内切圆谈起

1、 2020 年初中数学竞赛讲义：第 21 讲-从三角形的内切圆谈起和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：1三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等；2圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：注：设 rtabc 的各边长分别为 a、b、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式：(1)(2)；a + b - cr =r =2a

2、ba + b + c请读者给出证【例题求解】【例 1】 如图，在 rtabc 中，c=90，bc=5，o 与 rtabc 的三边 ab、bc、ac 分相切于点 d、e、f，若o 的半径 r2，第 1 页 共 11 页 则 rtabc 的周长为思路点拨 af=ad，be=bd，连 oe、of，则 oecf 为正方形，只需求出 af(或 ad)即可【例 2】 如图，以定线段 ab 为直径作半圆 o，p 为半圆上任意一点(异于 a、b)，过点 p 作半圆 o 的切线分别交过 a、b 两点的切线于d、c，ac、bd 相交于 n 点，连结 on，np，下列结论：四边形anpd 是梯形；on=np：dpp

3、 c 为定值；fa 为npd 的平分线，其中一定成立的是(a b)cd思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出 npadbc 是解本例的关键【例 3】如图，已知acp=cde=90，点 b 在 ce 上，ca=cb=cd，过 a、c、d 三点的圆交 ab 于 f，求证：f 为cde 的内心第 2 页 共 11 页 思路点拨 连 cf、df，即需证 f 为cde 角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明【例 4】 如图，在直角梯形 abcd 中，adbc，abbc，ab=bc=

4、1，以 ab 为直径作半圆 o 切 cd 于 e，连结 oe，并延长交 ad 的延长线于 f(1)问boz 能否为 120，并简要说明理由；(2)证明aofedf，且(3)求 df 的长1 ；of oa 2df de=思路点拨 分解出基本图形，作出基本辅助线(1)若boz=120，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用 df 的代数式表示，利用勾股定理建立关于 df 的一元二次方程注： 如图，在直角梯形 abcd 中，若 ad+bc=cd，则可得到应用广泛的两个性质：(1)以边 ab 为直径的圆与边 cd 相切；(2)以边 cd 为直径的圆与边 ab 相切类似地，三角形三条

5、中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用第 3 页 共 11 页 【例 5】 如图，已知 rtabc 中，cd 是斜边 ab 上的高，o、o 、1o 分别是abc；acd、bcd 的角平分线的交点，求证：(1) o o21c o ；(2)oc= o o 21 2思路点拨 在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为 90的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相等学力训练1如图，已知圆外切等腰梯形abcd

6、的中位线 ef=15cm，那么等腰梯形 abcd 的周长等于=2如图，在直角，坐标系中 a、b 的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则rtabo 内心的坐标是3如图，梯形 abcd 中，adbc， dcbc，ab=8，bc=5，若cm以 ab 为直径的o 与 dc 相切于 e，则 dc=第 4 页 共 11 页 4如图，o 为abc 的内切圆，c=90，ao 的延长线交 bc于点 d，ac=4，cd=1，则o 的半径等于()a 4b 5c 3d 554465如图，在梯形abcd 中，adbc，bcd=90，以 cd 为直径的半圆 o 切 ab 于点 e，这个梯形的面积为 21cm ，周长为 2

7、0cm，2那么半圆 o 的半径为(a3cm b7cm6如图，abc 中，内切圆 o 和边 b、ca、ab 分别相切于点 d、ef，则以下四个结论中，错误的结论是()c 3cm 或 7cmd 2cm)a点 o 是def 的外心bafe= 1 (b+c)2cboc=90+ 1 addfe=90一 1 b227如图，bc 是o 的直径，ab、ad 是o 的切线，切点分别为 b、p，过 c 点的切线与 ad 交于点 d，连结 ao、do(1)求证：aboocd；(2)若 ab、cd 是关于 x 的方程5的两个实数根，x2 - ( -1) + ( -1)2 = 0mx m2且 s + s =20，求 m

8、 的值aboocd第 5 页 共 11 页 8如图，已知 ab 是o 的直径，bc 是o 的切线，oc 与o 相交于点 d，连结 ad 并延长，bc 相交于点 e(1)若 bc= ，cd=1，求o 的半径；3(2)取 be 的中点 f，连结 df，求证：df 是o 的切线；(3)过 d 点作 dgbc 于 g，og 与 dg 相交于点 m，求证：dmgm9如图，在直角梯形 abcd 中，adbc，b=90，ad=13cm，bc=16cm，cd=5cm，ab 为o 的直径，动点 p 沿 ad 方向从点 a开始向点 d 以 1cm秒的速度运动，动点 q 沿 cb 方向从点 c 开始向点 b 以 2

9、cm秒的速度运动，点 p、q 分别从 a、c 两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动(1)求o 的直径；(2)求四边形 pqcd 的面积 y 关于 p、q 运动时间 t 的函数关系式，并求当四边形 pqcd 为等腰梯形时，四边形 pqcp 的面积；(3)是否存在某时刻 t，使直线pq 与o 相切，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由第 6 页 共 11 页 10已知在abc 中，c=90，ac=4，bc=3，cd 为 ab 上的高，o 、o 分别为acd、bcd 的内心，则 o o = l2l 211如图，在abc 中，c=90，a 和b 的平分线相交于 p点，又 pea

10、b 于点 e，若 bc=2，ac=3，则 aeeb=12如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的()a内心b外心c圆心d重心13如图，ad 是abc 的角平分线，o 过点 ab 和 bc 相切于点p，和 ab、ac 分别交于点 e，f，若 bd=ae，且 be=a，cf=b，则af 的长为()a1+ 5b1+3c1+5d1+3aabb222214如图，在矩形 abcd 中，连结 ac，如果 o 为abc 的内心，过 o 作 oead 于 e，作 ofcd 于 f，则矩形 ofde 的面积与矩形 abcd 的面积的比值为()a 1b 2c 3d不能确定23415如

11、图，ab 是半圆的直径，ac 为半圆的切线，ac=ab在半圆上任取一点 d，作 decd，交直线 ab 于点 f，bfab，交线段ad 的延长线于点 f第 7 页 共 11 页 (1)设 ad 是 x的弧，并要使点e 在线段 ba 的延长线上，则x 的取值范围是；(2)不论 d 点取在半圆什么位置，图中除 ab=ac 外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明16如图，abc 的三边满足关系 bc= 1 (ab+ac)，o、i 分别为2abc 的外心、内心， bac 的外角平分线交o 于 e，ai 的延长线交o 于 d，de 交 bc 于 h求证：(1)ai=bd；(2)oi= 1 ae217如图，已知ab 是o 的直径，bc 是o 的切线，oc 平行于弦ad，过点 d 作 deab 于点 e，连结 ac，与 de 交于点 f，问 ep与 pd 是否相等?证明你的结论第 8 页 共 11 页 18如图，已知点 p 在半径为 6，圆心角为 90的扇形 oab 的 ab(不含端点)上运动，phoa 于 h，oph 的