2020年高考文科数学一轮总复习：绝对值不等式

1、 2020 年高考文科数学一轮总复习：绝对值不等式第 1 讲 绝对值不等式1绝对值三角不等式定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立2绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集a0a0x|axa 或 xax|xr 且 x0r(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc 或 axbc判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若|x|c 的解集为 r，则 c0.()(2)不等式|

2、x1|x2|7.解：因为|x2|x3|（x2）（x3），x2， （x2）（x3），3x2，（x2）（x3），x3.所以原不等式可化为x2，3x2， x7 57或2x17.解上述不等式组得所求不等式的解集为x|x3求函数 y|x3|x1|的最大值解 ：因为 y|x3|x1|(x3)(x1)|4，所以函数 y|x3|x1|的最大值为2020 年高考文科数学一轮总复习第 1 页 共 10 页 4.含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019沈阳质量检测(一)已知函数 f(x)|xa|3x，其中 ar .(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3x|2x1|的解集；(2)若不等式 f(x)0 的解集为x|

3、x1，求 a 的值【解】 (1)当 a1 时，f(x)|x1|3x，由 f(x)3x|2x1|，得|x1|2x1|0，当 x1 时，x1(2x1)0，得 x2，无解；1212当 x1 时，1x(2x1)0，得 x0；1212当 x 时，1x(2x1)0，得2x .所以不等式的解集为x|2x0a，xa，x(2)由|xa|3x0，可得或4xa0 2xa0， ， 0 时，不等式的解集为x|x a由 1，得 a2.2当 a0 时，不等式的解集为x|x0，不合题意 a当 a0 时，不等式的解集为 x . x4a由 1，得 a4.4综上，a2 或 a4.含绝对值不等式解法的常用方法2020 年高考文科数学

4、一轮总复习第 2 页 共 10 页 1(2018高考全国卷)设函数 f(x)5|xa|x2|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集；(2)若 f(x)1，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，2x4，x1，f(x)2，1x2，2x6，x2.可得 f(x)0 的解集为x|2x3(2)f(x)1 等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立故 f(x)1 等价于|a2|4.由|a2|4 可得 a6 或 a2.所以 a 的取值范围是(，62，)2已知函数 f(x)|x1|2x3|.(1)画出 yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1 的解集x4，x1，

5、323x2，1x ，解：(1)f(x)3x4，x ，2yf(x)的图象如图所示2020 年高考文科数学一轮总复习第 3 页 共 10 页 (2)由 f(x)的表达式及图象知，当f(x)1 时，可得x1 或 x3；当f(x)1 时，可得x1 或 x5.313故 f(x)1 的解集为x|1x3；f(x)1 的解集为 x x 或x5.13所以|f(x)|1 的解集为x x 或1x3或x5.绝对值不等式性质的应用(师生共研)3212设不等式|x2|a(an*)的解集为 a，且 a， a.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)|xa|x2|的最小值3212【解】 (1)因为 a，且 a，321212

6、32所以 2 ，且 2 ，解得 ，aaa又因为 an*，所以 a1.(2)因为 f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3.当且仅当(x1)(x2)0 即1x2 时取到等号，所以 f(x)的最小值为 3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时(2)该定理可强化为|a|b|ab|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式(2019湖北省五校联考)已知函数 f(x)|2x1|，xr.(1)解不等式 f(x)|x|1；1316(2)若对 x，yr，有|xy1| ，|2y1| ，求证：f(x)1.2020

7、 年高考文科数学一轮总复习第 4 页 共 10 页 解：(1)因为 f(x)|x|1，所以|2x1|x|1，1212x ，0x ，0，x即或或12xx1，2x1x1，12xx1，1212得 x2 或 0x 或无解故不等式 f(x)|x|1 的解集为x|0x2(2)证明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2(xy1)|2y1|2|xy1|2y1 1 51|2 1.3 6 6绝对值不等式的综合应用(师生共研)(2018高考全国卷)已知 f(x)|x1|ax1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 x(0，1)时不等式 f(x)x 成立，求 a 的取值范围2，x1，【

8、解】 (1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|，即 f(x) 2x，1x12，x1.1的解集为x|x 2(2)当 x(0，1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0，1)时|ax1|0，|ax1|1 的解集为 0x ，所以 1，故 0a2.aa综上，a 的取值范围为(0，2(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法(2)对于求 y|xa|xb|或 y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如y|xa|xb|的函数只有最小值，形如y|xa|xb|的函数既有最大值又有最小值(2019福建市第一学期

9、高三期末考试)设函数 f(x)|x1|，xr .(1)求不等式 f(x)3f(x1)的解集；3(2)已知关于 x 的不等式 f(x)f(x1)|xa|的解集为 m，若 1，求实数 的取m a2值范围2020 年高考文科数学一轮总复习第 5 页 共 10 页 x2，或132x33，解得 0x1 或 1x2 或 2x3，所以 0x3，故不等式 f(x)3f(x1)的解集为0，33(2)因为 1， ，m23f x f x x a所以当 x 1， 时， ( ) ( 1)| |恒成立，2而 f(x)f(x1)|xa|x1|x|xa|0|xa|x|x1|，3x a因为 x 1， ，所以| |1，即 1 1

10、，xa x23由题意，知 x1ax1 对于任意的 x 1， 恒成立，21212所以 a2，故实数 a 的取值范围为 ，2 .基础题组练1已知|2x3|1 的解集为m，n(1)求 mn 的值；(2)若|xa|m，求证：|x|a|1.解：(1)不等式|2x3|1 可化为12x31，解得 1x2，所以 m1，n2，mn3.(2)证明：若|xa|1，则|x|xaa|xa|a|a|1.即|x|a|1.2已知函数 f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；2(2)求不等式 f(x)x 8x15 的解集解：(1)证明：f(x)|x2|x5|3，x2，2x7，2x5，3，x5.当 2x5 时，32x7

11、3，所以3f(x)3.(2)由(1)可知，2020 年高考文科数学一轮总复习第 6 页 共 10 页 当 x2 时，f(x)x28x15 的解集为空集；当 2x5 时，f(x)x28x15 的解集为x|5 3x5；当 x5 时，f(x)x28x15 的解集为x|5x6综上，不等式 f(x)x28x15 的解集为x|5 3x63(2019湖北荆州一模)已知函数 f(x)|xa|，不等式 f(x)3 的解集为6，0(1)求实数 a 的值；(2)若 f(x)f(x5)2m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围解：(1)由 f(x)3，得|xa|3，因为 a3xa3，又 f(x)3 的解集为

12、6，0，所以 a3.(2)因为 f(x)f(x5)|x3|x8|x3(x8)|5，又 f(x)f(x5)2m 对一切实数 x 恒成立，5所以 2m5，即 m .24(2018高考全国卷)设函数 f(x)|2x1|x1|.(1)画出 yf(x)的图象；(2)当 x0，)时， f(x)axb，求 ab 的最小值123x，x ，解：(1)f(x)122， x1，x3x，x1.yf(x)的图象如图所示2020 年高考文科数学一轮总复习第 7 页 共 10 页 (2)由(1)知 ，yf(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当 a3 且 b2 时，f(x)ax

13、b 在0，)上成立，因此 ab 的最小值为 5.综合题组练1(2019湖南岳阳模拟)已知函数 f(x)|2x2|2x2|，xr .(1)求不等式 f(x)3 的解集；f（x）(2)若方程ax 有三个实数根，求实数 a 的取值范围21，x34解：(1)原不等式等价于或或解得 x ，434x343，3所以不等式 f(x)3 的解集为 ， .4f（x）(2)方程ax 可变形为 ax|x1|x1|，2x2，x1，作出函数 h(x)的图象如图，于是由题意可得1a4；32af x(2)若存在 x ，1 使不等式 1 ( )成立，求实数 的取值范围a002020 年高考文科数学一轮总复习第 8 页 共 10

14、 页 323x2，x1.3232x1，x2 或 01.则 f(x)4或或3x243x24x44所以不等式 f(x)4 的解集为(，2)(0，)3232(2)存在x ，1 使不等式 1 ( )成立 1 ( ) ，由(1)知，当x ，1 时，af xaf x00minf(x)x4，3525232 所以 f(x) f ，则 1 ，解得 ，aa 2min32所以实数 a 的取值范围为 ， .3(2019太原市模拟试题(一)已知函数 f(x)|xm|2x1|.(1)当 m1 时，求不等式 f(x)2 的解集；34(2)若 f(x)|2x1|的解集包含 ，2 ，求 m 的取值范围解：(1)当 m1 时，f

15、(x)|x1|2x1|，43当 x1 时，f(x)3x22，所以 1x ；1212当 x1 时，f(x)x2，所以 x1；1212当 x 时，f(x)23x2，所以 0x ，4综上可得原不等式 f(x)2 的解集为 x 0x .33434(2)由题意可知 f(x)|2x1|在 ，2 上恒成立，当 ，2 时， ( )| |2 1|xf xx mx|xm|2x1|2x1|2x1，所以|xm|2，即2xm2，则2xm2x，11 11且(2x) ，(2x) 0，因此 m 的取值范围为 ，0 .44maxmin4(综合型)(2019郑州模拟)已知函数 f(x)|3x2|.(1)解不等式 f(x)0)，若|xa|f(x) (a0)恒成立，求实数 a 的取值范围m n解：(1)不等式 f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.23当 x 时，即3x2x14，2020 年高考文科数学一轮总复习第 9 页 共 10 页 54